张公初级中学数学竞赛

1、1 / 162017-2018 学年度张公初级中学数学素养测试试卷一、选择题（每小题 7 分，共 56 分）以下每题的 4 个结论中，仅有一个是正确的，请将正确答案的 英文字母填在题后的圆括号内.1. a、b、c 是正整数，ab,且 a2- ab-ac+bc=7，则 a- c 等于（D ）A. 1 B.- 1 或-7 C. 1 D. 1 或 72. 用数码 2、4、5、7 组成的四位数中，每个数码只出现一次.将所有这些四位数从小到大排列，则 排在第13 个的四位数是（B ）A. 4527 B. 5247C. 5742 D. 72453.1989 年， 我国的 GDP（国民生产总值）只相当于英国

2、的 53.3%,目前已相当于英国的 81%,如果 英国目前的 GDP 是 1989 年的 m倍，那么我国目前的 GDP 约为 1989 年的（）A. 1.5 倍 B. 1.5m 倍 C. 27.5 倍 D. m 倍4. 若 x 取整数，则使分式一丄的值为整数的 x 值有（）A. 3 个 B. 4 个 C. 6 个 D. 8 个5. 已知 a 为整数，关于 x 的方程 a2x- 20=0 的根是质数，且满足| ax-7| a2,则 a 等于（）A. 2 B. 2 或 5 C. 土 2 D.- 26. 如图，已知 RtAABC 中，/ C=90,ZA=30，在直线 BC 或 AC 上取一点 P,使

3、得 PAB 是等腰三角形，则符合条件的 P 点有（）R CA. 2 个 B. 4 个 C. 6 个 D. 8 个7. 边长分别是 3、5、8 的三个正方体被粘合在一起，在这些用各种方式粘合在一起的立体中，表面积最小的那个立体的表面积是（）A. 570 B. 502 C. 530 D. 5388. 如图，在四边形 ABCD 中，对角线 AC 平分/ BAD, ABAD,下列结论中正确的是（）A.AB- ADCB- CDB.AB- AD=CB- CDC.AB- ADVCB- CD2 / 16D.AB-AD 与 CB- CD 的大小关系不确定二、填空题（每小题 7 分，共 84 分）9 .多项式 x

4、2+y2- 6x+8y+7 的最小值为 _ .10.已知-=1,则,的值等于11.如图是一块电脑主板，每一个转角处都是直角，数据如图所示，单位是mm,则该主板的周长为mm.12.某学校建了一个无盖的长方体水箱，现在用一个半径为r 的圆形砂轮打磨内壁和箱底，则砂轮磨 不到的部分的面积为为_.13.a伙丫中有两个锐角和一个钝角，其数值已经给出，在计算 鲁（a+p+Y的值时，有三位同学分别算出了 23 24 25这三个不同的结果，其中只有一个是正确的答案，贝Ua+阡丫 14. 设 a 为常数，多项式 x3+ax2+1 除以 x2- 1 所得的余式为 x+3，则 a=_.15. 在 ABC 中，高 B

5、D 和 CE 所在直线相交于 O 点，若 ABC 不是直角三角形，且/ A=60，贝 BOC _.16.小王的学校举行了一次年级考试，考了若干门课程，后加试了一门，小王考得98 分，这时小王 的平均成绩比最初的平均成绩提高了 1 分.后来又加试了一门，小王考得 70 分，这时小王的平均成 绩比最初的平均成绩下降了 1 分，则小王共考了（含加试的两门）门课程，最后平均成绩为 分.17.已知 a+b+c=0, abc,贝U的取值范围是_.a18.计算器上有一个倒数键帀，能求出输入的不为零的数的倒数（注：有时需先按画即或国键,才能实现此功能，下面不再说明）.例如，输入 2,按下键.，则得 0.5.现

6、在计算器上输入某数， 再依下列顺序按键：疥日厂二I三，在显示屏上的结果是-0.75,则原来输入的某数是 .19. 有 A、B、C 三种不同型号的电池，它们的价格各不相同.有一笔钱可买 A 型 4 只，B 型 18 只，C 型 163 / 16只；或 A 型 2 只，B 型 15 只，C 型 24 只；或 A 型 6 只，B 型 12 只，C 型 20 只.如果将这笔钱 全部用来购买 C 型号的电池，则能买 _只.20. 如图，已知五边形 ABCDE 中，/ ABC2 AED=90，AB=CD=AE=B+DE=2,贝 U 五边形 ABCDB 的面积 为三、解答题(10分)【九年级考生在21题、2

