随机解释变量问题计量经济学

1、编辑ppt4.4 随机解释变量问题随机解释变量问题一、一、随机解释变量问题随机解释变量问题二、实际经济问题中的随机解释变量问题二、实际经济问题中的随机解释变量问题 三、随机解释变量的后果三、随机解释变量的后果四、工具变量法四、工具变量法五、案例五、案例 编辑ppt 当方程线性计量经济学模型假设解当方程线性计量经济学模型假设解释变量是确定性变量，并且与随机干扰释变量是确定性变量，并且与随机干扰项不相关；违背这一基本假设的问题被项不相关；违背这一基本假设的问题被称为称为随机解释变量问题随机解释变量问题。 编辑ppt基本假设基本假设:解释变量解释变量X1,X2,Xk是确定性变量。是确定性变量。 如果

2、存在一个或多个随机变量作为解释变量，如果存在一个或多个随机变量作为解释变量，则称原模型出现则称原模型出现随机解释变量问题随机解释变量问题。 为了讨论方便，假设为了讨论方便，假设(4.4.1)式中式中X2为随机解释变为随机解释变量。对于随机解释变量问题，分三种不同情况：量。对于随机解释变量问题，分三种不同情况： 一、随机解释变量问题一、随机解释变量问题对于模型对于模型 ikikiiiXXYY22110(4.4.1)(4.4.1) 编辑ppt 1. 随机解释变量与随机误差项独立随机解释变量与随机误差项独立(Independence)0)()()()(22, 2ExExEXCov 2. 随机解释变量

3、与随机误差项同期无关随机解释变量与随机误差项同期无关 (contemporaneously uncorrelated)，但异期相关。，但异期相关。0)()(2,2iiiixEXCov0)()(2,2siisiixEXCov0s 3. 随机解释变量与随机误差项同期相关随机解释变量与随机误差项同期相关 (contemporaneously correlated)。 0)()(2,2iiiixEXCov(4.4.2)(4.4.2) (4.4.3)(4.4.3) (4.4.4)(4.4.4) 编辑ppt二、实际经济问题中的随机解释变量问题二、实际经济问题中的随机解释变量问题 在实际经济问题中，经济变量

4、往往都具在实际经济问题中，经济变量往往都具有随机性。有随机性。 但是在单方程计量经济学模型中，凡是外但是在单方程计量经济学模型中，凡是外生变量都被认为是确定性的。生变量都被认为是确定性的。 于是于是随机解释变量问题随机解释变量问题主要主要表现于：表现于：用滞用滞后被解释变量作为模型的解释变量的情况。后被解释变量作为模型的解释变量的情况。编辑ppt例如：例如：（1）耐用品存量调整模型：）耐用品存量调整模型： 耐用品的存量耐用品的存量Qt由前一个时期的存量由前一个时期的存量Qt-1和当和当期收入期收入It共同决定：共同决定： Qt= 0+ 1It+ 2Qt-1+ t t=1,T这是一个这是一个滞后

5、被解释变量作为解释变量的模型滞后被解释变量作为解释变量的模型。 但是，如果模型不存在随机误差项的序列相关但是，如果模型不存在随机误差项的序列相关性，那么随机解释变量性，那么随机解释变量Qt-1只与只与 t-1相关，与相关，与 t不相不相关，属于随机解释变量与随机干扰项同期无关，但关，属于随机解释变量与随机干扰项同期无关，但异期相关的情况。异期相关的情况。编辑ppt（2）合理预期的消费函数模型）合理预期的消费函数模型 合理预期理论合理预期理论认为消费认为消费Ct是由对收入的预期是由对收入的预期Yte所决定的：所决定的：tettYC10 预期收入预期收入Yte与实际收入与实际收入Y间存如下关系的假

6、设间存如下关系的假设 ettetYYY1)1 (容易推出容易推出tetttYYC1110)1 (ttttCY)()1 (101101110)1 ()1 (ttttCYCt-1是一随机解释变量，且与是一随机解释变量，且与 ( t-t-1)高度相关（因高度相关（因为为Ct-1与与 t-1高度相关）。属于随机解释变量与随机干高度相关）。属于随机解释变量与随机干扰同期相关的情况。扰同期相关的情况。编辑ppt 计量经济学模型一旦出现随机解释变量，计量经济学模型一旦出现随机解释变量，且与随机扰动项相关的话，如果仍采用且与随机扰动项相关的话，如果仍采用OLS法估计模型参数，不同性质的随机解释变量法估计模型参

