双曲线(学生版)

1、选修 双曲线 一双曲线的概念名 称椭 圆双 曲 线图 象 定 义 平面内到两定点的距离的和为常数（大于）的动点的轨迹叫椭圆。即 当22时，轨迹是椭圆， 当2=2时，轨迹是一条线段 当22时，轨迹不存在平面内到两定点的距离的差的绝对值为常数（小于）的动点的轨迹叫双曲线。即当22时，轨迹是双曲线当2=2时，轨迹是两条射线当22时，轨迹不存在标准方 程 焦点在轴上时： 焦点在轴上时： 注：是根据分母的大小来判断焦点在哪一坐标轴上焦点在轴上时： 焦点在轴上时：注：是根据项的正负来判断焦点所在的位置常数的关 系 （符合勾股定理的结构）， 最大，（符合勾股定理的结构）最大，可以二.双曲线的标准方程及几何性

2、质标准方程图形性质焦点F1（-，F2（F1（，F2（焦距| F1F2|=2c 范围x-a与xay-a与ya对称性关于x轴，y轴和原点对称顶点（-a，0）。（a，0）（0，-a）（0，a）轴实轴A1A2长2a，虚轴B1B2长2b准线渐近线.共渐近线的双曲线系方程（，焦点在x轴上，焦点在y轴上）.双曲线上的点到焦点距离的最值双曲线上的点到同侧焦点的最近距离 双曲线上的点到异侧焦点的最近距离平面几何性质双曲线焦距与实轴长的比， 如：x型双曲线形状与e的关系： 双曲线的离心率越大，它的开口就越阔。离心率准线间距=焦渐距=。三直线与圆锥曲线相交，设两交点分别为，则直线被椭圆截得的弦长。四双曲线的方程与渐

3、近线方程的关系(1）若双曲线方程为渐近线方程：.(2)若渐近线方程为双曲线可设为（，焦点在x轴上，焦点在y轴上）.(3)若某双曲线与已知的双曲线有公共渐近线，双曲线可设为（，焦点在x轴上，焦点在y轴上）.五等轴双曲线 比如x型：中，当a=b,那么双曲线的方程为x-y=a,未知型的等轴双曲线常设为x-y=（，焦点在x轴上，焦点在y轴上）.它的实轴和虚轴的长都等于2a。这时，特征矩形为：四条直线x=a,y=a围成正方形。等轴双曲线的性质：（1）渐近线方程为：；（2）渐近线互相垂直；（3）离心率。一 定义：1.若，方程，表示什么曲线？若改成： ？2已知的顶点、，且，则顶点的轨迹方程是 3双曲线上一点

4、到左焦点的距离为，那么该点到右焦点的距离为 变式：设是双曲线的焦点，点是双曲线上的点，点到焦点的距离等于，求点到的距离。二 利用标准方程确定参数1. 求双曲线的实半轴长 虚半轴长 焦点坐标 , 焦距 离心率 2若方程表示x型双曲线，则的取值范围是 ；表示y型双曲线，则的取值范围是 ；表示双曲线，则的取值范围是 3.已知双曲线的一个焦点为，为 4椭圆与双曲线有相同的焦点，则a的值是 5已知双曲线的焦点分别为、，且经过点，则双曲线的标准方程是 ；变式：与椭圆有相同焦点，且过点的双曲线方程 6等轴双曲线的一个焦点是，则它的标准方程是 三焦点三角形1设椭圆和双曲线的公共焦点为、，是两曲线的一个公共点，

5、则等于2：是双曲线的焦点，PQ是过焦点的弦，那么的值为变式：设、是双曲线的两个焦点，且，过的直线交双曲线的同一支于、两点，若，的周长为则满足条件中的双曲线的标准方程是3设为双曲线的两个焦点，点在双曲线上且满足，则的面积是（ ） 变式：设是双曲线的两个焦点，点在双曲线上，且，求的面积。四渐近线方程1双曲线的渐近线方程是 2双曲线的渐近线的方程是 3双曲线的渐近线方程为，焦距为，这双曲线的方程为_。4如果双曲线经过点，渐近线的方程为，则此双曲线的方程为 变式：过点（），且与双曲线有相同的渐近线的双曲线方程是 五离心率问题1.已知双曲线的中心在原点，焦点在坐标轴上，离心率为，且过点，求此双曲线的方程；2.已知双曲线的离心率，虚半轴长为，求双曲线的方程。3.若双曲线的焦点到渐近线的距离等于实轴长，则双曲线的离心率为 4双曲线的渐近线方程为，则其离心率为 。5双曲线（，）的左、右焦点分别是，过作倾斜角为的直线交双曲线右支于点，若垂直于轴，则双曲线的离心率为_6.已知是双曲线的两个焦点，是过点且垂直于实轴所在直线的双曲线的弦，则双曲线的离心率为 变式：已知F1，F2分别是双曲线的