垂径定理优质课教学设计

1、垂径定理【教学目标】（一）知识与技能：1 理解圆是轴对称图形，由圆的折叠猜想垂径定理，并进行推理验证。2 理解垂径定理，灵活运用定理进行证明及计算。（二）过程与方法：在探索圆的对称性以及直径垂直于弦的性质的过程中，培养学生观察，比较，归纳，概括 的能力。（三）情感态度：通过对圆的进一步认识，加深我们对圆的完美性的体会，陶冶美育情操，激发学习热情。【教学重点】垂径定理及运用。【教学难点】用垂径定理解决实际问题。【教学过程】一、情境导入，初步认识：教师出示一张图形纸片，同学们猜想一下：1 圆是轴对称图形吗？如果是，对称轴是什么？（在2.如图，AB是。O的一条弦，直径CD丄AB于点M，能发现图中有哪

2、些等量关系? 纸片上对折操作）学生回答或展示。教学说明：（1）是轴对称图形，对称轴是直线 CD。（2）AM=BM，AC=BC，AD=BD。二、思考探究，获取新知：探究1:垂径定理及其推论的证明。（一）由上面学生折纸操作的结论，教师再引导学生用逻辑思维证明这些结论，学生们说出已知、求证，再由小组讨论推理过程。已知：直径CD，弦AB，且CD丄AB，垂足为点 M。求证：AM=BM，AC=BC，AD=BD。连接OA=OB，又CD丄AB于点M，由等腰三角形三线合一可知 AM=BM，再由。O关于 直线CD对称，可得AC=BC，AD=BD .学生尝试用语言叙述这个命题。（二）得出垂径定理：垂直于弦的直径平分

3、弦，并且平分弦所对的两条弧。还可以得出结论（垂径定理推论）： 平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧。（三）学生讨论写出已知、求证，并说明。学生回答：已知：AB为O O的弦（AB不过圆心O），CD为O O的直径，AB交CD于点M ， MA=MB 。D示证：CD 丄AB，AC=BC,AD=BD。证明：在厶OAB中，v OA=OB，MA=MB，二 CD丄 AB .又 CD 为O O 的直径，-AC=BC,AD=BD。（四）同学讨论回答，如果条件中，AB为任意一条弦，上面的结论还成立吗？学生回答：当AB为O O的直径时，直径CD与直径AB 一定互相平分，位置关系是相交，不一定垂 直

4、。探究2:垂径定理在计算方面的应用。例1:讲解课本上的例1。补充：已知O O的半径为13cm,弦AB / CD，AB=10cm，CD=24cm,求AB与CD间的 距离。解：1.当AB、CD在0点同侧时，如图所示，过 0作0M丄AB于M，交CD于N，连 0A、0C。T AB / CD，二 0N 丄 CD 于 N。在 RtAA0M 中，AM=5cm , 0M= oa2二am 2 =12cm。在 RtA OCN 中，CN=12cm，ON=、OC2-CN2 =5cmov MN=OM-ON，二 MN=7cm。2.当AB、CD在O点异侧时，如图所示，由（1）可知OM= 12cm,ON=5cm,MN=OM+

5、ON， MN=17cm。二 AB 与 CD 间的距离是 7cm或 17cm。（1）求直径往往只要能求出半径，即把它放在由半径所构成的直角三角形中去。（2）AB、CD与点0的位置关系没有说明，应分两种情况： AB、CD在0点的同侧和AB、CD在O点的两侧。探究3:与垂径定理有关的证明。例2:讲解课本上的例2。三、运用新知，深化理解。C. 16 D. 201. 如图，AB为。0的直径，弦CD丄AB于E，已知CD=12, BE=2,则。0的直径为（）k2. 如图，半径为5的。P与y轴交于点M （0， -4），N（0，-10），函数y （x v 0）的图像xAB . AC为互相垂直且相等的两条弦， 0D丄AB于D , 0E丄AC于E,求证：四边形 AD0E为正方形。（一）这节课你学到了什么？还有哪些疑惑？（二）在学生回答基础上。教师强调：1 圆是轴对称图形，对称轴是过圆心的任一条直线；2 垂径定理及推论中注意“平分弦（不是直径）的直径，垂直于弦，并且平分弦所对的 两条弧”中的限制；3垂径定理的计算及证明，常作弦心距为辅助线，用勾股定理列方程；4 注意计算中的两