易拉罐的形状和尺寸的设计介绍

1、易拉罐的形状和尺寸的最优设计摘 要本文讨论了以假设易拉罐的上、下底面及侧面所用材料相同为前提，在相同体积情况下，哪种形状的易拉罐所用材料最少。将易拉罐设计成正圆柱体，分析并建立了非线性规划模型，用连续函数求极值的方法，获得结果；探讨了易拉罐形状为由上面圆台和下面正圆柱体组成的最优化设计，建立了非线性规划模型,分别用隐函数求导数和拉格朗日乘子两种方法求解；最后采用相同体积时球体表面积最小这一数学结论，以及便于运输和放置的实际状况，我们把易拉罐形状设计为用两个平面截去顶部后的圆台，建立非线性规划模型。也尝试用旋转曲线建立球体最优设计。通过计算对比结果,第二种形状(目前使用易拉罐形状)是最优的。本文

2、还对模型进行了推广。关键词: 非线性规划 拉格朗日定理 隐函数一问 题 重 述日常生活中，我们稍加留意就会发现很多的饮料罐(即易拉罐)形状和尺寸几乎都一样。看来，这并非偶然，这应该是某种意义下的最优设计。当然，单个易拉罐的生产，对资源充分利用，节约生产成本并不明显。但如果生产的数量非常多的话，那么节约的钱就很可观了。为什么不同工厂的易拉罐采用统一规格？从数学的角度怎样给予合理的解释？易拉罐的圆柱底面圆的直径与圆柱的高的比是多少才为最优？和现实中的实际情况有什么差异，为什么？假设易拉罐的上、下底面及侧面所用的材料相同，则在相同的体积情况下，哪种形状和尺寸的饮料罐所用的材料最少则成本就越低，也就最

3、合理。需要研究的内容:(1) 对现实生活中易拉罐(可口可乐罐为例)的准确测量,包括罐体形状,尺寸等。(2) 当易拉罐为一正圆柱体时,讨论它的最优设计方案,通过对半径和高的比值来说明和验证所测量的相关数据。（3）当易拉罐有上面圆台和下面正圆柱体组成,如下图:讨论这种形状的最优方案,并与实际测量数据相分析比较。(4) 查阅资料,发挥想象力,设计出易拉罐形状和尺寸最优的方案。进行拉罐设计成本最小问题的数学建模及求解过程。最后,总结做本题以及以前学习和实践数学建模的亲身体验，写一篇短文，阐述什么是数学建模、它的关键步骤，以及难点。 二假设问题假设：1. 测量的355ml（可口可乐）饮料罐相关数据都是精

4、确的，忽略误差。2. 对任意模型能够进行加工，保证模型的设计方案足够多，选择足够大。3假设设计所用材料一样。4除易拉罐的顶盖外，罐的厚度相同。5不考虑压强。三约定符号说明符号： 说明 : 罐体的体积S： 罐体的表面积h: 柱体的高度: 被截面到球面的距离r： 球体的半径： 被截面的半径： 所用材料的体积 球缺的体积 球冠的体积 被切出现的圆的面积 球缺的表面积 四测量数据问题一：以下数据是以一个具体的可口可乐罐为实例测量：不规则圆柱体，中间略粗，上下两圆台半径相对小，上底略凸，下底凹进。顶盖的直径为：d=6cm; 半径为：r=d/2=3cm顶部和底部的全高为：h=12.1cm中间圆柱罐体直径和

5、高分别为：d=6.7cm h=10.2cm，则直径与高的比约为2：1。柱体的厚度为0.013cm，上半部分的厚度设为0.04cm.周长为21cm 。罐上标明净含量为 355 毫升(即 355 立方厘米)。五模型建立及求解模型一： 问题二：正圆柱体的最优设计 设易拉罐的高为h，底面圆半径为r， 则由圆柱的体积公式 V=r2·h 推得 h=V/r2 罐体表面积 S=2r2 +2rh，将 h=V/r 2 带进 S=2r2 +2rh求得： S=2r2 +2V/r按设计要求知，体积V是常数，半径r是变量，表面积S是r的函数。建立数学模型： 当r取何值时函数S取最小值？自变量r的取值决定了函数S

