奥数数地整除讲义、练习含问题详解

1、数的整除（1）性质、特征、奇偶性【知识要点】：整除性质：（1）如果数a、b都能被c整除，那么它们的和（a+b）或 差（a- b）也能被c整除。（2）如果数a能被自然数b整除，自然数b能被自然数c整除，则数 a必能被数c整除。（3）若干个数相乘，如其中有一个因数能被某一个数整除，那么，它 们的积也能被这个数整除。（4）如果一个数能被两个互质数中的每一个数整除，那么，这个数能 被这两个互质数的积整除。 反之，若一个数能被两个互质数的积整除， 那么这个数能分别被这两个互质数整除。整除特征：（1）若一个数的末两位数能被 4 （或25）整除，则这个数 能被4 （或25）整除。（2） 若一个数的末三位数能

2、被 8 （或125）整除，则这个数能被8 （或 125）整除。（3） 若一个数的各位数字之和能被 3 （或9）整除，则这个数能被 3 （或9）整除。（4 ）若一个数的奇数位数字和与偶数数字和之差（以大减小）能被11整除，则这个数能被11整除。（5）若一个数的末三位数字所表示的数与末三位以前的数字所表示的 数之差（大数减小数）能被 7 （或13）整除，贝V这个数能被7 （或13） 整除。奇偶性：（1）奇数土奇数二偶数（2）偶数土偶数二偶数（3）奇数土偶 数二奇数（4）奇数X奇数二奇数（5）偶数X偶数二偶数（6）奇数X偶数二偶数（7）奇数一奇数二奇数（8）【典型例题】例1:一个三位数能被 3整除，

3、去掉它的末尾数后，所得的两位数是17的倍数，这样的三位数中，最大是几?例2: 1200这200个自然数中，能被6或8整除的数共有多少个?例3:任意取出1998个连续自然数，它们的总和是奇数还是偶数?例4 :有“ 1 ”，“ 2”，“ 3”，“ 4”四卡片，每次取出三组成三位数，其中偶数有多少个？例皈口果41位数芳庁口眇卡能被7整除，那么中间方格内的数字杲几彳【精英班】2D不20人【竞赛班】例6:某市举办小学生数学竞赛， 共20道题，评分标准是： 答对一题给5分，不答一题给1分，答错一题倒扣1分，如果1999人 参赛，问参赛同学的总分是奇数还是偶数？【课后分层练习】1、判断 306371A组：入

4、门级能否被7整除？能否被13整除?2、abcabc能否被7、11和13整除？3、六位数7E36F5 是1375的倍数，求这个六位数。4、已知10口 8971能被13整除，求 中的数7个学生向后转，最A代表多少?5、有8个学生都面向南站成一排，每次只有少要做多少次才能使 8个学生都面向北？B组：进阶级1、有一个四位数3AA1，它能被9整除，那么数2、一个一百位数由 1个1, 2个2, 3个3, 4个4, 5个5, 6个6, 7 个乙及72个0组成，问这个百位自然数有可能是完全平方数吗？3、某市举办小学生数学竞赛， 共30道题，评分标准是：基础分15分, 答对一题给5分，不答一题给1分，答错一题倒

5、扣1分，如果199人 参赛，问参赛同学的总分是奇数还是偶数？4、已知10口8971能被13整除，求中的数。C组：挑战级1、能不能将从1到10的各数排成一行，使得任意相邻的两个数之和都能被3整除？2、对于左下表，每次使其中的任意两个数减去或加上同一个数，能否 经过若干次后（各次减去或加上的数可以不同），变为右下表？为什么？123n573gi100011'3、左下图是一套房子的平面图，图中的方格代表房间，每个房间 都有通向任何一个邻室的门。有人想从某个房间开始，依次不重 复地走遍每一个房间，他的想法能实现吗？【典型例题】例1: 一个三位数能被 3整除，去掉它的末尾数后，所得的两位数是17的

6、倍数，这样的三位数中，最大是几？解：在两位数中，是17的倍数的数中最大的为17X 5=85( 17X 6=102). 于是所求数的前两位数字为 85.因为8+5=13，故所求数的个位数字为2、5、8时，该数能被3整除，为使该数最大，其个位数字应为8最大三位数是858.例2: 1200这200个自然数中，能被6或8整除的数共有多少个？解：1200中，能被6整除的数共有33个(200-6=33)，能被8整除的数共有 25 个(200- 8=25) 但6, 8 =24, 200- 24=88,即1200中，有8个数既被6整除，又被8整除。故总共有：33+25-8=50。例3 :任意取出1998个连续

7、自然数，它们的总和是奇数还是偶数？解：任意取出的1998个连续自然数，其中奇数、偶数各占一半，即999个奇数和999个偶数。999个奇数的和是奇数，999个偶数的和是偶数，奇数加上偶数和为奇数，所以它们的和是奇数。例4 :有“ 1”，“2”，“ 3”，“4”四卡片，每次取出三组成三位数，其 中偶数有多少个？解：组成的三位数个位数字只能是 2或4两种情况，若个位数字是 2, 百位、十位数字可从余下的数字中取，这样可组成 3X 2=6 (个)三位 偶数；若个位数字是 4同样也可以组成6个三位偶数。这样总共 12 个。例5如果41位数护?罗9能植7整陳，那么中间方格内的数字是几?【精英班】- 1 解

