双曲线教学(老师用)

1、课题：双曲线及其标准方程（一）教学目标 1.掌握双曲线定义、标准方程及其求法； 2.掌握焦点、焦距、焦点位置与方程关系；3.认识双曲线的变化规律.教学重点 双曲线的定义及标准方程教学难点 双曲线标准方程的推导教学过程1、设置情境我们已经知道，与两定点的距离的和为常数的点的轨迹是椭圆，那么与两定点的距离的差为非零常数的点的轨迹是怎样的曲线呢？（用双曲线演示模板画出双曲线）下面我们给出双曲线的定义，并研究双曲线的方程.2、探索研究双曲线的定义：（1）      绘图演示（2）      分析原理（3

2、）      归纳定义（注意与椭圆比较）我们把平面内与两个定点F1、F2的距离的差的绝对值等于常数（小于 ）的点的轨迹叫做双曲线.说明常数小于 ；这两个定点叫做双曲线的焦点；这两焦点的距离叫双曲线的焦距.双曲线的标准方程：（1）双曲线的标准方程的推导推导过程：参见课本p.105如图812，建立直角坐标系xOy，使x轴经过点F1、F2，并且点O与线段F1F2的中点重合.设M（x,y）是双曲线上任意一点，双曲线的焦距为2c(c>0)，那么，焦点F1、F2的坐标分别是(c,0)、(c,0).又设M与F1、F2的距离的差的绝对值等于常数2a.由定

3、义可知，双曲线就是集合 将方程化简得(c2a2)x2a2y2=a2(c2a2).由双曲线的定义可知，2c>2a，即c>a，所以c2a2>0，令c2a2=b2，其中b>0，代入上式得 (a>0,b>0).（2）双曲线的标准方程的形式形式一： （a>0,b>0）说明：此方程表示焦点在x轴上的双曲线.焦点是F1(c,0)、F2(c,0)，这里c2=a2+b2.形式二： （a>0,b>0）说明：此方程表示焦点在y轴上的双曲线，焦点是F1(0，c)、F2(0， c)，这里c2=a2+b2.3、反思应用例1求适合下列条件的双曲线的标准方程（1）&

4、#160;      a=4, c=5, 焦点在x轴上；（2）       焦点为（-5，0），（5，0），且b =3（3）       a=4, 经过点 ；（4）       焦点在y轴上，且过点 分析 根据已知条件求出双曲线的标准方程中的a, b 即可，注意标准方程的形式例2（课本例） 已知双曲线两个焦点的坐标为F1（5，0）、F2（5，0），双曲线上一点P到F1

5、、F2的距离的差的绝对值等于6，求双曲线的标准方程.解：因为双曲线的焦点在x轴上，所以设它的标准方程为： (a>0,b>0).2a=6,2c=10,a=3,c=5.b2=5232=16所以所求双曲线的标准方程为说明：例1、2目的在于让学生熟悉双曲线的定义与标准方程的形式.例3、证明椭圆x2/25y2/191与双曲线x215y215的焦点相同。 分析：分别求出椭圆及双曲线的焦点即可例4、已知方程 表示焦点在y轴上的双曲线，求k的取值范围随堂练习(课本P107 2, 4) 已知方程 表示双曲线，则实数m的取值范围是。求适合下列条件的双曲线的标准方程a=4,b=3，焦点在x轴上；焦点为(

6、0,6),(0,6)，经过点(2,5)焦点在x轴上，经过点 4、归纳总结数学思想方法：数形结合，待定系数法，分类讨论掌握双曲线的定义及其标准方程的推导，并利用焦点、焦距与方程关系确定双曲线方程.5、课后作业习题 1、2、3双曲线及其标准方程（二）教学目标 1.进一步掌握双曲线的定义及其标准方程的求法，特别是用定义法和待定系数法；2.了解双曲线定义及其标准方程知识在实际中的应用.教学重点 双曲线的定义及其标准方程教学难点 双曲线定义及其标准方程知识在实际中的应用教学过程1、复习回顾（1）双曲线定义（2）两种形式的标准方程根据下列条件，求双曲线的标准方程过点P(3,15/4),Q(16/3,5)，