6、的最后结果模型的求解： 由 S=2r2 +2V/r =2r2 + V/r + V/r3 =3, 当且仅当 2r2 = V/r ，即r =时，易拉罐具有最小的表面积3 ，此时易拉罐的高h =2r。 图5即：体积给定，其表面积最小尺寸半径和高之比为1：2。正圆柱体表面积：3 =3278也即将易拉罐设计成等边圆柱时，消耗的材料最少。是模型的最优设计。实际测量的表面积为：=2r2+2rh277我们所实际测量的数据和设计有差别，什么原因造成的呢？ 是罐体厚度的造价问题。上底面、下底面与圆柱体侧面积所用材料价格并不一样。我们设侧面价格为P1，底面的价格为P2, 且P1P2 则一个易拉罐需要的价格函数为：y

7、= 2P1r2+2 P2r2y=（2P1r2+ 2P2rh）当2P1r2=P2rh 即 h=2P1r/ P2 时 易拉罐成本最低。模型二：问题三:圆台与圆柱体的最优设计明确变量和参数：设饮料罐的半径为 r（因此，直径为 d = 2r）, 罐的高为 h. 罐内体积为 V. b 为除顶盖外的材料的厚度. 其中 r, h 是自变量, 所用材料的体积 SV 是因变量, 而 b 和 V 是固定参数， 是待定参数。 rh 图6 饮料罐侧面所用材料的体积为:饮料罐顶盖所用材料的体积为 饮料罐底部所用材料的体积为 所以, SV 和 V 分别为, 因为, 所以带 的项可以忽略因此记 . 于是我们可以建立以下的数

8、学模型：其中 S 是目标函数，是约束条件, V 是已知的(即罐内体积一定), 即要在体积一定的条件下, 求罐的体积最小的 r, h 和 使得 r, h 和测量结果吻合. 这是一个求条件极值的问题. 模型的求解：从约束中解出一个变量，化条件极值问题为求一元函数的无条件极值问题从 解出 ,代入 S, 使原问题化为：求 d : h 使 S 最小, 即, 求 r 使最小. 求临界点: 令其导数为零得解得临界点为 , 因此测量数据为 h/r=2, 即 , 即顶盖的厚度是其他材料厚度的 3 倍. 为验证这个 r 确实使 S 达到极小。计算 S 的二阶导数所以, 这个 r 确实使 S 达到局部极小, 因为临

9、界点只有一个, 因此也是全局极小. 求 极小的初等方法是应用算术几何平均值不等式 ，当且仅当时等号成立.令 . 于是有, 当且仅当 时等号成立, 即, 结果相同. 上述解法中, 从解出 h 是关键的一步. 但是常常不容易或不能从约束条件中解出一个变量为另一个变量的函数(或者虽然能解出来, 但很复杂), 无助于问题的求解. 但是，如果表示变量间的隐函数关系, 并假设从中能确定隐函数(尽管没有解析表达式, 或表达式很复杂), 那么, 我们仍然可以写成 , 而且, 由隐函数求导法则, 我们有 因此, 是 S 的临界点的必要条件为假设 是 S 的临界点, 则有于是, 在 处, 因此, 如果我们引入 ,

10、 那么, 就有 把问题化为求三元函数 L 的无条件极值的问题.函数 L 称为 Lagrange 函数, 这种方法称为Lagrange 乘子法. 具体到我们这个问题, 有如下的结果. 引入参数 , 令 求临界点从第 2，3 式解得 ，代入第 1 式得.和前面的结果相同.得到表面积S=240验证和进一步的分析：测量顶盖的厚度，确实为其他侧面材料厚度的 3 倍. 如果易拉罐的半径为3厘米, 则其体积为 即装不下那么多饮料，为什么？模型到底对不对?按照, V = 365立方厘米, 可以算得r = 3.074 厘米. 粗略的计算, 可以把饮料罐的体积看成两部分,一是上底半径为 3 厘米，下底半径为 3.

