发掘例题的智能因素培养学生的思维能力剖析

1、发掘例题的智能因素培养学生的思维能力湖南省耒阳师范学校刘江妹怎样使学生通过课堂中的一些典型例题的学习，获得一定的基础知识和基本 技能，从而提高他们分析问题和解决问题的能力。笔者认为最有效的途径之一， 就是要充分发掘例题的智能因素，通过对例题的多解、多变、类比和联想，引伸 和拓广，给学生创造一个进行各种思维活动的条件。这样做不仅能诱发学生学习 数学的兴趣，而且能培养学生的逻辑思维能力。同时对提高教学质量还具有重要 的积极意义。本文就笔者对一些例题的教学体会，谈几点粗浅认识。一、善于设疑，培养学生思维的自觉性。兴趣是求知的起点。学生的学习欲望或兴趣，总是在一定的情境中发生的。 在数学教学中，特别是

2、例题的教学中，可创设“惑”与“悱”的情境。即对所讲 授的例题善于设疑，借以引起学生的注意，激发学生的学习兴趣，启发学生去思 考、去探求，从而培养学生思维的自觉性。在二项式系数性质的教学中，我曾配置了这样一道例题。例题1求(3 X)10的展开式中所有二项式系数的和。这个例题很简单，因此，当时全班学生都异口同声回答，其和是210。是的, 我不仅肯定了他们回答的结果，而且还表扬了学生们回答问题的积极性， 其目的 在于激发学生自觉思考下面所提出的问题。设疑：求(3 X)10展开式中各项系数的和一会儿后，我叫一个学生把答案写到黑板上(如下所述)解：设(3 X)10展开式中各项系数的和为S(3 X)1o=

3、C0o 310+C；。 39X + + Cw 3X9+Ci10 X100.101-9910-S = C10 3 +C10 3 + + C10 3 + C10此后，我问其他同学，这个答案是否完完整，他们都不作声，从而形成了愤悱的情境。为了消除疑惑，我引导学习比较、两式右边的区别，即式的右 边在什么情况下可以变为式的右边。 答曰：当X=1时；那么S等于多少呢？答 曰S=（3 1）10=410。妙哉！疑释了，同学们高兴极了，并啧啧称赞。在他们高兴 的同时，我又设了两个疑问：（1）、求（3-2X）10展开式中各项系数的和；（2） 、求（ax by）n展开式中各项系数的和（其中a、b为常数，n为正整数）

4、 有了上述问题的解答方法，同学们很自觉地思考得出这两个问题的答案分别是（3 -2 1）10 = 1和（a b）n，同时也弄清了二项式系数与系数的区别。二、一例多解，培养学生思维的发散性。对例题的条件与结论从不同角度去思考，探求各种不同的解题思路，可以培 养学生思维的发散性。在不等式的证明的教学中，我只从下面一例就介绍了证明不等式的四种常用 方法。这样做既能说明这些方法之间的内在联系，又能培养学生思维的多向性。例题2,已知a，b，c,d都是实数，求证：（a2 + b2 Xc2 + d 2）兰（ac + bd）2证法一（比较法）：由于证明过程简单，所以不再赘述。证法二（分析法）：为了证明（a2 +

5、 b2 Xc2 + d 2）a （ac + bd）2只需证明a2d 2 b2c2 - 2abcd即证明a2d 2 - 2abcd b2c2 - 02即（ac - bd）z 0E2因为a，b，c,d都是实数，所以 ac - bd - 0是成立的。因此a2 + b2 Xc2 + d 2）色（ac + bd）2 成立。证法三（综合法）：证明过程略。证法四(反证法)：假设(a$ + b2 "c2 + d 2)工(ac + bd )2 不成立，即(a2 + b2 Xc2 十 d 2(ac + bd )2 成立于是有 a2d2b2c2 ： 2abcd22所以 ac - bd 0，这与 ac -

6、bd - 0 (a, b, c,d 都是 实数)相矛盾。故(a2 + b2 Xc2 + d 2)a (ac + bd)2 成立。三、一例多变，培养学生思维的变异性。1变换例题条件引伸推广，培养学生探索问题和求异思维能力。例题3、已知函数f(x)是奇函数，而且在(0, + ：)上是增函数，f(x)在(-：,0) 上是增函数还是减函数？分析：要判断f(x)在(-：,0)上是增函数还是减函数，则只须判断当禺，X2 (-:,0)且Xi小于X2时，f (Xi)与f(X2)的大小。为了利用条件，则必须作如下处理：X-!VX2V 0 二-X1 >-X2> 0 二 f (X1)> f (x2