8、：根据能被7整除的数的特征，555555与999999都能被7整除，所以幻乍与999也能被7整除。h *#匕” 土18 牛184"5口9勺X芳500M0 99十少口99） WW-*72*7220才2E b节曲因为上式中等号左边的数与等号右边第一个数都能被7整除，所以等号右边第二个数也能被7整除，推知55口99能被7整除。根据能被7整除的数 的特征，口 99-55=口44也应能被7整除。由口 44能被7整除， 易知应是6。【竞赛班】例6:某市举办小学生数学竞赛，共 20道题，评分标准是：答 对一题给5分，不答一题给1分，答错一题倒扣1分，如果1999人参赛， 问参赛同学的总分是奇数还是

9、偶数？解：对于每个学生来说，20道题都答对，共得5X 20=100分（偶数）。若该 学生答错一题，应从100分中扣（5+仁6）分，无论他答错多少道题，扣分 的总数应是6的倍数，即扣分的总数也是偶数，100分中扣除偶数分仍得偶 数分；同样若他不答一题，应从 100分中扣除（5-仁4）分，无论他不答 多少道题，扣分的总数应是 4的倍数，即扣分的总数也是偶数，所以100分中减去偶数仍得偶数，每个学生得分数是偶数，那么无论有多少人参加数学竞赛，学生得分的总数和一定是偶数。【课后分层练习】A组：入门级1、判断306371能否被7整除？能否被13整除？解：因为371-306=65, 65是13的倍数，不是

10、7的倍数，所以306371能被 13整除，不能被7整除。2、abcabc能否被7、11和13整除?分祈与給 因Slabcabc = abcX 1001, 1001是了，11和13的倍数,所以巫赢能被7】1和13整躺3、六位数7E36F5是1375的倍数，求这个六位数。解：因为1375=5X 5X 5X 11=125X 11,根据能被125整除数的特征，这个数的末三位能被125整除，可知道F=2，又因为这个数是11的倍 数，所以7+3+2 (E+6+5)= 1-E是11的倍数，那么E=1.所以这个 六位数是713625.4、已知10口 897能被13整除，求中的数。解：10口8-971= 100

11、8- 971+口 0=37+口 0。上式的个位数是 乙若是13的倍数，则必是13的9倍，由13X9-37=80,推知中的数是85、有8个学生都面向南站成一排，每次只有 7个学生向后转，最少要 做多少次才能使8个学生都面向北？解：对于每个人只要向后转奇数次，就能面向北。由于每一轮恰有7个学生向后转，8个学生向后转的次数总和为 7 X 8=56 （次）。因此最 少要做56- 7=8 （次）才能使8个学生都面向北。B组：进阶级1、有一个四位数 3AA1，它能被9整除，那么数A代表多少？解：3+A+A+1=4+2A，根据能被9整除数的特征，4+2A是9的倍数。 因为4+2A是偶数，所以4+2A=18

12、, A=7.2、 一个一百位数由 1个1, 2个2, 3个3, 4个4, 5个5, 6个6, 7 个乙及72个0组成，问这个百位自然数有可能是完全平方数吗？解：任何一个自然数的平方除以 3都余1或0而这个一百位数的数字 和是140, 140除以3余2,所以这个一百位数不可能是完全平方数。3、某市举办小学生数学竞赛， 共30道题，评分标准是：基础分15分, 答对一题给5分，不答一题给1分，答错一题倒扣1分，如果199人 参赛，问参赛同学的总分是奇数还是偶数？解：仿照例6:这199位同学的得分总分是奇数。4、已知10口8971能被13整除，求中的数。解：10口8-971= 1008- 971+口

13、0=37+口 0。上式的个位数是 乙若是13的倍数，则必是13的9倍，由13X9-37=80,推知中的数是8C组：挑战级1、能不能将从1到10的各数排成一行，使得任意相邻的两个数之和都能被3整除？ 解：10个数排成一行的方法很多，逐一试验显然行不通。我们采用反 证法。假设题目的要求能实现。那么由题意，从前到后每两个数一组 共有5组，每组的两数之和都能被 3整除，推知110的和也应能被 3整除。实际上，110的和等于55,不能被3整除。这个矛盾说明 假设不成立，所以题目的要求不能实现。2、对于左下表，每次使其中的任意两个数减去或加上同一个数，能否 经过若干次后（各次减去或加上的数可以不同），变为右下表？为什同一个数，所以表中九个数码的总和经过变化后，等于原来的总和加 上或减去那个数的2倍，因此总和的奇偶性没有改变。原来九个数的 总和为1+2+9=45,是奇数，经过若干次变