计算机数学基础--第2章导数与微分ppt课件

1、1.1 导数的概念1.2 导数的运算1.3 微分终了终了第第2章章 导数与微分导数与微分前页前页结束结束后页后页对于匀速直线运动来说，其速度公式为对于匀速直线运动来说，其速度公式为: 路路程程速速度度时时间间一物体作变速直线运动，物体的位置一物体作变速直线运动，物体的位置 与时间与时间st00()( )ss tts t 的函数关系为的函数关系为 , 称为位置函数称为位置函数( )ss t 2.1.1 2.1.1 引例引例到时辰到时辰0tt s 设物体在时辰设物体在时辰内经过的路程为内经过的路程为0t例例1 变速直线运动的速度变速直线运动的速度2.1 导数的概念导数的概念前页前页结束结束后页后页

2、00()()s tts tsvtt 00000()( )( )limlimttss tts tv ttt 0( )v t瞬时速度瞬时速度无限变小时，平均速度无限变小时，平均速度就无限接近于就无限接近于vt 0( )v t时辰的时辰的越小越小, ,平均速度平均速度 就越接近于物体在就越接近于物体在0tt v0t0t 时，平均速度时，平均速度的极限值就是物体在的极限值就是物体在v时辰的瞬时速度时辰的瞬时速度 ，即，即0( )vt0tt 到时辰到时辰0t于是，物体在时辰于是，物体在时辰的平均速度为的平均速度为前页前页结束结束后页后页例例2 2 平面曲线的切线斜率平面曲线的切线斜率 曲线曲线 的图像如

3、下图的图像如下图, ,在曲线上任取两点在曲线上任取两点 和和 ，作割线作割线 ，割线的斜率为，割线的斜率为)(xfy 00()M x ,y),(00yyxxN 00()()tanMNf xxf xykxx MNyxO( )yf x MNTx0 xxx0yP前页前页结束结束后页后页这里这里 为割线为割线MNMN的倾角，设的倾角，设 是切线是切线MTMT的倾角，的倾角，当当 时，点时，点N N沿曲线趋于点沿曲线趋于点M M。假设上式的。假设上式的极限存在，记为极限存在，记为k k，那么此极限值，那么此极限值k k就是所求切线就是所求切线MTMT的斜率，即的斜率，即xxfxxfxykxxx )()(

4、limlimtanlimtan00000 0 xyxO( )yf x MNTx0 xxx0yP前页前页结束结束后页后页定义定义 设设y=f(x)在点在点x0的某邻域内有定义，的某邻域内有定义， 属于该邻域，记属于该邻域，记 假设假设存在，那么称其极限值为存在，那么称其极限值为y = f (x)在点在点x0 处的导数，记为处的导数，记为xx0),()(00 xfxxfy xyx0limxxfxxfx )()(lim000.|dd,|dd,|)(0000 xxxxxxxfxyyxf或或或.)()(limlim)(00000 xxfxxfxyxfxx 或或2.1.2 导数的概念与几何意义导数的概念与

5、几何意义1.导数的概念导数的概念前页前页结束结束后页后页导数定义与下面的方式等价：导数定义与下面的方式等价：.)()(lim)(0000 xxxfxfxfxx 假设假设y =f (x)在在x= x0 的导数存在，那么称的导数存在，那么称y=f(x)在在点点x0 处可导，反之称处可导，反之称y = f (x)在在x = x0 不可导，此不可导，此时意味着不存在时意味着不存在.函数的可导性与函数的延续性的函数的可导性与函数的延续性的概念都是描画函数在一点处的性态，导数的大小概念都是描画函数在一点处的性态，导数的大小反映了函数在一点处变化反映了函数在一点处变化(增大或减小增大或减小)的快慢的快慢.前