7、且焦点在坐标轴上； 经过点(5,2)，且焦点在x轴上；与双曲线x2/16y2/41有相同的焦点，且经过点 。分析：设双曲线方程为mx2ny21(mn0)，则解得 所求方程为x2/16y2/91小结：“巧设”方程为“为mx2ny21(mn0)”避免分两种情况进行讨论。 且焦点在x轴上，设标准方程为x2/my2/(6m)1（0m6）双曲线经过(5,2)，25/m4/(m6)1，解得m5或m30（舍去）所求方程为x2/5y21与双曲线x2/16y2/41有相同的焦点，设所求双曲线的标准方程为 双曲线经过点 ， ，解得4或1(舍去)所求方程为x2/12y2/81小结：注意到了与双曲线 x2/16y2/

8、41共焦点的双曲线系方程为 后，便有了上述巧妙的设法。已知双曲线x2/a2y2/b21（a>0,b>0）, 求过它的焦点且垂直于x 轴的弦长分析：设双曲线的一个焦点为F（c,0），过F且垂直于x轴的弦为AB，要求AB的长，只需确定弦的一个端点A或B的纵坐标即可|AB|2a2/c变：双曲线x2/4y2/121上的点P到左焦点的距离为6，这样的点有个。一动圆P过定点M（4，0），且与已知圆N：(x4)2y216相切，求动圆圆心P的轨迹。分析：由题意，列出动圆圆心满足的几何条件，若能由此条判断出动点的轨迹是哪种曲线，则可直接求出其轨迹方程来内切时，定圆N在动圆P的内部，有|PC|PM|4

9、，外切时，有|PC|PM|4，故点P的轨迹是双曲线x2/4y2/121。已知动圆P与定圆C1：(x5)2y249,C2：(x5)2y21 都相切，求动圆圆心的轨迹的方程分析：外切有|PC1|7r, |PC2|1r，|PC1|PC2|6，内切有|PC1|r7, |PC2|r 1，|PC2|PC1|6故点P的轨迹是双曲线x2/9y2/1612、探索研究：例（课本）一炮弹在某处爆炸，在A处听到爆炸声的时间比在B处晚2 s.（1）爆炸点应在什么样的曲线上？（2）已知A、B两地相距800 m，并且此时声速为340 m/s，求曲线的方程.解（1）由声速及A、B两处听到爆炸声的时间差，可知A、B两处与爆炸点

10、的距离的差，因此爆炸点应位于以A、B为焦点的双曲线上.因为爆炸点离A处比离B处更远，所以爆炸点应在靠近B处的一支上.（2）如图814，建立直角坐标系xOy，使A、B两点在x轴上，并且点O与线段AB的中点重合.设爆炸点P的坐标为（x,y），则即2a=680,a=340.又 2c=800,c=400, b2=c2a2=44400. x>0.所求双曲线的方程为： (x>0).说明：该例表明，利用两个不同的观测点测得同一炮弹爆炸声的时间差，可以确定爆炸点所在的双曲线的方程，但不能确定爆炸点的准确位置.而现实生活中为了安全，我们最关心的则是爆炸点的准确位置，那么我们如何解决这个问题呢？如果再

11、增设一个观测点C，利用B、C（或A、C）两处测得的爆炸声的时间差，可以求出另一个双曲线的方程，解这两个方程组成的方程组，就能确定爆炸点的准确位置.这是双曲线的一个重要应用.如果A、B两点同时听到爆炸声，说明爆炸点到A、B的距离相等，那么爆炸点应在怎样的曲线上？AB的中垂线。4、归纳总结数学思想方法：数形结合，待定系数法，分类讨论掌握双曲线的定义及其标准方程的推导，并利用焦点、焦距与方程关系确定双曲线方程.5、课后作业习题 4,5,6.四 双曲线§ 2.11 双曲线及其标准方程一、教学目标（一）知识教学点使学生掌握双曲线的定义和标准方程，以及标准方程的推导。（二）能力训练点在与椭圆的类

