高等数学函数的微分.

1、2-4 函数的微分函数的微分0 微分的概念与定义微分的概念与定义0 导数与微分的关系导数与微分的关系0 微分的几何意义微分的几何意义0近似计算近似计算0误差估计误差估计2-4.1 微分的定义微分的定义一、问题的提出一、问题的提出实例实例: :正方形金属薄片受热后面积的改变量正方形金属薄片受热后面积的改变量.20 xA 0 x0 x,00 xxx 变到变到设边长由设边长由的的改改变变量量正正方方形形面面积积20 xA 2020)(xxxA .)(220 xxx )1()2(;,的的主主要要部部分分且且为为的的线线性性函函数数Ax .,很很小小时时可可忽忽略略当当的的高高阶阶无无穷穷小小xx :)

2、1(:)2(x x 2)( x xx 0 xx 0二、微分的定义二、微分的定义定义定义.),(,)(,)(),()()()(,)(000000000 xAdyxdfdyxxxfyxAxxfyxAxoxAxfxxfyxxxxfyxxxx 即即或或记记作作的的微微分分相相应应于于自自变变量量增增量量在在点点为为函函数数并并且且称称可可微微在在点点则则称称函函数数无无关关的的常常数数是是与与其其中中成成立立如如果果在在这这区区间间内内及及在在某某区区间间内内有有定定义义设设函函数数.的线性主部的线性主部叫做函数增量叫做函数增量微分微分ydy ( (微分的实质微分的实质) ).),(,)(xAdyxd

3、fdyxxfy即或记作微分称为函数的的微分在任意点函数由定义知由定义知: :;)1(的的线线性性函函数数是是自自变变量量的的改改变变量量xdy ;)()2(高阶无穷小高阶无穷小是比是比 xxodyy ;,0)3(是是等等价价无无穷穷小小与与时时当当ydyA dyy xAxo )(11(0).x ;)(,)4(0有有关关和和但但与与无无关关的的常常数数是是与与xxfxA ).(,)5(线线性性主主部部很很小小时时当当dyyx 三、可微的条件三、可微的条件).(,)()(000 xfAxxfxxf 且且处可导处可导在点在点数数可微的充要条件是函可微的充要条件是函在点在点函数函数定理定理证证(1)

4、必要性必要性,)(0可可微微在在点点xxf),( xoxAy ,)(xxoAxy xxoAxyxx )(limlim00则则.A ).(,)(00 xfAxxf 且且可可导导在在点点即即函函数数(2) 充分性充分性0()()yfxxx 从而,)(0 xfxy即即,)(0可可导导在在点点函函数数xxf),(lim00 xfxyx ),0(0 x),()(0 xoxxf 00( ),().f xxfxA所以函数在点可微且).(.0 xfA 可可微微可可导导例例1 1解解.02. 0, 23时时的的微微分分当当求求函函数数 xxxyxxdy )(3.32xx 02. 02202. 023 xxxxx

5、xdy.24. 0 .,xdxdxxx 即即记记作作称称为为自自变变量量的的微微分分的的增增量量通通常常把把自自变变量量.)(dxxfdy ).(xfdxdy .微微商商导导数数也也叫叫该该函函数数的的导导数数之之商商等等于于与与自自变变量量的的微微分分即即函函数数的的微微分分dxdy注注: y=0.242408四、微分的几何意义四、微分的几何意义)(xfy 0 xMNTdyy)( xo ）xyo x 几何意义几何意义:(:(如图如图) ).,对对应应的的增增量量就就是是切切线线纵纵坐坐标标坐坐标标增增量量时时是是曲曲线线的的纵纵当当dyy xx0 P .,MNMPMx可近似代替曲线段可近似代

6、替曲线段切线段切线段的附近的附近在点在点很小时很小时当当 Q2-4.2 微分的求法、微分形式的不变性微分的求法、微分形式的不变性dxxfdy)( 求法求法: : 计算函数的导数计算函数的导数, 乘以自变量的微分乘以自变量的微分.1.基本初等函数的微分公式基本初等函数的微分公式xdxxxdxdxxxdxdxxdxdxxdxdxxdxdxxddxxxdCdcotcsc)(csctansec)(seccsc)(cot sec)(tansin)(coscos)(sin)( 0)(221dxxxddxxxddxxxddxxxddxxxddxaxxddxeedadxaadaxxxx222211)cotar

7、c(11)(arctan11)(arccos11)(arcsin1)(lnln1)(log)(ln)(2. 函数和、差、积、商的微分法则函数和、差、积、商的微分法则2)()()()(vudvvduvududvvduuvdCduCuddvduvud 例例2 2解解.),ln(2dyexyx求求设设 ,2122xxexxey .2122dxexxedyxx 例例3 3解解.,cos31dyxeyx求求设设 )(cos)(cos3131xdeedxdyxx .sin)(cos,3)(3131xxeexx dxxedxexdyxx)sin()3(cos3131 .)sincos3(31dxxxex 微