6、页前页结束结束后页后页2.左导数与右导数左导数与右导数 左导数左导数:.)()(lim)(0000 xxfxxfxfx 右导数右导数:.)()(lim)(0000 xxfxxfxfx显然可以用下面的方式来定义左、右导数显然可以用下面的方式来定义左、右导数,)()(lim)(0000 xxxfxfxfxx .)()(lim)(0000 xxxfxfxfxx 定理定理3.1 y = f (x)在在x =x0可导的充分必要条件是可导的充分必要条件是y = f (x)在在x=x0 的左、右导数存在且相等的左、右导数存在且相等.前页前页结束结束后页后页3.3.导数的几何意义导数的几何意义 当自变量当自变

7、量 从变化到从变化到 时，曲线时，曲线y=f(x)上的点由上的点由 变到变到).(,(00 xxfxxM此时此时 为割线两端点为割线两端点M0，M的横坐标之差，而的横坐标之差，而 那么为那么为M0，M 的纵坐标之的纵坐标之差，所以差，所以 即为过即为过M0，M两点的割线的斜率两点的割线的斜率.0 x).(,(000 xfxMxyxyxx0M0M0 xxx0前页前页结束结束后页后页 曲线曲线y = f (x)在点在点M0处的切线即为割线处的切线即为割线M0M当当M沿沿曲曲线线y=f(x)无限接近无限接近 时的极限位置时的极限位置M0P，因此当，因此当 时，割线斜率的极限值就是切线的斜率时，割线斜

8、率的极限值就是切线的斜率.即：即：0 0 xD D00()limlimtantanxyfxkx 所以，导数所以，导数 的几何意义的几何意义是曲线是曲线y = f (x) 在点在点M0(x0,f(x0)处的切线斜率处的切线斜率.)(0 xf M0M0 xxx0P P0 0M 前页前页结束结束后页后页 设函数设函数y=f(x)在点处可导，那么曲线在点处可导，那么曲线y=f(x)在点处的切线方程为：在点处的切线方程为： 而当而当 时时,曲线曲线 在在 的切线方程为的切线方程为0001()().()yf xxxfx 0 xx (即法线平行y轴).0 xx 000()()().yf xfxxx 当当 时

9、时,曲线曲线 在在 的法线方程为的法线方程为0()0fx ( )f x0M而当而当 时时,曲线曲线 在在 的法线方程为的法线方程为0()0fx ( )f x0M0()fx ( )f x0M前页前页结束结束后页后页例例3 3 求函数求函数 的导数的导数解解: (1): (1)求增量求增量: : (2)(2)算比值算比值: : (3)(3)取极限取极限: : 同理可得同理可得: :特别地特别地, . , . 2xy ()( )yf xxf x 222()2()xxxx xx xxxy2xxxxyyxx2)2(limlim00为正整数）nnxxnn()(111( )()xn 前页前页结束结束后页后页

10、例例4 4 求曲线求曲线 在点在点 处的切线与法线方程处的切线与法线方程. .解解: :由于由于 , ,由导数几何意义由导数几何意义, ,曲线曲线 在点在点 的切线与法线的斜率分别为的切线与法线的斜率分别为: : 于是所求的切线方程为于是所求的切线方程为: :即即法线方程为法线方程为: :3xy )8 , 2(233)(xx3xy )8 , 2(1211,12)3(122221kkxykxx)2(128xy01612 yx)2(1218xy即09812yx前页前页结束结束后页后页2.1.3 2.1.3 可导性与延续性的关系可导性与延续性的关系定理定理2 假设函数假设函数y = f (x)在点在

11、点x0处可导，处可导，那么那么f(x)在点在点x0 处延续处延续.证证 由于由于f (x)在点在点x0处可导，故有处可导，故有00()lim.xyfxx 根据函数极限与无穷小的关系根据函数极限与无穷小的关系,可得可得:00()lim0.xyfxx ，其其中中两端乘以两端乘以 得得:0()yfxxx x由此可见由此可见:000limlim()0.xxyfxxx 即函数即函数y = f (x)在点在点x0 处延续处延续.证毕证毕.前页前页结束结束后页后页例例5 证明函数证明函数 在在x=0处延续但不可导处延续但不可导.|yx 证证 由于由于0lim| 0 xx 所以所以 在在x =0延续延续|yx