12、比中获得双曲线的知识，从而培养学生分析、归纳、推理等能力。（三）学科渗透点本次课注意发挥类比和设想的作用，与椭圆进行类比、设想，使学生得到关于双曲线的定义、标准方程一个比较深刻的认识。二、教材分析1、重点：双曲线的定义和双曲线的标准方程。（解决办法：通过一个简单实验得出双曲线，再通过设问给出双曲线的定义；对于双曲线的标准方程通过比较加深认识）2、难点：双曲线的标准方程的推导（解决办法：引导学生完成，提醒学生与椭圆标准方程的推导类比）3、疑点：双曲线的方程是二次函数关系吗？（解决方法：教师可以从引导学生回忆函数定义和观察双曲线图形来解决，同时让学生在课外去研究在什么附加条件下，双曲线方程可以转化

13、为函数式）三、活动设计提问、实验、设问、归纳定义、讲解、演板、口答、重点讲解、小结四、教学过程 （一）复习提问 1、椭圆的定义是什么？（学生回答、教师板书） 平面内与两定点F1、F2的距离的和等于常数（大于|F1F2|）的点的轨迹叫椭圆，教师要强调条件：（1）平面内；（2）到两定点F1、F2的距离的和等于常数；（3）常数2a>|F1F2|2、椭圆的标准方程是什么？（学生口答，教师板书）焦点在x轴上的椭圆标准方程为x2、a2+y2/b2=1（a>b>0）；焦点在y轴上的椭圆标准方程为y2/a2+x2/b2=1（a>b>O）（二）双曲线的概念把椭圆定义中的“距离的和”

14、改为“距离的差”，那么点的轨迹会怎样？它的方程是怎样的呢？1、简单实验（边演示、边说明）如图2-23，定点F1、F2是两个按钉，MN是一个细套管，两条细绳分别拴在按钉上且穿过套管，点M移动时，|MF1|-|MF2|是常数，这样就画出曲线的一支；由|MF2|-|MF1|是同一常数，可以画出另一支。注意：常数要大小于|F1F2|，否则作不出图形，这们作出的曲线就叫做双曲线。2、设问问题1：定点F1、F2与动点M不在平面上，能否得到双曲线？请学生回答，不能，强调“在平面内”问题2：|MF1|与|MF2|哪个大？请学生回答，不定：当M在双曲线右支上时，|MF1|<|MF2|；当然M在双曲线左支上

15、时，|MF1|-|MF2|问题3：点M与定点F1、F2距离的差是否就是|MF1|-|MF2|？请学生回答，应小于|F1F2|且大于零，当常数=|F1F2|时，轨迹是以F1、F2为端点的两条射线；当常数>|F1F2|时，无轨迹3、定义在上述基础上，引导学生概括双曲线的定义：平面内与两定点F1、F2的距离的差的绝对值是常数（小于|F1F2|的点的轨迹叫做双曲线，这两个定点F1、F2叫做双曲线的焦点，两个焦点之间的距离叫做焦距）教师指出：双曲线的定义可以与椭圆相对照来记忆，不要死记。（三）双曲线的标准方程现在来研究双曲线的方程，我们可以类似求椭圆的方程的方法来求双曲线的方程。这时设问：求椭圆的

16、方程的一般步骤方法是什么？不要求学生回答，主要引起学生思考，随即引导学生给出双曲线的方程的推导。标准方程的推导；（1）建系设点取过焦点F1、F2的直线为x轴，线段F1、F2的垂直平分线为y轴（如图2-24）建立直角坐标系设M（x，y）为双曲线上任意一点，双曲线的焦距是2c（c>0），那么F1、F2的坐标分别是（-c，0）、（c，0）。又设点M与F1、F2的距离的差的绝对值等于常数。（2）点的集合 由定义可知，双曲线就是集合：P=M|MF1|-| MF2|=2a=M|MF1|-| MF2|=±2a（3）代数方程|MF1|=（x+c）2+y2，|MF2|=（x-c）2+y2 ，（x