7、) - f (xj> - f (x2)故 f (xj V f (x2)显然，f(X)在(-：,0)上是增函数。为了培养学生思维的发展性，对此例题作如下三种变换：1、 已知函数f (x)是奇函数，而且在(0，+：)上是减函数，f (x)在(-：,0) 上是增函数还是减函数？2、 已知函数f (x)是偶函数，而且在(0，+：)上是增函数，f (x)在(-：,0) 上是增函数还是减函数？3、 已知函数f (x)是偶函数，而且在(0，+：)上是减函数，f (x)在(-：,0) 上是增函数还是减函数？这些命题的解答不难，但能开拓学生的解题思路，培养学生的求异精神。2、恰当交换例题条件与结论的顺序，

8、培养学生逆向思维能力。对上述例题3,再作下列四种变换，让学生练习，以便培养学生思维的逆向 性。:,0)上是增函数，f(x)在(0，):,0)上是减函数，f(x)在(0，+ :):,0)上是增函数，f(x)在(0，+ :):,0)上是减函数，f(x)在(0，+ :)4、已知函数f(x)是奇函数，而且在(- 上是增函数还是减函数？5、已知函数f (x)是奇函数，而且在(- 上是增函数还是减函数？6、已知函数f (x)是偶函数，而且在(- 上是增函数还是减函数？7、已知函数f (x)是偶函数，而且在(-上是增函数还是减函数？通过对此例题的各种变换，比较它们解法的异同，可以使学生掌握一类问题 的基本解

9、题思路，有利于培养学生思维的应变能力。四、力求联想，培养学生思维的跳跃性。引导学生对定理进行推理及类比、联想，是培养学生思维的跳跃性的重要途 径之一。我在教完均值不等式之后，曾配置了这样一道例题。例题4、已知a>b>c,求证：114! + ! > Z a-b b-c a-c表面上，这个例题与均值不等式毫不相干，如果步步设问、联想，就会发现它与均值不等式有着内在的联系。设问：三个数a - b,b - c,a - c有什么关系？容易知道，(a - b) (b - c)二 a - c。进一步设问：原不等式可转化成什么样的不等式？不难转化，可得(ab) (bc)4(a b)(b c)

10、 (a- b) + (b c)即(a - b) (b - c) - 4(a - c)(b - c)再进一步设问：上述不等式与均值不等式有什么联系?显然，可直接由均值不等式推出。因为（a - b） （b - c） _ 2、（a - b）（b - c）所以（a - b） （b - c）2 一 4（a - c）（b - c）通过类比、联想，学生不但学会了本题的证明方法，而且深化了有关知识， 同时还培养了学生思维的跳跃性。五、题型变通，培养学生思维的连通性。数学习题无穷无尽，浩似烟海，但题型不外乎计算题、证明题、问答题、选 择题、填空题、判断题，在几何上还有作图题等几种。如果让学生见一题作一题， 见一

11、种类型解一种类型，结果不仅会严重地抑制学生思维的发展与连通，而且会加重学生负担。事实证明，只要我们立足教材，把教材中的例题、习题讲得精一 点深一点，探求题型的相互变通，使学生有所领悟，必将起到事半功倍的效果。例题5，求（x-X）9的二项展开式中x3的系数。如果单纯地讲解这道题，并不能给学生多少教益，仔细琢磨，这道题的真正 价值还在于它本身可揭示五种类型题目的相互变通， 从而可培养学生思维的连通 性。即解下列五种类型的题目的思维方法相同， 都是利用二项展开式的通项公式。1计算题：求（x-X）9的二项展开式中x3的系数。2、证明题：试证明（x-99的二项展开式中不含常数项；3、判断题：（x-：）9

12、的二项展开式中是否含有二次项；4、 填空题：（X-1）9的二项展开式中一次项是 ；5、 选择题：（x-g）9的二项展开式中x3的系数是。（-36,36,126,-126）事实证明：在培养学生思维能力的过程中，这五个方面是相互结合的，而不 是独立的。笔者只是为了阐述问题的需要而分别加以说明。以上浅见仅出自笔者多年来教学的零星积累。 象这样“发掘例题的智能因素， 培养学生的思维能力”的教学尝试，颇受学生的欢迎。由于水平有限，不足之处 在所难免，敬请读者批评指正。关于正多面体一条性质的推广湖南省耒阳师范学校段春华定理1若p为正多面体内任意一点，则p到正多面体各面的距离之和为一 常数。这是关于正多面体