12、 00(0)limlim1xxyxfxx 1limlim)0(00 xxxyfxx而而即函数即函数 在在x=0处左右导数不相等处左右导数不相等,从而在从而在|yx x=0不可导不可导.由此可见，函数在某点延续是函数在该点可导的必要由此可见，函数在某点延续是函数在该点可导的必要条件，但不是充分条件条件，但不是充分条件即可导定延续即可导定延续, ,延续不一定可导延续不一定可导. .前页前页结束结束后页后页 设函数设函数u(x)与与v(x) 在点在点x处均可导，那处均可导，那么么:定理一定理一(1) ( )( )( )( );u xv xu xv x(2) ( ) ( )( ) ( )( ) ( )

13、,u x v xu x v xu x v xuCCuCCxv ) (,()(,则则为为常常数数）特特别别地地2)()()()()()()()3(xvxvxuxvxuxvxu ( )1,u x 2.2.1 2.2.1 函数的和、差、积、商的求导法那么函数的和、差、积、商的求导法那么2.2 2.2 求导法那么求导法那么特别地特别地,假设假设可得公式可得公式21( ) ( ( )0)( ) ( )v xv xv xv x 前页前页结束结束后页后页wvuwvu )(注：法那么注：法那么12均可推行到有均可推行到有限限多个可导函数的情形多个可导函数的情形wuvwvuvwuuvw )(例：设例：设u=u(

14、x),v=v(x),w=w(x)在点在点x处均处均可导，那么可导，那么前页前页结束结束后页后页)3lnsin(3 xexyx解：解： )3(ln)(sin)()(3 xexxxexxcos32 例例2 设设52,xyxy 求求)(52)(5 xx2xx解：解：)25( xxy2ln25225xxxx yxexyx ，求求设设3lnsin3例例1前页前页结束结束后页后页)(tan xy)cossin( xx解：解：xxxxx2cos)(cossincos)(sin xxx222cossincos xx22seccos1 即即 2(ta n)secxx 2(cot)cscxx 类似可得类似可得例例

15、3 求求y = tanx 的导数的导数前页前页结束结束后页后页)cos1( xxx2cossin )(sec xy解：解：xxtancos1 xx tansec 即即(sec )sectanxxx (csc )csccotxxx 类似可得类似可得例例4 求求 y = secx 的导数的导数前页前页结束结束后页后页 定理二定理二)(xu 假设函数假设函数在在x处可导，而函数处可导，而函数y=f(u)在对应的在对应的u处可导，处可导，那么复合函数那么复合函数)(xfy 在在x处可导，且有处可导，且有dydy dudxdu dx或或xuxyyu对于多次复合的函数，其求导公式类似，对于多次复合的函数，

16、其求导公式类似，此法那么也称链导法此法那么也称链导法注：注：2.2.2 复合函数的导数复合函数的导数前页前页结束结束后页后页xuxuy)1()(sin2 xu 2cos )1cos(22xx 例例7yxy 求求,2lnsin222lncos22 xxxxxxxy2221212lncos222 解：解：解：解：复复合合而而成成可可看看作作221,sin)1sin(xuuyxy yxy 求求),1sin(2例例6前页前页结束结束后页后页定理三定理三, 0)( y 且且)(yx 假设单调延续函数假设单调延续函数在某区间内可导，在某区间内可导，那么它的反函数那么它的反函数y=f(x)在对应的区间在对应

17、的区间内可导，且有内可导，且有1dydxdydx 1( )( )fxy 或或证证 由于由于 的反函数的反函数 ( )( )yf xxy 是是( ) ( )xyf x所所以以有有dxdydydx 1上式两边对上式两边对x求导得求导得xyf 1或或dydxdxdy1 或或1( )( )fxy 所所以以 0)(ydydx 2.2.3 反函数的求导法那么反函数的求导法那么前页前页结束结束后页后页）内内单单调调且且可可导导，在在区区间间（而而2,2sin yx, 0cos)(sin yyy且且解：解：y = arcsinx 是是x = siny 的反函数的反函数因此在对应的区间因此在对应的区间-1，1内