17、+c）2+y2 -（x-c）2+y2 =±2a（4）化简方程（由学生演板）将这个方程移项，两边平方得：（x+c）2+y2 =4a2±4a（x-c）2+y2 +（x-c）2+y2 化简得：cx-a2=±（x-c）2+y2 两边再平方，整理得：（c2-a2）x2-a2y2=a（c2-a2）（以上推导完全可以仿照椭圆方程的推导。）由双曲线定义，2c2a即ca，所以c2-a20设C2-a2=b2（b0），代入上式得： b2x2-a2y2=a2b2 即 x2/a2-y2/b2=1这就是双曲线的标准方程两种标准方程的比较（引导学生归纳）：（1）x2/a2-y2/b2=1（a0

18、，b0）表示焦点在x轴上的双曲线，焦点是F1（-c，0）、F2（c，0），这里c2=a2+b2；（2）y2/a2-x2/b2=1（a0，b0）表示焦点在y轴上的双曲线，焦点是F1（0，-c）、F2（0，c），这里c2=a2+b2（只须将（1）方程的x、y互换即可得到）。教师指出：（1）双曲线标准方程中，a0，b0，但a不一定大于b；（2）如果x2 项的系数是正的，那么焦点在x轴上；如果y2项的系数是正的，那么焦点在y轴上，注意有别于椭圆能过比较分母的大小来判定焦点在哪一坐标轴上。（3）双曲线标准方程中a、b、c的关系是c2=a2+b2，不同于椭圆方程中c2=a2-b2 。（四）练习与例题1、求

19、满足下列的双曲线的标准方程：焦点F1（-3，0）、F2（3，0），且2a=4；本题由学生先练习再口答：x2/4-y2/5=1；2、证明：椭圆x2/25-y2/9=1与双曲线x2-15y2=15的焦点相同。由学生演板完成，椭圆焦点F1（-4，0）、F2（4，0）；双曲线焦点F1 （-4，0）、F2 （4，0）。 3、已知两点F1（-5，0）、F2（5，0），求与它们的距离的差的绝对值是6的点的轨迹方程，如果把这里的数字6改为12，其他条件不变，会出现什么情况？由教师讲解：按定义，所求点的轨迹是双曲线，因为c=5，a=3，所以b2=c2-a2=52-32=42 因此，所求方程是x2/32-y2/4

20、2，即x2/9-y2/16=1因为，2a=12，2c=10，且2a2c所以动点无轨迹（五）小结 1、定义：平面内与两定点F1、F2的距离的差的绝对值等于常数（小于|F1F2|）的点的轨迹。 2、标准方程：x2/a2-y2/b2=1（，），2/a2-2/b2=1（，）、图形（见图2-25）4、焦点：F1（-c，0）、F2（c，0）；5、a、b、c的关系：c2=a2+b2；c2=a2+b2 五、布置作业1、根据下列条件，求双曲线的标准方程：（1）焦点的坐标是（-6，0）、（6，0），并且经过点A（-5，2）；（2）经过点P（-3，27）和Q（-62，-7），焦点在y轴上。 2、已知x2/1+k+y

21、2/1-k=1表示双曲线，求k的取值范围。3、已知圆锥曲线的方程为mx2+ny2=m+n（m0m+n，求其焦点坐标。作业答案：1、（1）x2/20-y2/16=1 （2）y2/25-x2/75=12、由（1+k）（1-k）0解得：k-1或k13、原方程可化为：x2/（m+n）/m+y2/（m+n）/n=1m+n/m0，m+n/n，故此曲线为焦点在y轴上的双曲线，a2=m+n/n，b2=-m+n/-m，c=a2+b2=m2-n2/mn焦点F1（0，-m2-n2/mn）、F2（0，-m2-n2/mn） 六、板书设计§2.12 双曲线的几何性质一、教学目标（一）知识教学点使学生理解并掌握双