11、3 厘米, 高为 1 厘米的锥台, 二是半径为 3.3 厘米, 高为 10.2 厘米的圆柱体. 它们的体积分别为 31.2 立方厘米和 349 立方厘米总共为 380.2 立方厘米. 然后, 我们再来通过测量重量或容积(怎么测量?)来验证. 我们可以认为 1 立方厘米的水和饮料的重量都是 1 克. 测量结果为: 未打开罐时饮料罐的重量为 370 克, 倒出来的可乐重 355 克, 空的饮料罐重量为 15 克, 装满水的饮料罐重量为 380 克. 这和我们的近似计算 380.2 立方厘米十分接近！饮料罐不能装满饮料, 而是留有 10 立方厘米的空间余量. 此外, 诸如底部的形状,上拱的底面。因为

12、做成底部向上凸，可以摆放得更平稳。易拉罐顶部也有对应的坑纹。底部向上凸，是为了使得用最小的面积，获得最大的抗压性，使底部更坚硬。如图7： 图7 顶盖实际上也不是平面的, 略有上拱, 顶盖实际上是半径为 3 + 0.4 + 0.2 = 3.6 平方厘米的材料冲压而成的, 从顶盖到中间圆柱的部分的斜率为 0.3, 这些要求也许保证了和饮料罐的薄的部分的焊接(粘合)很牢固、耐压。考虑实际所用材料的模型 实际上, 顶盖的半径为r + 0.6厘米, 而正圆柱的高为h + 0.6厘米. 因此问题就转化为: 当 V 固定时, 求 d : h 使 S 最小. 我们从约束中解出一个变量, 化条件极值问题为求一元

13、函数的无条件极值问题, 即 这时, 我们发现尽管三次方程求根有公式, 但是很繁琐, 而且最终还是要数值求解. 不如直接将数值代入, 用数学软件Matlab或C语言（见附录二）来求数值解由于 V = 365 立方厘米. 即，r 2.9，, 所以，h : d 2.4, 高是直径的 2.4倍! 模型三：小组对易拉罐的最优设计问题4:具体分析：在体积一定的几何形体中,球的表面积最小 ，则理想的形状就是球。 那么，我们可以朝球体方向讨论。当设计的容器高h和它的直径d相等的时候才是最合理的，因为这时候容器是个球体，圆形周长最短，在容积相同（里面的饮料一样多时）易拉罐横截面为圆形的时候最节省材料。 虽然，同

14、样容积的容器，球形的表面积最小，下料最省，但易拉罐做成球形从运输，排放等都不合理，在技术上和使用上都较困难。因此，需要设计一种即节约成本，比较容易生产又便于使用，符合大众消费需求的存储介质，我们认为对球进行切割使球上下都有相同截面的圆台，同时两个被截球冠表面积与体积均全等。如图8： 设球的体积为V，表面积S，球心到截面的距离h,球的半径r，截面的半径,圆台截面的面积为,我们要求的圆台（图8）表面积为，被切割的球冠体积为，剩余圆台（图8）体积为。有： =r此时截面的面积为： = 由勾股定理得： =此时圆的面积 =（） 被切割的球体表面积为： 当切点无限增加，侧面则无限接近球面。 图9因而有：=h