18、有内有)(sin1)(arcsin yxxycos1 y2sin11 211x 21(arcsin )1xxx 即即同理同理21(arccos )1xxx 21(arctan )1xx 21(cot )1arcxx 求函数求函数y = arcsinx 的导数的导数例例8 前页前页结束结束后页后页根本导数公式表根本导数公式表为为常常数数）CC(0).(1 为为常常数数） ().(21 xxaxxaln1).(log3 14.(ln)xx xxee ).(6xxcos).(sin7 xxsin).(cos8 2.2.4 根本初等函数的导数根本初等函数的导数aaaxxln)(5 . .前页前页结束结

19、束后页后页xxx22cos1sec).(tan9 xxxtansec).(sec11 xxxcotcsc).(csc12 211).(arcsin13xx 211).(arccos14xx 211).(arctan15xx 21161.(arccot ) xx xxcosh).(sinh17 xxsinh).(cosh18 xxx22sin1csc).(cot10 前页前页结束结束后页后页)sin2()sin2(3222 xxxx)cos4()sin2(322xxxx )sin2(32 xxy解：解：22)cos4()sin2(322 xxxxxxy22)12(6 2,)sin2(32 xyx

20、xy求求设设例例5前页前页结束结束后页后页22xyxyeyex 1. 隐函数的导数隐函数的导数例例9 求方程求方程 所确定的函数的导数所确定的函数的导数解：解：方程两端对方程两端对x求导得求导得0)2(2 xyeyxxyye)0(2 xey2.2.5 隐函数和由参数方程确定的函数的导数隐函数和由参数方程确定的函数的导数隐函数即是由隐函数即是由 所确定的函数，其求导方法就是把所确定的函数，其求导方法就是把y看成看成x的函数，方程两端同时对的函数，方程两端同时对x求导，然后解出求导，然后解出 。 ( , )F x yy 20yxex ye 即即前页前页结束结束后页后页例例10dxdyyxy求求设设

21、),2arctan( 解：解：两边对两边对x求导得求导得)21()2(112yyxy 1)2(12 yxy得得解解出出 ,y 前页前页结束结束后页后页)1ln(2)1(xxxexyy 2 2可可以以写写成成函函数数解一解一)1ln(2 xxey )1ln(2)1ln(2 xxexx )1(1)1ln(222)1ln(2xxxxexx 222212)1ln()1(xxxxxyxyx 求求设设,)1(2例例11前页前页结束结束后页后页)1ln(ln2xxy 两边对两边对x求导，由链导法有求导，由链导法有xxxxyy21)1ln(122 22212)1ln(xxx 222212)1ln()1(xxx

22、xyx 解二称为对数求导法，可用来求幂指函数和多个因解二称为对数求导法，可用来求幂指函数和多个因子连乘积函数、开方及其它适用于对数化简的函数的求导子连乘积函数、开方及其它适用于对数化简的函数的求导注：注：两两边边取取自自然然对对数数将将函函数数xxy)1(2 解二解二前页前页结束结束后页后页)1ln(21)43ln(21)1ln(21ln2 xxxy解：解：将函数取自然对数得将函数取自然对数得)1(21)43(23112 xxxxyy两边对两边对x求导得求导得2231(1)(34)(1)12(34)2(1)xyxxxxxx 所所以以yxxxy 求求设设, ) 1)(43)(1(2例例12前页前

23、页结束结束后页后页且且)(tx )(),(tytx 设设均可导均可导,具有单值延续具有单值延续反函数反函数)(1xt ，那么参数方程确定的函数可看成)(ty 与与)(1xt 复合而成的函数，复合而成的函数， 根据求导法那么有：根据求导法那么有：求得求得y对对x的导数的导数对参数方程所确定的函数对参数方程所确定的函数y=f(x),可利用参数方程直接可利用参数方程直接dydy dtdxdtdxdtdxdtdy1 )(1)(tt ( )( )tt 此即参数方程所确定函数的求导公式此即参数方程所确定函数的求导公式2.参数方程所确定的函数的导数参数方程所确定的函数的导数变量变量y与与x之间的函数关系有时