22、曲线的几何性质，并能从双曲线的标准方程出发，推导出这些性质，并能具体估计双曲线的形状特征。（二）能力训练点在与椭圆的性质的类比中获得双曲线的性质，从而培养学生分析、归纳、推理等能力。（三）学科渗透点 使学生进一步掌握利用方程研究曲线性质的基本方法，加深对直角坐标系中曲线与方程的关系概念的理解，这样才能解决双曲线中的弦、最值等问题。二、教材分析1、重点：双曲线的几何性质及初步运用。（解决办法：引导学生类比椭圆的几何性质得出，至于渐近线引导学生证明。）2、难点：双曲线的渐近线方程的导出和论证。（解决办法：先引导学生观察以原点为中心，2a、2b长为邻边的矩形的两条对角线，再论证这两条对角线即为双曲线

23、的渐近线。）3、疑点：双曲线的渐近线的证明。（解决办法：通过详细讲解。）三、活动设计提问、类比、重点讲解、演板、讲解并归纳、小结。四、教学过程（一）复习提问引人新课1、椭圆有哪些几何性质，是如何探讨的？请一同学回答。应为：范围、对称性、顶点、离心率，是从标准方程探讨的。2、双曲线的两种标准方程是什么？再请一同学回答，应为：中心在原点、焦点在x轴上的双曲线的标准方程为x2/a2-y2/b2=1；中心在原点，焦点在y轴上的双曲线的标准方程y2/a2-x2/b2=1。下面我们类比椭圆的几何性质来研究它的几何性质。（二）类比联想得出性质（性质1-3）引导学生完成下列关于椭圆与双曲线性质的表格（让学生回

24、答，教师引导、启发、订正并板书），<见下页>（三）问题之中导出渐近线（性质4） 在学习椭圆时，以原点为中心，2a、2b为邻边的矩形，对于估计椭圆的形状，画出椭圆的简图都有很大作用，试问对双曲线x2/a2-y2/b2=1，仍以原点为中心，2a、2b为邻边作一矩形（板书图形），那么双曲线和这个矩形有什么关系？这个矩形对于估计和画出双曲线简图（图2-26）有什么指导意义？这些问题不要求学生回答，只引起学生类比联想。接着再提出问题：当a、b为已知时，这个矩形的两条对角线的方程是什么？请一同学回答，应为y=±b/a x，并画出两条对角线，进一步引导学生从图观察得出结论：双曲线x2/

25、a2-y2/b2=1的各支向外延伸时，与这两条渐近线逐渐接近。下面，我们来证明它；双曲线在第一象限的部分可写成：y=b/ax2-a2（xa）设M（x，y）是它上面的点，N（x，7）是直线y=b/a x上与M有相同的横坐标的点，则y=b/a x。 y=b/ax2-a2=b/ax1-（a/x）2b/ax=y|MN|=y-y=b/a（x-x2-a2）=b/a（x-x2-a2）（x+x2-a2）/ x+x2-a2 =ab/ x+x2-a2 设|MQ|是点M到直线y=b/ax的距离，则有|MQ|MN|当x逐渐增大时，|MN|逐渐减小，x无限增大，|MN|接近于零，|MQ|也接近于零，就是说，双曲线在第一

26、象限的部分从射线ON的下方逐渐接近于射线ON。在其他象限内也可以证明类似的情况。我们把两条直线y=±b/ax叫做双曲线的渐近线。现在来看看实轴在y轴上的双曲线的渐近线方程是怎样的？由于焦点y轴上的双曲线方程是由焦点在x轴上的双曲线方程，将x、y字母对调所得到，自然前者渐近线方程也可由后者渐近线方程将x、y字母对调而得，所以，双曲线y2/a2-x2/b2=1的渐近线的方程是x=±b/a y即y=±a/b x。定义：直线y=±a/b x叫做双曲线x2/a2-y2/b2=1的渐近线。这样，我们就完满地解决了画双曲线远处趋向问题，从而可比较精确地画出双曲线。例如