7、2题任选一题，七、八年级考生不做】21.如图，已知在厶ABC中,AB二AC=10cmBC=8cm D为AB中点，设点P在线段BC上以3cm/秒的速度由B点向C点运动，点Q在线段CA上由C点向A点运动.(1)若Q点运动的速度与P点相同，且点P, Q同时出发，经过1秒钟后BPACQP是否全等，并说明理由；(2)若点P，Q同时出发，但运动的速度不相同，当Q点的运动速度为多少时，能在 运动过程中有BPD与CQP全等？(3)若点Q以(2)中的速度从点C出发，点P以原来的速度从点B同时出发，都是 逆时针沿厶ABC的三边上运动，经过多少时间点P与点Q第一次在厶ABC的哪条边上相 遇？OB 22.如图，直线

8、y=kx-3 与 x 轴、y 轴分别交于点 B，C,=.4 / 16求点 B 坐标和 k 值；(2)若点 A (x,y )是直线 y=kx-3 上在第一象限内的一个动点，当点 A 在运动过程中，试写出 AOB 的面积S 与 x 的函数关系式(不要求写自变量范围)；并进一步求出点 A 的坐标为多少时， AOB 的9面积为 ？(3)在上述条件下，x 轴上是否存在点 巳巳使厶 AOP 为等腰三角形？若存在，请写出满足条件的所 有 P 点坐标；若不存在，请说明理由.5 / 162017-2018 学年度张公初级中学数学素养测试试卷参考答案与试题解析一、选择题（每小题 7 分，共 56 分）以下每题的

9、4 个结论中，仅有一个是正确的，请将正确答案的 英文字母填在题后的圆括号内1. a、b、c 是正整数，ab,且 a2-ab-ac+bc=7，则 a- c 等于（）A. 1 B.- 1 或-7 C. 1 D. 1 或 7【考点】 因式分解的应用；因式分解-分组分解法.【分析】此题先把 a2- ab - ac+bc 因式分解，再结合 a、b、c 是正整数和 a b 探究它们的可能值，从 而求解.【解答】 解：根据已知 a2- ab- ac+bc=7，即 a（ a- b）- c（ a- b） =7，（ a- b）（ a- c） =7，a b, a- b0, a- c0,ta、b、c 是正整数， a-

10、 c=1 或 a- c=7故选 D.2. 用数码 2、 4、 5、 7 组成的四位数中，每个数码只出现一次.将所有这些四位数从小到大排列，则排在第 13 个的四位数是（）A. 4527 B. 5247 C. 5742 D. 7245【考点】 排列与组合问题.【分析】 首先找到以 2 开头的四位数的个数，然后再找到以 4 开头的四位数的个数，这些数共有 12 个，则第 13 个数从 5 开头，找出这个最小的四位数即可.【解答】解：千位上是 2 的四位数的个数有 3X2X仁 6 个，千位上是 4 的四位数的个数有 3X2X1=6 个， 即可知排在第 13 个四位数是千位上是 5，6 / 16又知这

11、些从小到大排列，第 13 个数为 5247,故选 B.3.1989 年，我国的 GDP （国民生产总值）只相当于英国的 53.3%,目前已相当于英国的 81%,如果 英国目前的 GDP 是 1989 年的 m 倍，那么我国目前的 GDP 约为 1989 年的（）A. 1.5 倍 B. 1.5m 倍 C. 27.5 倍 D. m 倍【考点】列代数式.【分析】可以把英国 1989 年的 GDP 看作单位 1,然后分别表示我国目前的 GDP 和 1989 年的 GDP, 求比即可.【解答】解：根据题意得：我国目前的 GDP 约为 1989 年的于 m 1.5m 倍.故选 B.4若 x 取整数，则使分

12、式.：的值为整数的 x 值有（）A. 3 个 B. 4 个 C. 6 个 D. 8 个题.解-：_皿_3+解：=匕-一 =3+-当 2x-仁土 6 或土 3 或土 2 或土 1 时,.是整数，即原式是整数.当 2x-仁土 6 或土 2 时，x 的值不是整数，当等于土 3 或土 1 是满足条件.故使分式三亍的值为整数的 x 值有 4 个，是 2, 0 和土 1.故选 B.5.已知 a为整数，关于 x 的方程 a2x-20=0 的根是质数，且满足| ax-7| a2,则 a 等于（）A. 2 B. 2 或 5 C. 土 2 D.- 2 【考点】一元二次方程的解；一元二次方程的定义.【分析】本题是道