15、r-h由定义知上、下有两个被截球冠的表面积和两个截面表面积均分别相等。所以，被切割的半球体总表面积为2，截面总表面积为2从而求得剩余圆台（图8）表面积：= S-2+2=4r-2hr-2h+2（） =6r-2hr上、下两个被截球冠的表面积相等，考虑密度因素以外，体积也应相等（已假设定义）于是有： =1/3=-2=4/3-2/3 =考虑到瓶子摆放的稳定性，当瓶子与地面的倾斜角度在以下时，瓶子的重心不会超过下面的平面，保持其平稳性，不会倒掉。因此，是倾斜面不倒的临界角度。建立数学模型: 目标函数： 约束条件： V355由=355得： r=4.4 所以 =-*0.6模型求解得表面积S=6r-2hr通过

16、比较： 正圆柱体表面积：3 =3278现实生活罐体表面积：S=240圆台表面积S=6r-2hr264实际测量的表面积为：=2r2+2rh277由上得出： 现实生活中实际使用的易拉罐设计是最优设计。六模型的推广和评价认识1 本问题所考虑的只是易拉罐形状和尺寸的设计问题 ，可以推广到液体、液晶等物质的最大化存储或运输的相关领域 产生经济和社会效益。2 利用了高等数学知识，设计了多种情况的优化设计方案。最大限度节约了罐体的下料和生产成本，而且优化设计后的方案简单明了，涉及领域较广，施行方便。3 本方案设计数据精确，模型结果实用性强，较完美解决了易拉罐形状和尺寸设计的原始问题。4 简化了模型的计算，但

17、建模时间仓促，模型细致度有待进一步提高。5 从这几种模型的计算结果综合考虑可知，第二种模型仍然是最优的。七建模感悟从高教社杯数模大赛紧张气氛中走出来，感受颇多，从数模课的深入研究学习直到走进数模大赛，让我们真正理解着数学的神韵，升华着我们创造性思维 数学建模，即针对实际问题，从实际中提炼数学问题抽象化为数学模型，求出模型的，求出模型的解或近似解，并进行检验，使之切合实际，最后编辑由数学内容构成，以议论方式表达目标的说理论文。数学建模首先在于懂得数学模型。数学模型是对于现实世界一个特定对象，特定目的，根据其内在规律，做出必要的假设，运用数学工具，得到一个数学结构，简单的说，就是系统的某种特征的本

18、质的数学表达式或数学术语用数学式子（如函数、图形、代数方程、微积分等）来描述（模拟）所研究的客观对象或系统在某一方面存在规律。数学建立模型就是利用数学方法解决实际问题的一种实践，同过抽象、假设等将实际问题用数学表达式建立合理的模型，然后运用先进的数学方法及计算机技术进行求解。在几天烦琐的建模，解模中，也摸索了一些具体的建模步骤，主要有：1 对实际问题的抽象、简化、假设，从而确定问题求解的变量和参数；2 建立数学模型，并运用方差、微积分等数学方法和lingo、lindo等计算机软件求出正解或近似解，确定其相关的参数；3 用实际问题的实测数据来检验该模型4 符合实际，交付使用，达到产生经济，社会效

19、益的目的；不符合实际，重新建模、求解。其中，对实际问题分析的透析度，对题目推敲的准确性，统计出的数据的正确性，反映出研究范围和达到的深度，以及概念写法揭示的内涵和外延，决定着论文的质量和生命力。建立数学模型也是十分关键的一步，同时也是异常困难的一步，建立数学模型的过程，是使错综复杂的实际问题简化、抽象为合理的数学结构过程。通过调查、收集数据，观察和研究起内在规律，运用我们平时积累的深厚扎实的数学基础，敏锐的洞察力和想象力，以及对实际问题的浓厚兴趣和广博知识面，建立反映实际问题的数量关系，然后利用数学理论和方法去分析和解决问题.八参考文献1. 吴建成 高等数学 北京西城区德外大街4号 高等教育出版社 2005年6月2. 于忠文 数学论文写作概论 北京地质印刷厂印刷 航空工业出版社 1999年7月3.全国竞赛组委会 1992年-1995年全国大学生数学建模竞赛优秀论文汇编 1997年3月附录一：编写M文件fu