27、：画双曲线x2/25-y2/16=1，先作渐近线y=±4/5x，再描几个点，就可以随后画出比较精确的双曲线。（四）顺其自然介绍离心率（性质5）由于正确认识了渐近线的概念，对于离心率的直观意义也就容易掌握了，为此，介绍一下双曲线的离心率以及它对双曲线的形状的影响：1、双曲线的焦距与实轴的比e=c/a叫做双曲线的离心率，且e1。2、由于b/a=c2-a2/a= c2/a2 1=e2-1，所以e越大，b/a也越大，即渐近线y=±b/ax的斜率绝对值越大，这时双曲线的形状就从扁狭逐渐变得开阔，从而得出：双曲线的离心率越大，它的开口就越开阔。这时，教师指出：焦点在y轴上的双曲线的几何

28、性质可以类似得出，双曲线的几何性质与坐标系的选择无关，即不随坐标系的改变而改变。（五）练习与例题 1、求双曲线9y2-16x2=144的实半轴长和虚半轴长、焦点坐标、离心率、渐近线方程。请一学生演板，其他同学练习，教师巡视，练习毕予以订正。 解：把方程化为标准方程y2/42=x2/32=1 由此可知，实半轴长a=4，虚半轴长b=3。 C=a2+b2=42+32=5焦点坐标是（0，-5），（0，5）离心率为e=c/a=5/4渐近一方程为x=±3/4y，即y=±4/3x2、点M（x，y）到定点F（c，o）的距离和它到定直线l：x=a2/c的距离的比是常数（c/a）（ca0），求

29、点M的轨迹（图2-27）。本题实质上是双曲线的第二定义，要重点讲解并加以归纳小结。解：设d是点M到直线l的距离，根据题意，所求轨迹就是集合：P=M|MF|/d=c/a由此得（x-c）x2-a2y2=a2（c2-a2）设c2-a2=b2，就可化为x2/a2-y2/b2=1这就是双曲线的标准方程。由此例不难归纳出双曲线的第二定义。（一） 双曲线的第二定义1、定义（由学生归纳给出）平面内点M与一定点的距离和它到一条直线的距离的比是常数e=c/a（e1）时，这个点M的轨迹是双曲线，定点是双曲线的焦点，定直线叫做双曲线的准线，常数e是双曲线的离心率。 2、说明（1）对于双曲线x2/a2-x2/2=1，相

30、应于焦点F（c，0）的准线方程是x=a2/c，根据双曲线的对称性，相应于焦点F（-c，0）的准线方程是x=-a2/c。（2）对于双曲线y2/a2-x2/b2=1，相应于焦点F（0，c）的准线方程是y=a2/c，相应于焦点F（0，-c）的准线方程是y=-a2/c。（二） 小结（由学生课后完成）将双曲线的几何性质按两种标准方程形式列表小结。五、布置作业1、已知双曲线方程如下，求它们的两个焦点、离心率e和渐近线方程。 （1）16x2-9y2=144； （2）16x2-9y2=-144。2、求双曲线的标准方程：（1）实轴的长是10，虚轴长是8，焦点在x轴上；（2）焦距是10，虚轴长是8，焦点在y轴上；

31、（3）离心率e=2，经过点M（-5，3）；（1） 两条渐近线的方程是y=±2/3x，经过点M（9/2，-1）。 3、求以椭圆x2/8+y2/5=1的焦点为顶点，而以椭圆的顶点为焦点的双曲线的方程。 4、已知双曲线x2/4-y2/5=1上的P点到左焦点的距离等于3，求P点到两准线及右焦点的距离。 作业答案： 1、（1）F1（-5，0），F2（5，0），e=5/3，渐近线方程为y=±4/3x。 （2）（1）F1（0，-5），F2（0，5），e=5/4，渐近线方程为y=±4/3x。 2、（1）x2/25-y2/16=1 （2）y2/9-x2/16=1（3）x2/16-y