13、选择题，可用排除法进行选择.【考【分分式的值；整式的除法.首先把分式转化为 3+”一，则原式的值是整数，即可转化为讨论壬上一的整数值有几个的问【解7 / 16【解答】解：当 a=2 时，x=5 是质数，但|ax- 7| =| 2X5 -7| =34,所以选 D. 故选 D.6.如图，已知 RtAABC 中，/ C=90,ZA=30，在直线 BC 或 AC 上取一点P,使得 PAB 是等腰三角 形，则符合条件的 P 点有()R CA. 2 个 B. 4 个 C. 6 个 D. 8 个【考点】等腰三角形的判定；坐标与图形性质.【分析】本题是开放性试题，根据题意，画出图形结合求解.【解答】解：第 1

14、 个点在 AC 上，作线段 AB 的垂直平分线，交 AC 于点 P,则有 PA=PB第 2 个点是以 A 为圆心，以 AB 长为半径截取 AP=AB 交 AC 延长线上于点 P;第 3 个点是以 A 为圆心，以 AB 长为半径截取 AP=AB 在上边于 CA 延长线上交于点 P;第 4 个点是以 B 为圆心，以 BA 长为半径截取 BP=BA 与 AC 的延长线交于点 P;第 5 个点是以 B 为圆心，以 BA 长为半径截取 BP=BA 与 BC 在左边交于点 P;第 6 个点是以 A 为圆心，以 AB 长为半径截取 AP=AB 与 BC 在右边交于点 P;符合条件的点 P 有 6 个点.故选

15、 C.7.边长分别是 3、5、8 的三个正方体被粘合在一起，在这些用各种方式粘合在一起的立体中，表面 积最小的那个立体的表面积是()A. 570 B. 502 C. 530 D. 538【考点】几何体的表面积.【分析】先求出边长分别是 3、5、8 的三个正方体的表面积的和，再减去边长是 3 的两个正方形的面 积和的 4 倍、边长是 5 的两个正方形的面积和的 2 倍，即为所求.【解答】 解：(3X3+5X5+8X8)X6-(3X3)X4-(5X5)X2=98X6-9X4-25X2=588 - 36 - 50故选 B.9 / 168.如图， 在四边形 ABCD 中，对角线 AC 平分/ BAD,

16、 ABAD,下列结论中正确的是（）百-CA. AB- ADCB- CDB. AB- AD=CB- CDC. AB- ADVCB- CDD. AB-AD 与 CB- CD 的大小关系不确定【考点】全等三角形的判定与性质；三角形三边关系.【分析】 在 AB 上截取 AE=AD,则易得 AECAADC,则 AE=AD, CE=CD 则 AB- AD=BE 放在 BCE中，根据三边之间的关系解答即可.【解答】解：如图,在 AB 上截取 AE=AD,连接 CE AC 平分/ BAD,/ BAC=/ DAC,又 AC 是公共边,AECAADC(SAS, AE=AD CE=CD AB- AD=AB- AE=

17、BE BC- CD=BC- CE在 BCE 中 , BE BC- CE AB- ADCB- CD.故选 A.二、填空题（每小题 7 分,共 84 分）9 .多项式 x2+y2- 6x+8y+7 的最小值为 -18【考点】完全平方式；非负数的性质：偶次方.10 / 16【分析】将原式配成(X-3)2+ (y+4)2- 18 的形式，然后根据完全平方的非负性即可解答.【解答】解：原式=(x- 3)2+ (y+4)2- 18,当两完全平方式都取 0 时原式取得最小值=-18.故答案为：-18.10已知 .=1，则,的值等于0 .【考点】分式的化简求值.【分析】先根据已知条件可求出 a-b=- ab,

18、再把 a-b 的值整体代入所求式子计算即可.【解答】解：. =1,a b b- a=ab,/. a- b=- ab,八、卜=-=0.a2abb -ab-2ab故答案是 0.11如图是一块电脑主板，每一个转角处都是直角，数据如图所示，单位是 mm,则该主板的周长为96_mm.【考点】矩形的性质.【分析】题目中是一个多边形，求周长应把图中的多边形分成各个矩形求解或把多边形变为整体一个 矩形求解即可.【解答】 解：如图：矩形的长为 24mm, AB+CD+GH+EF4=24. GD=HE=4矩形的周长为 24+GD+HE+20+24+16+4=96mm.故答案为：96.FE DC12 某学校建了一个