7、数，不同性质的随机解释变量会产生不同的后果。会产生不同的后果。 下面以一元线性回归模型为例进行说明下面以一元线性回归模型为例进行说明 三、随机解释变量的后果三、随机解释变量的后果编辑ppt 随机解释变量与随机误差项相关图随机解释变量与随机误差项相关图 （a a）正相关）正相关 （b b）负相关）负相关 拟合的样本回归拟合的样本回归线可能低估截距项，线可能低估截距项，而高估斜率项。而高估斜率项。 拟合的样本回归线拟合的样本回归线高估截距项，而低高估截距项，而低估斜率项。估斜率项。编辑ppt 对一元线性回归模型：对一元线性回归模型： tttXY10OLS估计量为（第二章估计量为（第二章2.2.6式

8、和式和P36推导）推导）2121ttttttxxxyx1、如果如果X与与 相互独立相互独立，得到的参数估计量仍然是，得到的参数估计量仍然是无偏、一致估计量。无偏、一致估计量。 已经得到证明已经得到证明 随机解释变量随机解释变量X与随机项与随机项 的关系不同，参数的关系不同，参数OLS估计量的统计性质也会不同，也分三种情况：估计量的统计性质也会不同，也分三种情况： (4.4.8)(4.4.8) 编辑ppt 2 2、如果如果X与与 同期不相关，异期相关同期不相关，异期相关，得到的，得到的参数估计量有偏、但却是一致的。参数估计量有偏、但却是一致的。 kt的分母中包含不同期的的分母中包含不同期的X；由

9、异期相关性知：；由异期相关性知：kt与与 t相关，因此，相关，因此，)()()(1211tttttkExxEE11)(E但是但是0)(),()lim()lim(1211121limttttnttntttnXVarXCovxPxPxxP编辑ppt3 3、如果如果X与与 同期相关同期相关，得到的参数估计量有偏、，得到的参数估计量有偏、且非一致。且非一致。 【说明】【说明】 如果如果模型中带有滞后被解释变量作为解释变量，模型中带有滞后被解释变量作为解释变量，则当该滞后被解释变量与随机误差项则当该滞后被解释变量与随机误差项同期相关同期相关时，时，OLS估计量是有偏的、且是非一致的估计量是有偏的、且是非

10、一致的。 即使即使同期无关同期无关，其，其OLS估计量也是有偏估计量也是有偏的，因为的，因为此时肯定出现异期相关。此时肯定出现异期相关。 这在上面这在上面2 2的证明中已得到的证明中已得到编辑ppt 模型中出现随机解释变量且与随机误差项相模型中出现随机解释变量且与随机误差项相关时，关时，OLS估计量是有偏的。估计量是有偏的。 如果随机解释变量与随机误差项异期相关如果随机解释变量与随机误差项异期相关，则则可以通过增大样本容量的办法来得到一致的估可以通过增大样本容量的办法来得到一致的估计量；计量； 但如果但如果是同期相关是同期相关，即使增大样本容量也无，即使增大样本容量也无济于事。这时，最常用的估

11、计方法是济于事。这时，最常用的估计方法是工具变量法工具变量法（Instrument variables）。）。 四、工具变量法四、工具变量法编辑ppt 1 1、工具变量的选取、工具变量的选取工具变量工具变量：在模型估计过程中被作为工具使：在模型估计过程中被作为工具使 用，以替代模型中与随机误差项相用，以替代模型中与随机误差项相 关的随机解释变量。关的随机解释变量。选择为工具变量的变量必须满足以下条件：选择为工具变量的变量必须满足以下条件：（1）与所替代的随机解释变量高度相关；）与所替代的随机解释变量高度相关；（2）与随机误差项不相关；）与随机误差项不相关；（3）与模型中其它解释变量不相关，以避

12、免出）与模型中其它解释变量不相关，以避免出 现多重共线性。现多重共线性。编辑ppt2 2、工具变量的应用、工具变量的应用 以一元回归模型的离差形式为例说明如下：以一元回归模型的离差形式为例说明如下： 用用OLS估计模型，相当于用估计模型，相当于用Xi去乘模型两边、对去乘模型两边、对i求求和、再略去和、再略去i 和和 Xi i项后得到项后得到正规方程正规方程： (4.4.9)解得解得 工具变量法是克服解释变量与随机干扰项相关影响工具变量法是克服解释变量与随机干扰项相关影响的一种参数估计方法，下面仍以一元回归模型为例说明。的一种参数估计方法，下面仍以一元回归模型为例说明。01iiiYX01201i

13、iiiiiYnXX YXX(4.4.10)1012,iiix yYXx编辑ppt 然而，如果然而，如果Xi与与 i相关，即使在大样本下，也不相关，即使在大样本下，也不存在存在 ( xi i)/n0 ，则，则在大样本下也不成立，在大样本下也不成立，OLS估计量估计量不具有一致性不具有一致性。21iiixyx 由于由于Cov(Xi, i)=E(Xi i)=0，意味着大样本下，意味着大样本下 ( xi i)/n0 表明表明大样本下大样本下21iiixyx成立，成立，即即OLS估计量估计量具有一致性。具有一致性。编辑ppt 如果选择如果选择Z为为X的的工具变量工具变量，那么在上述估计过，那么在上述估计

