奥数平面几何几个重要定理

1、A平面几何中几个重要定理及其证明、塞瓦定理1 .塞瓦定理及其证明定理：在 ABC内一点P，该点与 ABC的三个顶点相连所在的三条直线分别交 ABC三边AB、BC、CA于点D、E、F，且D、E、F三点均不是ABC的顶点，则有A D BE C F1D B E C FA'证明：运用面积比可得S BDCDB S bdp根据等比定理有S ADPS ADCS ADC 一 S ADPS ：APCS BDPS BDCS BDCS ：BPC所以等芒同理可得詈覚,S apbFA三式相乘得AD BE CF ,1 DB EC FA注：在运用三角形的面积比时，要把握住两个三角形是“等高”还是“等底”，这样就可以

2、产生出“边之比”2.塞瓦定理的逆定理及其证明定理：在 ABC三边 AB、BC、CA上各有一点 D、E、F,且D、E、F均不是 ABC的顶点，若 詈DBBEEC匚1FA,那么直线CD、AE、BF三线共点.证明：设直线 AE与直线BF交于点P，直线CP交AB于点D，则据塞瓦定理有AD/ BE CF “D/B EC FAad'AD .由于点D、D，都AD BE CF ,十亠 ADT 所以有DB EC FA ，所以有 dB D'B在线段AB上，所以点D与D，重合.即得D、E、F三点共线.因为注：利用唯一性，采用同一法，用上塞瓦定理使命题顺利获证.二、梅涅劳斯定理3.梅涅劳斯定理及其证明

3、定理：一条直线与 ABC的三边AB、BC、CA所在直线分别交于点 D、 E、F，且D、E、F均不是 ABC的顶 点，则有AD _B E_C FD B E C F A*证明：如图，过点 C作AB的平行线，交 EF于点G .因为CG / AB，所以因为CG / AB，所以CG CFAD FACG ECDB BE(1)由（1） + （ 2）可得DB BEAD ECCFFA，即得AD匹 DB ECIA-注：添加的辅助线 CG是证明的关键“桥梁”，两次运用相似比得出两个比例等式，再拆去“桥梁”（CG）使得命题顺利获 证.4.梅涅劳斯定理的逆定理及其证明定理：在 ABC的边AB、BC上各有一点D、E，在边

4、AC的延长线上有一点F，若AD 更 CF =1DB EC FA '那么，D、E、F三点共线.证明：设直线EF交AB于点D7,则据梅涅劳斯定理有AD/ BE CFD/B EC FAA由于点D、Dz都因为AD BE CF亠 ADDB EC FA ，所以有DBAD/D/B在线段AB上，所以点D与D，重合.即得D、E、F三点共线.注：证明方法与上面的塞瓦定理的逆定理如出一辙，注意分析其相似后面的规律.BMCD三、托勒密定理5 .托勒密定理及其证明定理：凸四边形ABCD是某圆的内接四边形，则有A B - CD + B C AD = A C BD .证明：设点M是对角线AC与BD的交点，在线段 B

5、D上找 一点，使得 DAE = BAM .因为 ADB = ACB，即 ADE = ACB，所以 ADE sACB，即得AD DEAC 二而，即 AD BC 二 AC DE( 1)由于 DAE = BAM，所以 DAM = BAE，即 DAC=BAE。而 ABD = ACD，即 ABE = ACD，所以 ABE sACD .即得A B B E2)，即 ABCD A C A C C D由(1) + (2)得AD BC A B C=DA C D E AC二 BE所以 A B - CD + B C AD = A C BD .注：巧妙构造三角形，运用三角形之间的相似推得结论.构造有特点，不容易想到，要

6、认真分析题目并不断尝试.6.托勒密定理的逆定理及其证明定理：如果凸四边形ACX BD，那么 A、B、C、D四点共圆.ABCD 满足 AB< CD + BCX AD =在凸四边形ABCD内取一点E,EBA = /DCA，贝廿 EAB s : DAC .可得AB< CD = BEX AC(1)则由AE ABAD ACDAE 二 CAB 及(2)可得 DAE使得.EAB = / DAC ,证法1 （同一法）：ADX BC = DE XAC(3)CAB .于是有B/由(1) + (3)可得 ABX CD + BCX AD = ACX ( BE + DE ).据条件可得 BD = BE +

7、DE，则点E在线段 BD上.则由EBA- DCA，得 DBADCA，这说明 A、B、C、D 四点共圆.证法2 （构造转移法）延长DA到A/，延长DB到B/，使A、B、B/> A，四点共圆.延长DC到C/,使得B、C、B，四点共圆.（如果能证明A、B/、C/共线，则命题获证）那么，据圆幕定理知 A、C、A，四点也共圆.因此，A/ B/A D B/ C/C/ DA BB D B CB D可得A/B/B/C/ 二AB AD BC CDBD另一方面，A/ C/A C即 A/C/AC ADCD欲证，即证AB AD BC CD AC ADBD= CD即 BC CD CD=(AC BD-AB CD)A

8、/D .据条件有 AC BD - AB CD二AD BC，所以需证 BC CD CD 二 AD BC AD ,即证CD CD = AD AD ,这是显然的.所以， A/ B B/ C/ A 即 A/、B，、C，共线.所以 ABB与 BBC 互补.由于 ABB 二 DAB , BBC 二 DCB ,所以 DAB 与DCB互补，即A、B、C、D四点共圆.BE7.托勒密定理的推广及其证明定理：如果凸四边形 ABCD的四个顶点不在同一个圆上，那么就有ABX CD + BC XAD > ACXBD证明：如图，在凸四边形ABCD内取一点E ,使得EAB = DAC , EBA 二 DCA，贝U EA