13、的一个众所周知的性质其结论是显而易见的。事实上，设p到各平面的距离为hi（ i =1，2,n)3V为一常数V、S分别表示正n面体的体积和每一面的面积，p为其内任意一点,现在笔者将此定理作如下三种情形的推广:（一）从“形内”推广到“形外”。定理2、若p是正多面体外接球面上任意一点，则该正多面体各顶点到过p点 所作切平面的距离之和为一常数。证明：设正多面体顶点数为n，面数为m （ m, n=4，4； 6，8； 8，6; 12， 20; 20，12），顶点记为A, A?，,An,外接球球心为O。过A, A?，,A分 别作外接球的切平面，得球外切正n面体Bi B2Bm （根据正多面体的共轭性， 球外切

14、正n面体顶点数为m ），则点P为正n面体B, B?Bm “形内”的点，由“定理1”可知，p到正n面体B, B2Bm各面的距离之和为一常数，设为 k。 又A, A?，An各点到过点p所作切平面（记为二）的距离，分别等于点p到 正n面体Bi B2 - Bm对应各面的距离（A到平面江的距离等于p到A所在面的距 离，i =1， 2，,n ） 0事实上，过点O, A（i=1, 2,n）, p作一平面去截该几何体，得截面如图 1 所示，作 PQi丄 AQi，AHi 丄 PHi。则 PQiOA，AH/OP，由于 OA 垂 直过A的切平面，即0A垂直正n面体B1 B2Bm过A的一个面，所以PQi也垂 直这个面

15、，因此PQi是p点到该面的距离。同样 AHi是A到平面二的距离。设 AQi与 PHi 相交于 M ，因为 MAj =MP，/M所以 RMMAiHi -RMMPQinn因此AHi二PQi，所以7 AHPQk，故定理成立，证毕。i 4i 4（二）从“正多面体”推广到“非正多面体”。定理3若p为（1）各面等积凸n面体，或（2）将各面等积凸n面体各面作 平移变换（并非相似变换）后得到的凸n面体内任意一点，则p点到各面的距离 之和为一常数。证明：（1）记各面等积凸n面体为形A,设V、S分别表示形A的体积和每一 面的面积，P为其内任意一点，P到各面的距离为hA（i=1,2,，n）,则用完全相 同于定理1的

16、证法可得J hA = 3V 为一常数。i 1S（2）设形B为由各面等积凸n面体即形A各面作平移变换（并非相似变换）“放大”（或“缩小”）后得到的凸n面体（注：因非相似变换，所以形 B不是各面等积凸n面体），P为形B内任意一点，P到形B各面的距离为hB,i =1,2,，n）形B由形A各面作平移变换“放大”后得到凸n面体nn（i）若点P在形A内，则瓦hBi =瓦（hA + di ）其中dj表示形B与形AiT7（B_A）（BJ）各对应平行面之间的距离nnn所以瓦hBj =瓦hA +E d显然为一常数i 生ii 吕（B -A）（ii）若点P在形B内而在形A外，则可作一个由形A沿相似变换“放大”后得到的

17、各面等积凸n面体，简记为形C,且使得形B与形A都包含在形C内，n则由定理3 （1）可知，P到形C各面的距离之和为一常数hCii=1 -di）其中dj表示形c（C-B）（C-B）nn那么，点P到形B各面的距离之和a hBj =為（hCii =1i=1与形B各对应平行面的距离nnn所以v hBj八，hC d yi =±i （C -B）形B由形A各面作平移变换n也为一常数。“缩小”后得到的凸nn面体因为点P在形B内，所以a hBj =為（hAii di =1 di)(A-B)其中dj 表示形A与（A-B）形B各对应平行面的距离nnn即瓦hBj =瓦hA -无d同样为一常数（A-B）因此定理

18、3证毕三、从“各面等积的非正多面体”推广到“侧面等积的棱柱、棱锥、棱台”。定理4、设p为侧面等积的棱柱内任意一点，则 p到各侧面的距离之和为一 常数。证明：令n棱柱的各侧面面积均为S，底面面积为t，体积为V,高为h，p点 到各侧面的距离分别为hi, h2，hn，到上底面距离为hi，则到下底面距离为 h -hi。连结p点和各顶点，于是此棱柱被分割成n 2个棱锥。这样可得：nnhi+3 + 315 hJ=V 即得：送 hi = 3?i =1i =1(常数)，证毕。定理5设p为侧面等积的棱锥底面上任一点，则P到各侧面的距离之和为常数。证明：设棱锥的各侧面面积均为S，底面为n边形，且面积为t，高为h，P点到各侧面的距离分别为h|,h2,，0。连结P点和各顶点，于是此棱锥被分割成1 n1n个棱锥，这样可得：瓦丄也n3 y3即得J(常数)证毕y S定理6设p为侧面等积棱台上(下)底面上任一点，则 p点各侧面的距离之和各为一常数。证明：设棱台的各侧面面积均为 S,上、下底面均为n边形，且面积分别为 t、r，高为ho(1)若P为棱台上底面上任意一点，令P到各侧