24、是由参数方程之间的函数关系有时是由参数方程)()(txty 确定的，其中确定的，其中t 称为参数称为参数前页前页结束结束后页后页 解：解： 曲线上对应曲线上对应t =1的点的点x, y)为为0,0,曲线曲线t =1在处的切线斜率为在处的切线斜率为1 tdxdyk12231 ttt122 于是所求的切线方程为于是所求的切线方程为 y =x123 txtty求曲线求曲线在在t =1处的切线方程处的切线方程例例13前页前页结束结束后页后页 dxdydxddxyd22即即,)( yy )()( xfxf或或22)(dxxfd,y 记作记作),(xf 22dxyd或或二阶导数：二阶导数：)(xfy 假设

25、函数假设函数f(x)的导函数的导函数仍是仍是x的可导的可导函数，就称函数，就称)(xfy 的导数为的导数为f(x)的二阶导数，的二阶导数，n阶导数：阶导数：( )( )( )( )nnnnd ddd yf xfxydx dxdxdx 二阶及二阶以上的导数统称为高阶导数二阶及二阶以上的导数统称为高阶导数高阶导数的计算：高阶导数的计算： 运用导数运算法那么与根本公式将运用导数运算法那么与根本公式将函数逐次求导函数逐次求导2.2.6 高阶导数高阶导数前页前页结束结束后页后页,lnaayx 解：解：nxnaay)(ln)( ,)(ln2aayx ,特别地特别地,)(xxee xnxee )()(,)(

26、xxee ,例例15)(,sinnyxy求求设设 )2sin( xy)2cos( x)22sin( x解：解：)(sin xyxcos )2sin( x )22sin( xy)23sin( x)2sin()( nxyn即即()(sin)sin()2nxxn 同理同理( )(cos )cos()2nxxn )(,nxyay求求设设 例例14前页前页结束结束后页后页解解如图，正方形金属片的面如图，正方形金属片的面积积 A 与边长与边长 x 的函数关系的函数关系为为A = x2 , 受热后当边长由受热后当边长由x0伸长到伸长到x0+ 时时, 面积面积A相应的增量为相应的增量为x2.3.1 微分的概念

27、微分的概念例例1 设有一个边长为设有一个边长为x0的正方形金属片，受热后它的的正方形金属片，受热后它的边长伸长了边长伸长了 ，问其面积添加了多少？，问其面积添加了多少？x 2 0 x A 0 x x x 0 x x 0 x 2 x 202020)(2)(xxxxxxA 2.3 2.3 微分微分前页前页结束结束后页后页的线性函数的线性函数同阶的无穷小；同阶的无穷小；时与时与是当是当xxxx 0,20从上式可以看出，从上式可以看出，xA是分成两部分：第一部分xA 是是分成两部分：第一部分分成两部分：第一部分高高阶阶的的无无穷穷小小。时时比比是是当当第第二二部部分分xxx 0,)(2这阐明这阐明的的

28、近近似似值值：数数作作为为很很小小时时，可可用用其其线线性性函函Ax 02.Axx 这部分就是面积这部分就是面积A 的增量的主要部分线性主部的增量的主要部分线性主部,2)()(0200 xxxxx A A因为因为所以上式可写成所以上式可写成0().AA xx 前页前页结束结束后页后页)()(00 xfxxfy 可以表示为可以表示为定义定义 设函数设函数)(xfy在点在点0 x的某邻域内有定义，的某邻域内有定义，处的增量处的增量0 x在点在点)(xf假设函数假设函数),( xoxAy 于是于是,2.3.1)式可写成式可写成0 xxdAA 处的微分，处的微分，0 x)(xfxA 可微，可微，称为称