14、过程可改为程可改为:利用利用E(zi i)=0，在大样本下可得到：，在大样本下可得到： 这种求模型参数估计量的方法称为这种求模型参数估计量的方法称为工具变量法工具变量法(instrumental variable method)，相应的估计量称为，相应的估计量称为工具变量法估计量工具变量法估计量（instrumental variable (IV) estimator）。）。0101iiiiiiiYnXZ YZZ X(4.4.11)101,iiiiz yYXz x(4.4.12)编辑ppt 对于多元线性回归模型，其对于多元线性回归模型，其矩阵形式矩阵形式： Y=X + 采用工具变量法（假设采用

15、工具变量法（假设X2与随机项相关，用工具变与随机项相关，用工具变量量Z替代）得到的替代）得到的正规方程组正规方程组为：为： XZYZ参数估计量为：参数估计量为： YZXZ1)(knkknnXXXZZZXXX212111211111Z其中其中称为称为工具变量矩阵工具变量矩阵(4.4.13)编辑ppt3 3、工具变量法估计量是一致估计量、工具变量法估计量是一致估计量 一元回归中，工具变量法估计量为一元回归中，工具变量法估计量为10101()(0)()iiiii iiiiiiiiiii iiiiiiiiiiiiiiiiz yz YYzYz Yz xz xz xz xzYzz xzXzz Xzz xz

16、 x编辑ppt如果工具变量如果工具变量Z选取恰当，即有选取恰当，即有 两边取概率极限得：两边取概率极限得： iiniinxzPzPP1111limlim)lim(0),cov(1limiiiiZznP0),cov(1limiiiiXZxznP因此：因此： 11)lim(P010111()iiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiizz Xzzz Xzz xz xz xz xz xzz xz XXz Xz xz xzz x编辑ppt 1 1、在小样本下，工具变量法估计量仍是有偏的、在小样本下，工具变量法估计量仍是有偏的。 【注意】【注意】0)()1()1(iiiiii

17、iizExzEzxzE2、工具变量并没有替代模型中的解释变量、工具变量并没有替代模型中的解释变量，只是，只是 在在 估计过程中作为估计过程中作为“工具工具”被使用。被使用。 上述工具变量法估计过程可等价地分解成下面的两上述工具变量法估计过程可等价地分解成下面的两步步OLS回归：回归： 第一步第一步，用，用OLS法进行法进行X关于工具变量关于工具变量Z的回归：的回归： iiZX10(4.4.14)编辑pptiiXY10 容易验证仍有容易验证仍有: : iiiixzyz1 因此，因此，工具变量法仍是工具变量法仍是Y对对X的回归，而不是对的回归，而不是对Z的回归。的回归。 3、如果模型中有两个以上的

18、随机解释变量与随机、如果模型中有两个以上的随机解释变量与随机误差项相关，就必须找到两个以上的工具变量误差项相关，就必须找到两个以上的工具变量。但是，一旦工具变量选定，它们在估计过程被使但是，一旦工具变量选定，它们在估计过程被使用的次序不影响估计结果用的次序不影响估计结果。(4.4.15)编辑ppt 4、OLS可以看作工具变量法的一种特殊情况。可以看作工具变量法的一种特殊情况。 5、如果、如果1个随机解释变量可以找到多个互相独立个随机解释变量可以找到多个互相独立的工具变量，人们希望充分利用这些工具变量的信的工具变量，人们希望充分利用这些工具变量的信息，就形成了息，就形成了广义矩方法广义矩方法（G

19、eneralized Method of Moments, GMM）。 在在GMM中，矩条件大于待估参数的数量，于中，矩条件大于待估参数的数量，于是如何求解成为它的核心问题。是如何求解成为它的核心问题。 工具变量法是工具变量法是GMM的一个特例。的一个特例。 6、要找到与随机扰动项不相关而又与随机解释、要找到与随机扰动项不相关而又与随机解释变量相关的工具变量并不是一件很容易的事变量相关的工具变量并不是一件很容易的事 可以用可以用Xt-1作为原解释变量作为原解释变量Xt的工具变量。的工具变量。 编辑ppt五、案例五、案例中国居民人均消费函数中国居民人均消费函数 例例4.4.1 在例在例2.5.1的的中国居民人均消费函数中国居民人均消费函数的估计的估计中，采用中，采用OLS估计了下面的模型：估计了下面的模型：GDPPCONSP10 由于：居民人均消费支出由于：居民人均消费支出（CONSP）与人均国与人均国内生产总值内生产总值（GDPP）相互影响，因此，相互影响，因此， 容易判断容易判断GDPP与与 同期同期相关（往往是正相