9、B s DAC .可得 ABX CD = BEX AC(1)AEADABAC(2)贝廿由 DAECAB 及( 2)可得 DAE s CAB .于是ADX BC = DE XAC( 3)由(1) + (3)可得 AB< CD + BCX AD = ACX ( BE + DE )因为A、B、C、D四点不共圆，据托勒密定理的逆定理可知ABX CD + BCXAD =ACX BD所以BE + DE BD，即得点E不在线段BD上，则据三角形 的性质有 BE + DE > BD .所以 ABX CD + BCX AD > ACX BD .四、西姆松定理&西姆松定理及其证明定理：从

10、，ABC外接圆上任意一点 P 向BC、CA、AB或其延长线引垂线，垂 足分别为D、E、F，则D、E、F三点共 线.证明：如图示，连接PC,连接EF交BC于点D/，连接PD/.因为PE AE , PF AF，所以 A、F、P、E四点共圆，可得 FAE = FEP.因为A、B、P、C四点共圆，所以.BAC = . BCP,即.FAE=BCP.所以， FEP = BCP，即 D/EP = D/CP，可得 C、P、 E四点共圆.所以， CD/P + CEP = 180°。而 CEP = 90°,所以 CD/P = 90°,即卩 PDlBC .由于过点P作BC的垂线，垂足只

11、有一个，所以点 D与D/ 重合，即得D、E、F三点共线.注：（1）采用同一法证明可以变被动为主动，以便充分地调 用题设条件.但需注意运用同一法证明时的唯一性.（2）反复运用四点共圆的性质是解决此题的关键，要掌握 好四点共圆的运用手法.五、欧拉定理9.欧拉定理及其证明定理：设 ABC的重心、外心、垂心分别用字母G、0、H表示.则有 G、0、H三点共线（欧拉线），且满足0H二30G .证明（向量法）：连B0并延长交圆 0于点D。连接CD、AD、HC，设E为边BC的中点，连接 0E和0C .贝UOH 二 OA AH因为 CD丄BC , AH丄BC ,所以 AH / CD .同理CH / DA .所以

12、，AHCD为平行四边形.所以AH =从而得 AH 二 DC .而 DC 二 2OE ,因为OE二由得:12OHOB OC,所以T T T =OA OB OCTAHT T=OB OCT T T=OA AG = OA 2GF = OA GB GC .TT T另一方面，而 GB 二 GO OB ,GC 二 GO 0C，所以1 OG =OA 2GO OC 0B= OG -OG由得：OH =3OG .结论得证.注：（1）运用向量法证明几何问题也是一种常用方法，而且 有其独特之处，注意掌握向量对几何问题的表现手法;（2）此题也可用纯几何法给予证明.又证（几何法）：连接OH , AE，两 线段相交于点 G7

13、;连BO并延长交圆O 于点D;连接CD、AD、HC，设E为 边BC的中点，连接OE和OC ,如图.因为CD丄BC , AH丄BC，所以AH / CD .同理 CH II DA .所以，AHCD为平行四边形.可得 AH = CD .而 CD = 20E，所以 AH = 20E .因为 AH II CD , CD II OE，所以 AH II OE .可得 AHGEOGI.所以AH AG/ HG/2OE GE GO 1 Ag'2由；;7，及重心性质可知点 G，就是上ABC的重心，即G E 1G，与点G重合.所以，G、0、H三点共线，且满足OH = 3OG .六、蝴蝶定理10.蝴蝶定理及其证

14、明定理：如图，过圆中弦AB的中点M 任引两弦CD和EF，连接CF和ED，分 别交 AB 于 P、Q，贝U PM = MQ .证明：过点M作直线AB的垂线1, 作直线CF关于直线1的对称直线交圆于点 CI、F',交线段AB 于点QI.连接FFI> DFI> QU、DQi.据圆的性质和图形的对称 性可知：MFIQI = MFP , FIQIM = FPM ;且 FFI II AB , PM = MQ I.因为C、D、F、F四点共圆，所以CDF/ + CFF/ = 180°,而由 FF/ / AB 可得 Q/PF + CFF/ = 180°，所以CDF/ =

15、Q/PF，即 MDF / = Q/PF .又因为 Q/PF = PQ/F/，即.Q/PF = MQ乍所以有MDF / = MQ/F/.这说明Qi D、F/、M四点共圆，即得 MFq/ = Q/DM .因为 MF/Q/ = MFP，所以 MFP = Q/DM .而 MFP =EDM，所以.EDM = Q/DM .这说明点 Q与点Q，重合，即 得 PM = MQ .此定理还可用解析法来证明：想法：设法证明直线DE和CF x轴上的截距互为相反数.证：以AB所在直线为x轴， 段AB的垂直平分线为 y轴建立直 坐标系，M点是坐标原点.设直线DE、CF的方程分别为x = m” + n 1, x = m2 y + n 2;直线CD、EF的方程分别为y = k1 x , y = k2 x .则经过C、D、E、F四点的曲线系方程为(y -ki x )(y *2 x)+ (x -mi y-nd(x -m2 y -n2)=0 .整理得2 2(+k1k2)x +(1+ m1m2)y -(k1+k2)+ (m1+m2)xy- (n1+n2)x+ (n1m2+n2m1)y+ n1n2=0.由于C、D、E、F四点在一个圆上，说明上面方程表示的是 一个圆，所以必须+ k1 k2 = 1 + m1 m2 工 0,且(k1+k2)+ (m1+m2)=0.若-=0,贝V k1 k2=1,