8、分形式的不变性微分形式的不变性;)(,) 1 (duufdyu是自变量时若(2),( ),uxux若 是中间变量时 即另一变量 的可微函数则),()(ufufy有导数设函数dxxufdxxfdyx)()()(,)(dudxx.)(duufdy结论结论：,( )uyf u无论 是自变量还是中间变量 函数的微分形式总是微分形式不变性微分形式不变性duufdy)( ( )yfx微分的应用微分的应用 1、计算函数增量的近似值、计算函数增量的近似值, 0)()(00很很小小时时且且处处的的导导数数在在点点若若xxfxxfy 例例1 1?,05. 0,10问问面面积积增增大大了了多多少少厘厘米米半半径径伸

9、伸长长了了厘厘米米的的金金属属圆圆片片加加热热后后半半径径解解,2rA 设设.05. 0,10厘厘米米厘厘米米 rr2AdArr 05. 0102 ).(2厘米厘米 .)(0 xxf 00 xxxxdyy 2、计算函数的近似值、计算函数的近似值02.1.( );f xxx求在点附近的近似值)()(00 xfxxfy .)(0 xxf .)()()(000 xxfxfxxf )(很小时很小时x 例例2 2.0360coso的的近近似似值值计计算算 解解,cos)(xxf 设设)(,sin)(为为弧弧度度xxxf ,360,30 xx.23)3(,21)3( ff)3603cos(0360coso

10、 3603sin3cos 3602321 .4924. 0 2.2.( )0;f xx 求在点附近的近似值.)0()0()(xffxf ,)()()(000 xxfxfxxf ., 00 xxx 令令常用近似公式常用近似公式)(很很小小时时x.)1ln()5(;1)4();(tan)3();(sin)2(;111)1(xxxexxxxxxxnxxn 为为弧弧度度为为弧弧度度证明证明,1)()1(nxxf 设设,)1(1)(11 nxnxf.1)0(, 1)0(nff xffxf)0()0()( .1nx 例例3 3.计计算算下下列列各各数数的的近近似似值值解解.)2(;5 .998)1(03.

11、 03 e335 . 110005 .998)1( 3)10005 . 11(1000 30015. 0110 )0015. 0311(10 .995. 9 03. 01)2(03. 0 e.97. 0 2.3、误差估计、误差估计由于测量仪器的精度、测量的条件和测量的方法由于测量仪器的精度、测量的条件和测量的方法等各种因素的影响，测得的数据往往带有误差，等各种因素的影响，测得的数据往往带有误差，而根据带有误差的数据计算所得的结果也会有误而根据带有误差的数据计算所得的结果也会有误差，我们把它叫做差，我们把它叫做间接测量误差间接测量误差.定义：定义：,.MmMmm如果某个量的精确值为它的近似值为那

12、么叫做 的绝对误差.MmmMm而绝对误差与的比值叫做 的相对误差相对误差通常用百分数表示相对误差通常用百分数表示.为估计间接量的误差为估计间接量的误差, ,现将直接量的误差看作自现将直接量的误差看作自变量的增量变量的增量, ,将间接量的误差看作是函数的增量将间接量的误差看作是函数的增量. .这样这样, ,估计误差就变为估计函数增量估计误差就变为估计函数增量, ,可通过微可通过微分近似算出分近似算出. .问题问题:在实际工作中在实际工作中,绝对误差与相对误差如何求得绝对误差与相对误差如何求得?例例4 4.,005. 041. 2误误差差并并估估计计绝绝对对误误差差与与相相对对求求出出它它的的面面

13、积积米米正正方方形形边边长长为为 解解则则面面积积为为设设正正方方形形边边长长为为,yx.2xy ,41. 2时时当当 x).(8081. 5)41. 2(22my 41. 241. 22 xxxy.82. 4 0.005,xx 边长的绝对误差为面积的绝对误差为).(0241. 02m yy 面积的相对误差为面积的相对误差为8081. 50241. 0 4.82 0.005yxydyyx 0.415%小结小结微分学所要解决的两类问题微分学所要解决的两类问题:函数的变化率问题函数的变化率问题函数的增量问题函数的增量问题微分的概念微分的概念导数的概念导数的概念求导数与微分的方法求导数与微分的方法,

14、叫做叫做微分法微分法.研究微分法与导数理论及其应用的科学研究微分法与导数理论及其应用的科学,叫做叫做微分学微分学.导数与微分的联系导数与微分的联系:.可微可微可导可导 作业P1223(3)(6)(7)4(3)(5)(6)(7)6,7(1),10(1)例例4 4解解.,sindybxeyax求求设设 sin()(cos)axaxdybx d eedbxsin()cosaxaxbx ea dxebx bdx .)sincos(dxbxabxbeax 例例3 3解解.),12sin(dyxy求求设设 . 12,sin xuuyududycos )12()12cos( xdxdxx2)12cos( .)12cos(2dxx 例例5 5解解在下列等式左端的括号中填入适当的函数在下列等式左端的括号中填入适当的函数,使使等式成立等式成立.).()()(sin)2(;cos)()1(2xdxdtdtd ,cos)(sin)1(tdttd )(sin1costdtdt .cos)sin1(tdtCtd );sin1(td dxxdxxxxdxd21cos2)()(sin)2(22 ,cos42xxx ).()cos4()(si