掌握抽象函数问题的常用处理方法

1、掌握抽象函数问题的常用处理方法一、理论提示抽象函数型综合问题，一般通过对函数性质的代数表述，综合考查学生对于数学符号语言的理解和接受能力，考查对于函数性质的代数推理和论证能力，考查学生对于一般和特殊关系的认识可以说，这一类问题，是考查学生能力的较好途径，因此，在近年的高考中，这一类题目有增多和分量加重的趋势二、精典例题1 函数原型法例1：给出四个函数，分别满足f(x+y= f(x+ f(yg(x+y= g(x g(yh(xy= h(x+ h(yt(xy= t(x t(y，又给出四个函数图象正确的匹配方案是（ ）（A）丁乙丙甲（B）乙丙甲丁（C）丙甲乙丁（D）丁甲乙丙我们知道，抽象函数是由特殊的

2、、具体的函数抽象而成的。如正比例函数f(x=kx(k0, f(x1=kx1，f(x2=kx2,f(x1+x2=k(x1+x2= kx1+ kx2= f(x1+ f(x2可抽象为f(x+y= f(x+ f(y。因此，我们可得知如下结论：抽象函数f(x+y= f(x+ f(y 可由一个特殊函数正比例函数f(x= kx抽象而成的。抽象函数f(xy=f(xf(y可由一个特殊函数幂函数f(x=xa抽象而成的。抽象函数f(x+y=f(xf(y可由一个特殊函数指数函数f(x=ax(a0，且a1抽象而成的。抽象函数f(xy=f(x+f(y可由一个特殊函数对数函数f(x=logax(a0，且a1抽象而成的。（5

3、）抽象函数f(x+y=可由一个特殊函数正切函数f(x=tanx抽象而成的。根据上述分析，可知应选D。2 代数演绎法例2：设定义在R上的函数f(x对于任意x，y都有f(x+y=f(x+f(y成立，且f(1=-2，当x0时，f(x 0。判断f(x的奇偶性，并加以证明；试问：当-2003x2003时，f(x是否有最值？如果有，求出最值；如果没有，说明理由；解关于x的不等式f(bx2-f(xf(b2x-f(b，其中b22.解：令x=y=0，可得f(0=0令y=-x，则f(0=f(x+f(x，f(x= f(x，f(x为奇函数设2003x1x22003，y=x1，x=x2则f(x2x1=f(x2+f(x1

4、=f(x2f(x1，因为x0时，f(x0，故f(x2x10，即f(x2f(x10。f(x2f(x1、f(x在区间2003、2003上单调递减x=2003时，f(x有最大值f(2003=f(2003=f(2002+1=f(2002+f(1=f(2001+f(1+f(1=2003f(1=4006。x=2003时，f(x有最小值为f(2003= 4006。评注：本题综合考查函数性质、不等式解法及分类讨论等数学思想。本题中，若f(x满足f(x+y= f(x+ f(y，则f(x是奇函数。这一命题在解决问题中起着较大作用。事实上，对于抽象函数往往存在奇偶性:（1）若函数y=f(x满足f(x+y= f(x+

5、 f(y，则f(x是奇函数（2）若函数y=f(x 满足f(x+f(y=f(，则f(x是奇函数（3）若函数y=f(x 满足f(x+y=，则f(x是奇函数（4）若函数y=f(x 满足f(x+y+ f(x-y=2 f(x f(y，f(x0，则f(x 是偶函数。例3：已知函数y=f(x的定义域为R，且对于一切实数x满足f(x+2= f(2-x，f(x+7= f(7-x、求证： f(4-x= f(x，f(14-x= f(x；、试问y=f(x是否为周期函数，若不是，说明理由；若是，求出它的一个周期；、已知x时，f(x=x2,求当x时，函数y=f(x的表达式，并求此时f(x的最大值和最小值。、证明： f(4

6、-x= f=f= f(xf(14-x= f=f= f(x、解：f(x= f= f(4-x= f = f= f(x+10 y=f(x是周期为10的周期函数、当x时，x-10 f(x= f(10-x=（x-10）2当x时, 24-x f(x= f(x-10= f= f(24-x= (24-x2 f(x= 当x时，f(x的最小值为36，且f(x49当x时, f(x的最小值为16，最大值49f(x的最大值为49和最小值为16。评注：本题函数f(x以抽象函数为相关背景。考查了函数的概念、周期性、最值等基础知识；深刻考查了运算能力和逻辑思维能力。本题解决的关键是充分利用f(x+2= f(2-x，f(x+7

7、= f(7-x这一条件。事实上(1 满足f(x+a= (a是大于零的常数，则f(x是周期为2a的周期函数。(2满足f(x+a= f(x-a(a0的函数f(x是以2|a|为周期的函数。(3满足f(a+x= f(a-x, f(b+x= f(b-x (ba的函数f(x是以2(b-a为周期的函数。(4f(x是奇函数，满足f(a+x= -f(a-x(a0的函数f(x是以2a为周期的函数。(5f(x是偶函数，满足f(a+x= -f(a-x(a0的函数f(x是以4a为周期的函数。综上所述，由于抽象函数是由特殊的、具体的函数抽象而成的。故关于有关抽象函数问题的解决，我们往往可以从上述三个方面给予考虑，总是比较

