定积分计算用原函数ppt课件

1、定积分计算：用原函数定积分计算：用原函数(不定积分不定积分)无法找到原函数无法找到原函数F(x) 怎么办？怎么办？( )( )( ),baf x dxF bF a)()(xfxFxxfln1)(xxsin2xe5.1 数值积分公式数值积分公式5.2 数值积分的余项数值积分的余项5.3 复化求积法与步长的选取复化求积法与步长的选取5.4 数值微分法数值微分法 机械求积机械求积 Newton-Cotes公式公式 代数精度代数精度 Gauss求积公式求积公式原理：定积分原理：定积分曲边梯形的面积曲边梯形的面积理论基础：积分中值定理理论基础：积分中值定理f( )=?badxxffI)()()()()(

2、fabfI左矩形左矩形右矩形右矩形中矩形中矩形梯形梯形)()()()(afabfGfIa)()()()(bfabfGfIb( )( )() ()2cabI fGfba f)()(2)()(bfafabfTfI问题问题适当取求积节点适当取求积节点 和求积系数和求积系数A0, , An，计算函数值，计算函数值 f(x0), f(xn), 近似近似解解误差误差 T(f ) - Q(f )badxxffI)()(0( )( )( )niiiI fQ fA f x,10baxxxn插值型求积公式插值型求积公式: P(x)是是f(x)的一个插值函数的一个插值函数(linear, Lagrange, Her

3、mite, spline等等)Newton-Cotes公式公式: 采用等距节点采用等距节点Lagrange插值插值( )( )bbaaf x dxP x dxnabhihaxi0( )( )( )( )nbbniaaiiI ff x dxL xAdxf x000( 1)( )()()!()!n innbbnjiiaaj ij iijjjxxAl x dxdxbatj dtxxn i nini, 1 , 0Cotes系数系数Ci (仅依赖于仅依赖于 n, i)变量代换x=a+th梯形公式梯形公式 (n=1)Simpson公式公式 (n=2)Cotes公式公式 (n=4)数值稳定性数值稳定性: n

4、8时，时，Cotes系数非负且和为系数非负且和为1)()(2)()(bfafabfTfI( )( )( )4 ()( )62baabI fS ff aff b33( )( )7 ( )32 ()12 ()32 ()7 ( )90424baabababI fC ff affff b0( )()max( )ii nQ fbaf x 定义：定义： 若机械求积公式若机械求积公式 对所有对所有幂函数幂函数f(x)=1,x,x2xm准确，则称它具有准确，则称它具有m次代数精度。次代数精度。性质：具有性质：具有m次代数精度次代数精度对所有次数不超对所有次数不超过过m次的多项式准确。次的多项式准确。代数精度：

5、梯形公式代数精度：梯形公式 (n=1)1次，次， Simpson公公式式 (n=2)3次，次，Cotes公式公式 (n=4)5次。次。n为奇数时，为奇数时，n阶阶Newton-Cotes公式的代数精公式的代数精度为度为n；n为偶数时，为偶数时，n阶阶Newton-Cotes公式的代数精公式的代数精度为度为n+1。 ( )( )I fQ f例题例题 求求A1, A2及及x2，使求积公式，使求积公式代数精度尽量高代数精度尽量高解：解：得得 A1=1/4, A2 =3/4，x2 =2/3 )()0()(22110 xfAfAdxxf12122222122( )1111( )1/20( )1/30f

6、xAAf xxAA xf xxAA x 考虑将节点也视为待定参数，此时机械求积公式考虑将节点也视为待定参数，此时机械求积公式的待定参数达的待定参数达2n+2个，从而可期望代数精度达到个，从而可期望代数精度达到2n+1，称此类高精度的求积公式为，称此类高精度的求积公式为Gauss公式，而公式，而对应节点称为对应节点称为Gauss点。点。一点一点Gauss (n=0) (中矩形公式中矩形公式)-1,1上的两点上的两点Gauss公式公式0( )( )( )niiiI fQ fA f x( )( )() ()2cabI fGfba f)31()31()(11ffdxxfn n次次LegendreLeg

7、endre多项式多项式定理定理5.1 -1,15.1 -1,1上上n-1n-1阶阶GaussGauss点恰为点恰为n n次次LegendreLegendre多项式的根。多项式的根。 ) 1(2nnnxdxd阶阶Gauss点点求积系数求积系数代数精度代数精度002111，1325/9，8/9，5/951/3, 1/33 / 5,0,3 / 51153853( )()(0)()95995Gaussf x dxfff三点Lobatto积分公式为积分公式为Gauss公式的修正，总将公式的修正，总将上下端点作为节点，上下端点作为节点，n阶阶Lobatto积分公式的积分公式的代数精度达到代数精度达到2n-

