数学必修ⅳ人教新课标同步知识点学练考-向量的应用举例

1、向量的应用举例【教法探析】一、预习检查、总结疑惑检查落实了学生的预习情况并了解了学生的疑惑，使教学具有了针对性。二、情景导入、展示目标教师首先提问：（1）若O为重心,则+= （2）水渠横断面是四边形,=,且|=|,则这个四边形为等腰梯形，类比几何元素之间的关系,你会想到向量运算之间都有什么关系？（3） 两个人提一个旅行包,夹角越大越费力，为什么？教师：本节主要研究了用向量知识解决平面几何和物理问题；掌握向量法和坐标法，以及用向量解决平面几何和物理问题的步骤，已经布置学生们课前预习了这部分，检查学生预习情况并让学生把预习过程中的疑惑说出来。（设计意图：步步导入，吸引学生的注意力，明确学习目标。）

2、【学法导引】合作探究、精讲点拨探究一：（）向量运算与几何中的结论若，则，且所在直线平行或重合相类比，你有什么体会？（）由学生举出几个具有线性运算的几何实例。教师：平移、全等、相似、长度、夹角等几何性质可以由向量线性运算及数量积表示出来： 例如，向量数量积对应着几何中的长度。如图：平行四边行中，设,，则（平移），（长度）.向量，的夹角为，因此，可用向量方法解决平面几何中的一些问题。通过向量运算研究几何运算之间的关系，如距离、夹角等.把运算结果翻译成几何关系，本节课，我们就通过几个具体实例，来说明向量方法在平面几何中的运用。例1：证明：平行四边形两条对角线的平方和等于四条边的平方和。已知：平行四边

3、形ABCD求证：分析：用向量方法解决涉及长度、夹角的问题时，我们常常要考虑向量的数量积.注意到， ，我们计算和。证明：不妨设a，b，则a+b，a-b，|a|2，|b|2。得 （ a+b）·（ a+b） = a·a+ a·b+b·a+b·b= |a|2+2a·b+|b|2。 同理|a|2-2a·b+|b|2 +得2（|a|2+|b|2）=2（）所以，平行四边形两条对角线的平方和等于四条边的平方和。师：你能用几何方法解决这个问题吗？让学生体会几何方法与向量方法的区别与难易情况。师：由于向量能够运算，因此它在解决某些几何问题时具有

4、优越性，他把一个思辨过程变成了一个算法过程，可以按照一定的程序进行运算操作，从而降低了思考问题的难度。用向量方法解决平面几何问题，主要是下面三个步骤：（1）建立平面几何与向量的联系，用向量表示问题中涉及的几何元素，将平面几何问题转化为向量问题；（2）通过向量运算，研究几何元素之间的关系，如距离、夹角等问题；（3）把运算结果“翻译”成几何关系。例2：如图，平行四边形ABCD中，点E、F分别是AD、DC边的中点，BE、BF分别与AC交于R、T两点，你能发现AR、RT、TC之间的关系吗？分析：由于R、T是对角线AC上两点，所以要判断AR、RT、TC之间的关系，只需要分别判断AR、RT、TC与AC之间

5、的关系即可。解：设a，b，则a+b由与共线，因此。存在实数m，使得 =m（a+b）。又由与共线因此存在实数n，使得 =n= n（b- a）由= n，得m（a+b）= a+ n（b- a）整理得ab0由于向量a、b不共线，所以有，解得所以，同理于是，所以ARRTTC说明：本例通过向量之间的关系阐述了平面几何中的方法，待定系数法使用向量方法证明平面几何问题的常用方法。探究二：（1）两个人提一个旅行包,夹角越大越费力。（2）在单杠上做引体向上运动,两臂夹角越小越省力. 这些问题是为什么？师：向量在物理中的应用，实际上就是把物理问题转化为向量问题，然后通过向量运算解决向量问题，最后再用所获得的结果解释

6、物理现象。例3：在日常生活中，你是否有这样的经验：两个人共提一个旅行包，夹角越大越费力；在单杠上作引体向上运动，两臂的夹角越小越省力，你能从数学的角度解释这种现象吗？分析：上面的问题可以抽象为如右图所示的数学模型.只要分析清楚F、G、三者之间的关系（其中F为F1、F2的合力）,就得到了问题的数学解释。解：不妨设|F1|=|F2|， 由向量加法的平行四边形法则，理的平衡原理以及直角三角形的指示，可以得到|F1|=。通过上面的式子我们发现，当由逐渐变大时，由逐渐变大，的值由大逐渐变小，因此，|F1|有小逐渐变大，即F1、F2之间的夹角越大越费力，夹角越小越省力。例4：如图，一条河的两岸平行，河的宽

7、度m，一艘船从A处出发到河对岸，已知船的速度|v1|=10km/h，水流的速度|v2|=2km/h，问行驶航程最短时，所用的时间是多少（精确到0.1min）？分析：如果水是静止的，则船只要取垂直于对岸的方向行驶，就能使行驶航程最短，所用时间最短.考虑到水的流速，要使船的行驶航程最短，那么船的速度与水流速度的合速度v必须垂直于对岸.（用几何画板演示水流速度对船的实际航行的影响）解：=（km/h）所以， （min）答：行驶航程最短时，所用的时间是3.1 min本例关键在于对“行驶最短航程”的意义的解释，即“分析”中给出的穿必须垂直于河岸行驶，这是船的速度与水流速度的合速度应当垂直于河岸，分析清楚这

8、种关系侯，本例就容易解决了。【模拟练习】1.已知作用在A点的三个力F1（3,4），F2（2，5），F3（3,1）且A（1,1），则合力FF1F2F3的终点坐标为_2.如图，已知AD，BE，CF分别是ABC的三条高，求证：AD，BE，CF相交于同一点。3.两个力F1ij，F24i5j作用于同一质点，使该质点从A（20,15）移动到点B（7,0），（其中i，j是x轴、y轴正方向上的单位向量）求：（1）F1，F2分别对该质点做的功；（2）F1，F2的合力F对该质点做的功。参考答案1.（9,1）2.证明:设AD、BE交于点H，以下只需证明点H在CF上，因为ADBC，BECA，所以·0， &#

9、183;0又（）···0；（）···0两式相减得·（）0，即·0，所以，CHAB，又CFAB所以C，H，F三点共线，H在CF上.3.解:（1）F1做的功W128F2做的功W223（2）5【真题再现】1.（2012年高考（天津理）已知ABC为等边三角形,设点P,Q满足,若,则（）A. B. C. D.【答案】A 【命题意图】本试题以等边三角形为载体,主要考查了向量加减法的几何意义,平面向量基本定理,共线向量定理及其数量积的综合运用。 【解析】=,=, 又,且,所以,解得。xyABCDMN2.（2012年高考（上海理）在平行四边形ABCD中,A=, 边AB、AD的长分别为2、1， 若M、N分别是边BC、CD上的点,且满