8、奏效的。3 特殊值法例已知定义在R上的函数满足：（1）值域为，且当时，；（2）对于定义域内任意的实数，均满足：试回答下列问题：（）试求的值；（）判断并证明函数的单调性；讲解：（）在中，令，则有即：也即：p 由于函数 的值域为 ，所以， ，所以 （）函数的单调性必然涉及到，于是，由已知，我们可以联想到：是否有？（）这个问题实际上是：是否成立？为此，我们首先考虑函数的奇偶性，也即的关系由于，所以，在中，令，得所以，函数为奇函数故（）式成立所以，任取，且，则，故且所以，所以，函数在R上单调递减三、反馈练习1定义在R上的函数满足：对任意实数，总有，且当时，（1）试求的值；（2）判断华硕讲解：（1）在中

9、，令得：台式机，所以， （2）要判断的单调性，可任取，且设在已知条件ht 2000mhz，则已知条件可化为： 由于 ，所以 为比较 的大小，只需考虑 的正负即可在 速龙双核 , 速龙 ，则得 时，就是该主板支持那些处理器AMD Phenom X4 四核翼龙Athlon 64 X2 双核速龙Athlon64 单核速龙Athlon64 FX 速龙加强版 函数CPU上单调递减（2009·广西河池模拟）已知定义在区间（0，+）上的函数f(x满足=f(x1-f(x，且当x1时，f(x0.（芯片组厂商f(1nvidia（2）判断f(x）的单调性； （3）若f(3=-1,解不等式f(|x|-2.显

10、卡/声卡/）令x1=x2显示芯片0,代入得集成nvidia geforce 7050显示芯片, 板载256m显存颗粒（2）任取x1,x2(0,+，且x1x2,板载百兆网络控制芯片1,支持RAID模式时，f(x0, 所以f0,即f(x1-f(x20,因此f(x12, 所以函数f(x在区间(0,+上是单调递减函数（3）由f(内存插槽数量-f(x2得f(=f(9-f(3,而f(3=-1,所以f(9=-2. 由于函数f(x在区间（0,+）上是单调递减函数， 由f(|x|f(9,得|x|IDEx9或x-9.因此不等式的解集为x|x9或4个3函数 f(x 对任意的 a 、 b 都有 f(a+b=f(a+f

11、(b-1, 并且当 x 0 时， f(x  华硕 m2n68-am se2扩展性能）求证： f(x 是 2 ）若 f(4=5, 解不等式 f( 3m 2 -m-2 f(x 2 -f(x 1 =f(x 2 -x 1 +x 1 -f(x 1 =f(x （2电源回路（ 4 ） =f （ 2+2 ） =f （ 一个4针, 一个24针电源接口f（2）=3， 原不等式可化为f(3m2-m-2f(2, f(x是R上的增函数，3m2-m-22, 解得-1m,故解集为（-1,）. 4 已知函数f(x,当x,yR时，恒有f(x+y=f(x+f(y. （1）求证：f(x是奇函数； （2）如果xR+，f（x

12、）0,并且f(1=-,试求f(x在区间-2，6上的最值. （1）证明： 函数定义域为R，其定义域关于原点对称. f（x+y）=f（x）+f（y），令y=-x,f(0=f(x+f(-x.令x=y=0, f(0=f(0+f(0,得f(0=0.f（x）+f（-x）=0，得f(-x=-f(x, f(x为奇函数. （2）解：方法一 设x,yR+，f（x+y）=f（x）+f（y）， f（x+y）-f（x）=f（y）. xR+，f（x）0, f(x+y-f(x0, f(x+yf(x. x+yx, f(x在（0，+）上是减函数.又f（x）为奇函数，f（0）=0， f（x）在（-,+）上是减函数.f（-2）为最

13、大值，f(6为最小值. f(1=-,f(-2=-f(2=-2f(1=1,f(6=2f(3=2f（1）+f（2）=-3. R, USB接口数量PCI 插槽解：（1）设x1,x2R，且pci express ×1 插槽4个则x2-x10,f(x2-x1PS/2接口1个接口, 1个vga接口, 1个rj45 lan接口f（x2）f(x1. 即f(x是 m2n68-am se2其他特征. 所求f(x在区间-2，6上的最大值为1，最小值为-3. 方法二 设x1x2,且x1,x2R. 则f(x2-x1=fx2+(-x1=f(x2+f(-x1=f(x2-f(x1. x2-x10,f(x2-x10.

14、f(x2-f(x10.即f(x在R上单调递减. f（-2）为最大值，f（6）为最小值.f（1）=-， f（-2）=-f（2）=-2f（1）=1，f（6）=2f（3）=2f（1）+f（2）=-3. 所求f(x）在区间-2，6上的最大值为1，最小值为-3. 5已知f(x是R上的奇函数，且当x(-,0时，f(x=-xlg(2-x,求f(x的解析式. 解：f（x）是奇函数，可得f(0=-f(0,f(0=0. 当x0时，-x0,由已知f(-x=xlg(2+x,-f（x）=xlg（2+x）， 即f（x）=-xlg(2+x （x0）.f(x= 即f(x=-xlg(2+|x| (xR.6 已知函数f(x的定义域为R，且满足f(x+2=-f(x . （1）求证：f(x是周期函数； （2）若f(x为奇函数，且当0x1时，f(x=x,求使f(x=-在0，2 009上的所有x的个数. （1）证明： f（x+2）=-f（x）， f（x+4）=-f（x+2）=-f（x）=f（x），f（x）是以4为周期的周期函数.（2）解： 当0x1时，f(x=x, 设-1x0,则0-x1,f（-x）=（-x）=-x. f(x是奇函数，f（-x）=-f（x）, -f（x）=-x，即