8、1, 比比Gauss公式略低公式略低.Lobatto积分求积系数恒正积分求积系数恒正P131）。）。1111)()1 () 1() 1(2)(nkkkxfAffnndxxf变换到变换到-1,1一般区间一般区间a,b上的两点上的两点Gauss公式公式112)22(22)(dtabbatabfbatabxdxxfba)232()232(2)()(baabfbaabfabdxxffIba引理引理5. 1 （积分中值定理若（积分中值定理若f(x), g(x)均在均在a,b上连续且不变号上连续且不变号,则存在则存在a,b 使使 左矩形公式余项左矩形公式余项(证明证明: 用用Taylor公式公式)中矩形公

9、式余项中矩形公式余项(证明证明: 用用Taylor公式公式)babadxxgfdxxgxf)()()()(2()( )( )( )()( )2abGabaRff x dxf a baf3()( )( )()()( )224cbGaabbaRff x dxfbaf梯形公式余项梯形公式余项(证明证明: 用积分中值定理用积分中值定理)Simpson公式余项公式余项(证明证明: 用积分中值定理用积分中值定理+Hermite插值插值)3()( )( ) ( )( )( )212bTababaRff x dxf af bf 5(4)1( )( ) ( )4 ()( )()( )62902bSabaabba

10、Rff x dxf aff bf Newton-Cotes系列公式余项系列公式余项 (证明略证明略)Gauss系列公式余项系列公式余项证明证明:类似类似Simpson余项余项,利用利用2n+1次次Hermite插值余项插值余项. (1)(2)( )( )()(1)!( )( )( )( )() ( )()(2)!2nbanbafx dxnnR fI fQ ffabxx dxnn为奇数为偶数bandxxnffQfIfR)()!22()()()()(2)22(复化求积原理复化求积原理定步长梯形法定步长梯形法条件条件: f(x)在在a, b连续连续nixxbaiidxxfdxxffI11)()()(

11、bxxxan101111( )()( )( )( )2( )22nnniiiiihhTff xf xf af bf x2( )( )()( )12nhI fTfba f ,0,1,ibahxaih inn2阶收敛性定步长定步长Simpson法法条件条件: f(4)(x)在在a, b连续连续P119 例例5.13(Simpson法精度高法精度高) 121211111( )()( )4 ()6 ( )( )2( )4()6nniiiinniiiihSff xf xf xhf af bf xf x1,0,1,2ibahxaih inn4(4)( )( )( )( )1802nba hI fSff 4

12、阶收敛性递推关系递推关系逐级计算而在增加新节点时逐级计算而在增加新节点时, 不浪费原先的计不浪费原先的计算量算量, 并且可由并且可由|T2n(f) Tn(f)| 控制计算控制计算精度。精度。 niinnxfhfTfT12)(2)(21)(21xi-1xixi-1/211( )()( )2nniiihTff xf x)(31)(34)(2fTfTfSnnn)(151)(1516)(2fSfSfCnnn)(631)(6364)(2fCfCfRnnn由|R2n(f) Rn(f)| 控制计算精度 )(141)(144)(111fTfTfTjijjijjji, j i= 1,2,由|Tii (f) Ti

13、- 1 i-1 (f)| 控制计算精度. 根据被积函数的陡缓自动选择局部步长 考虑某区间ak,bk, 记hk= bk ak, 从a, b开始按=|0.1(S2-S1)| 检查精度，若满足精度则以S2为计算结果，否则分成两个小区间各自重复逐步上述过程，每个小区间精度用/2。这样重复下去，直至每个分段部分达到相应精度步长为h=(b-a)/2k时精度/2k） 不同段的步长可能是不一样的，积分结果为每一小段积分的总和。 11( ()4 ()()62kkkkkhSf af ahf b2113( ()4 ()2 ()4 ()()12424kkkkkkkkkhSf af ahf ahf ahf b2211(

14、)15ISSS1.52.3753.2550.511.522.5521.51, 0.5 10lndxx这里共使用了6个区间，调用函数13次，如果用等步长Simpson法达到该精度，需要调用函数17次。主要原因是自适应步长利用了函数的陡缓自动选择局部步长，变化快的地方细分，变化慢的地方粗分 4 4 88881 差商法差商法 向前差商公式向前差商公式 向后差商公式向后差商公式 中心差商公式中心差商公式 hafhafaf)()()(hhafafaf)()()(hhafhafaf2)()()(a a+h a-h 中心差商精度比较高中心差商精度比较高)()(xLxfn)()(inixLxf(1)( )( )(