32、2/16=1 （4）x2/18-y2/8=1 3、x2/3-y2/5=1 4、P点到左准线的距离为2，到右准线的距离是14/3，到右焦点的距离为7。 六、板书设计§2.13双曲线的定义、标准方程以及几何性质的应用 一、教学目标（一）知识教学点使学生进一步理解双曲线的定义，掌握双曲线的标准方程以及几何性质。（二）能力训练点通过对双曲线定义、标准方程和几何性质的进一步研究，培养学生综合运用双曲线的各方面知识的能力。（三）学科渗透点 双曲线的定义、标准方程以及几何性质是来源于实践的理论，同时服务于实践，通过本次课可进行辩证唯物主义思想教育。二、教材分析1、重点：双曲线的定义、标准方程以及几

33、何性质的应用。（解决办法：多加强这方面的题型训练，使学生掌握它们的规律。）2、难点：双曲线的焦半径和弦长问题。（解决办法：先证明焦半径公式，再用它解决一些问题。）3、疑点：双曲线的焦半径公式的复杂性（解决办法：将双曲线的焦半径用一表格小结出来。）三、活动设计复习提问、填表、讲解、口答、演板、讨论四、教学过程（一）复习1、定义：（请两名学生回答，教师板书）第一定义：平面内与两定点F1、F2的距离的差的绝对值是常数2a（2a|F1F2|=2c）的动点M的轨迹叫做双曲线，这两个定点F1、F2 叫做双曲线的焦点，两焦点之间的距离叫做焦距，即 |PF1|-|PF2|=2a （2a|F1F2|=2a 第二

34、定义：平面内点M与定点F的距离和它到一条定直线l的距离的比是常数e=c/a（e1）时，这个点M的轨迹是双曲线，定点F是双曲线的焦点，定直线l叫做双曲线的准线，常数e是双曲线的离心率。 2、标准方程、图象及几何性质（教师事先准备一块小黑板，设计如下表格，请两名同学填写，其他同学纠错，教师巡视。）3、共轭双曲线的性质（共轭双曲线是指以已知双曲线的虚轴为实轴，实轴为虚轴而得到双曲线，参考课本例3）：（1）双曲线和它的共轭双曲线有共同的渐近线；（2）双曲线和它的共轭双曲线的四个焦点在同一圆上。（二）举例例1 已知双曲线渐近线方程是y=1/2x，焦点在坐标轴上，焦距是10，求它的方程。分析：由于双曲线的

35、焦点位置未确定，所以双曲线的方程可设两种情形：x2/a2-y2/b2=1 或 y2/a2-x2/b2=1 解：（由学生演板完成）设双曲线方程为x2/a2-y2/b2=1 或 y2/a2-x2/b2=1 ，则有：b/a=1/2 或 a/b=1/22c=10 2c=10c2=a2+b2 c2=a2+b2 即 a2=20 或 a2=5 b2=5 b2=20 故所求的双曲线方程为x2/20-y2/5=1或y2/5-x2/20=1 再分析：在家知道已知双曲线可以确定唯一的渐近线的方程；反之，如果已知双曲线的渐近线方程，能否确定唯一的双曲线方程呢？从上述解法以及共轭双曲线的性质易知：双曲线不唯一。一般地，

36、以x/a±y/b=0为渐近线的双曲线系x2/a2-y2/b2=（R且0）当0时，双曲线中心在原点，焦点在x轴上；当0时，双曲线中心在原点，焦点在y轴上。 另解：（教师讲解并板书） 可设所求的双曲线方程为x±2y=0可设所求的双曲线方程为 x2-4y2=（R且0）即x2/-y2/4=1|+|/4=C2=25， |=20，即=±20所求双曲线方程为x2/20-y2/5=1或y2/5-x2/20=1 例 2 已知F1、F2是双曲线16x2-9y2=144的两个焦点，点P在双曲线上，且|PF1|·|PF2|=32，求F1PF2的大小。 解：原方程化为x2/9-y