29、为在点在点0 x处处在点在点)(xf高阶的无穷小，那么称函数高阶的无穷小，那么称函数时时0 x)( xo x其中其中A是与是与无关的常数，无关的常数，是当是当比比x00 d | d |.x xx xyyAx，即即记为记为前页前页结束结束后页后页由微分定义，函数由微分定义，函数f (x)在点在点x0处可微与可导等价，处可微与可导等价，且且0()Afx , ,因此因此)(xf在点在点 x0 处的微分可写成处的微分可写成00d()x xyf xx上式两端同除以自变量的微分，得上式两端同除以自变量的微分，得d( )dyf xx因此导数也称为微商因此导数也称为微商可微函数：假设函数在区间可微函数：假设函

30、数在区间(a , b)内每一点都可微，内每一点都可微， 那么称该函数在那么称该函数在(a , b)内可微。内可微。00d()dx xyf xx于是函数于是函数通常把通常把x 记为记为，称自变量的微分，称自变量的微分，f (x)在点在点x0 处的微分又可写成处的微分又可写成d xd( )dyfxxf(x) 在在(a,b)内任一点内任一点x处的微分记为处的微分记为前页前页结束结束后页后页解：解：0201. 0101. 1)(2222 xxxy例例2 求函数求函数 y=x2 在在 x=1,01. 0 x时的改动量和微分。时的改动量和微分。于是于是 110.010.01d20.02xxxxyx x 面

31、积的微分为面积的微分为 d2.rssrr r .)(2)(222rrrrrrs解：面积的增量解：面积的增量面积的增量与微分面积的增量与微分r当半径增大当半径增大2rs例例3 半径为半径为r 的圆的面积的圆的面积时，求时，求2d()2yxxx x 在点在点1x处，处，前页前页结束结束后页后页2.3.2 微分的几何意义微分的几何意义x当自变量x有增量时，时，切线切线MT 的纵坐标相应地有增量的纵坐标相应地有增量tan( )dPxf xxy Q( , )M x y因此，微分因此，微分d( )yfxx几何上表示当几何上表示当x x有增量有增量x时，曲线时，曲线 ( )yf x在对应点在对应点处的切线的

32、纵坐标的增量处的切线的纵坐标的增量 y用用d y近似替代近似替代dyyPN 就是用就是用QP近似替代近似替代QN，并且，并且tan( )f x设函数设函数y = f (x)的图形如以下图所示的图形如以下图所示.过曲线过曲线y = f (x)上一点上一点M(x,y)处作切线处作切线MT,设设MT的倾角为的倾角为则则, y ( )yf x MNOxy d yxxx Q QPT前页前页结束结束后页后页2.3.3 微分的运算法那么微分的运算法那么1. 微分的根本公式：微分的根本公式：(1) d0 () CC为为常常数数1(2) dd () aaxaxxa 为为常常数数(4) dee dxxx 1(6)

33、 dlndxxx (8) dcossin dxx x (3) dln d (01)xxaaaxa,a 11(5) dlogd (01)lnaxxa,axa (7) dsincos d xx x 前页前页结束结束后页后页21(16) d arccot d 1xxx 21(14) d arccos d1xxx 21(13) darcsin d1xxx 21(15) d arctan d 1xxx 2(10) dcotcscdxx x 2(9) d tan secdxx x (12) dcsc csccot dxxx x (11) dsec sectan dxxx x 续前表续前表前页前页结束结束后

34、页后页2. 2. 微分的四那么运算法那么微分的四那么运算法那么设设u=u(x)，v=v(x)均可微均可微 ，那么，那么d()dd ;uvuv d()dd ;uvv uu vd()dCuCu C 为常数；2ddduvuuvvv0().v 前页前页结束结束后页后页3复合函数的微分法那么复合函数的微分法那么都是可导函数，那么都是可导函数，那么( )( )yf uux，设函数设函数的微分为的微分为)(xfy复合函数复合函数d( )d( ) ( )dxyfxxf uxx 利用微分方式不变性，可以计算复合函数和隐利用微分方式不变性，可以计算复合函数和隐函数的微分函数的微分.这就是一阶微分方式不变性这就是一阶微分方式不变性.可见，假设可见，假设y=f(u)可微，不论可微，不论u是自变量还是中间变量，是自变量还是中间变量，d( )dyf uu总有总有而而d( )du