37、2/16=1。 a2=9， b2=16 c2=25从而|F1F2|=2c=10又由双曲线的定义可得：|PF1|+|PF2|=2a=6|PF1|2+|PF2|2=（|PF1|-|PF2|）2+2|PF1|PF2| =62+2×32=100而|F1 F2|2 =100 |PF1|2+|PF2|2 =|F1 F2|2 F1PF2=90°例3（1）证明：设P（x0，y0）为双曲线x2/a2-y2/b2=1或y2/a2-x2/b2=1上的任意一点，F1、F2分别为左、右或下、上两焦点，则双曲线的焦半径|PF|为：（2）求证：以双曲线的任意焦半径为直径的圆，与以实轴为直径的圆外切对于（

38、1）仅就焦点在x轴上的双曲线x2/a2-y2/b2=1右支上的点P（x0，y0），左焦点半径|PF1|进行证明，由学生演板完成。证明：作PQ垂直于左准线，垂足为Q，由双曲线的定义可知：|PF1|/|PQ|=e |PQ|= x0 +a2/c，|PF1|/ e |PQ|= e （x0 +a2/c）exo+a对于（2）教师讲解并板书：如图2-28，设双曲线方程为x2/a2-y2/b2=1，且设F1、F2为其左、右焦点，P（x0，y0）为双曲线上右支上一点，则|PF1|=exo+a，|PF2|=exo-a。取F1P的中点为01，连结O1O，只须证明：以F1P为直径的圆与实轴A1A2为直径的圆内切。即证

39、：|O1O|=|PF1|/2-2a= exo+a/2-2a/2= exo-a/2在PF1F2中，O1O为PF1F2 的中位线|O1O|=1/2|PF2|=1/2（exo-a）即 |O1O|=1/2（exo-a）故以双曲线的任意焦半径为直径的圆，与以实轴为直径的圆内切。例4 过点A（2，1）作直线l交双曲线于P1、P2两点，求P1、P2 的中点的轨迹方程。解：设直线l的方程为y=k（x-2）+1，将上述方程代入双曲线方程x2-y2/2=1，整理得：（2-k2）x2-2k(1-2k)x-4k2 +4k-3=0当2-k20即k±2时，设P1P2的中点为M（x0 ，y0），则x0=x1x2/

40、2=k（2k-1）/k2-2y0=2（2k-1）k2-2x0/k=y0 /2，即k=2x0/y0（k1/2）代入y0=2k（2k-1）/k2-2得：2x2-4x0-y2+y0=0故2-k2=0即k=±2时，直线与渐近线平行，不存在中点；当k不存在时，直线x=2的弦中点M（2，0）也在轨迹上。故所求轨迹的方程为：2x2-4x-y2+y=0小结：解此题使用了求中点轨迹方程的常用方法，学了参数方程后，也可用直线的参数方程求得中点的轨迹方程。（三）练习 1、求与定点A（5，0）及定直线l：x=16/5的距离比是5：4的点的轨迹方程。由学生练习后口答完成，由双曲线的第二定义易得轨迹方程为x2/16-y2/9=12、判定当（1）k4、（2）4k9时，方程x2/9-k+y2/4-k=1分别表示什么曲线？由学生演板。（1）k4时，9-k0，4-k0，方程表示椭圆；（2）当49时，9-k0，4-k0，方程表示双曲线。 3、过点A（1，1）能否作直线l，交双曲线x2-y2/2=1于P1、P2 两点，使点B为P1P2的中点？由学生讨论完成，教师给予提示，解答为：设存在直线l：y=k（x-1）+1。将上述方程代入双曲线x2-y2/2=1，并整