19、无盖的长方体水箱，现在用一个半径为r 的圆形砂轮打磨内壁和箱底，则砂轮磨不到的部分的面积为为 12r2- 3 冗伞.【考点】面积及等积变换.【分析】首先理解题意，求出（1）的面积，根据砂轮磨不到的部分的面积为12 个图（1）的面积,计算即可得出答案.【解答】解：如图，连接 OA、0C,贝 U 0A 丄 AB OCXBC, OA=OCvZABC=90,四边形 OABC 是正方形，且 OA=r,图形（1）的面积是 r?r -冗彳，砂轮磨不到的部分的面积为 12 （r?r- +冗2） =12r2-3n?.13.a伙丫中有两个锐角和一个钝角，其数值已经给出，在计算 春（a+p+Y的值时，有三位同学 分

20、别算出了 23 24 25这三个不同的结果，其中只有一个是正确的答案，贝Ua+P+Y=345 【考点】角的计算.【分析】 分别计算 15X23=345, 15X24=360, 15X25=375,则 345、360、375三个数值其中 一个是a、B、丫三个角的和，由于三角中，有两个锐角，一个钝角，根据锐角和钝角的定义知，a+p+Y V360,所以 345是正确的.【解答】解：V a、P丫中有两个锐角和一个钝角，10 / 1612 / 16 OVaV90OVBb，bc，解这两个不等式,即可求得 a 与 c 的比值关系，联立求得 的取值范围.a【解答】解：a+b+c=0,a0，cv017.已知 a

21、+b+c=0, abc,若/ BOC 在 ABC 夕卜, 如下图： b=-a-c,且 a0,cv0a b c- a - cva,即卩 2a- c 解得-2,a将 b=- a- c 代入 bc,得a - cc, 即卩 av-2c解得v-，-2v v -故答案为：-2v v-.a 18.计算器上有一个倒数键 冋，能求出输入的不为零的数的倒数（注：有时需先按网词或师键, 才能实现此功能，下面不再说明）.例如，输入 2,按下键，则得 0.5.现在计算器上输入某数， 再依下列顺序按键： 在显示屏上的结果是-0.75,则原来输入的某数是.【考点】计算器一有理数；倒数.【分析】设原来输入的数为 a,根据题意

22、列出方程 .-仁-0.75,解之可得答案.a-1【解答】解：设原来输入的数为 a,根据题意，得：=-仁-0.75,解得：a=5,经检验：a=5 是分式方程的解，原来输入的某数是 5,故答案为：5.19.有 A、 B、 C 三种不同型号的电池，它们的价格各不相同.有一笔钱可买A 型 4 只，B 型 18 只，C型 16 只；或 A 型 2 只，B 型 15 只，C 型 24 只；或 A 型 6 只，B 型 12 只，C 型 20 只.如果将这笔钱 全部用来购买 C 型号的电池，则能买 48 只.【考点】三元一次方程组的应用.【分析】先设买一只 A 型的价格是 x 元，买一只 B 型的价格是 y

23、元，买一只 C 型的价格是 z 元，能买 C 型W 只根据题意列出方程组，求出方程组的解即可.【解答】解：设买一只 A 型的价格是 x 元，买一只 B 型的价格是 y 元，买一只 C 型的价格是 z 元，能13 / 1617 / 16买 C 型 W 只,4x4-18y+16z=z根据题意得：* 2x+15y+24z=Wz,6x+12y+20z=Wzx=2z解得：*4 代入 4x+18y+16z=Wz 得：I尸沪W=48.故答案为：48.20.如图，已知五边形 ABCDE 中，/ ABC=/ AED=90, AB=CD=AE=BDE=2 贝 U 五边形 ABCDB 的面积 为 4.【考点】全等三角形的判定与性质.【分析】可延长 DE 至 F,使 EF=BC 可得 AB3AAEF,连 AC, AD, AF,可将五边形 ABCDE 的面积 转化为两个 ADF 的面积，进而求出结论.【解答】解：延长 DE 至 F,使 EF=BC 连 AC, AD, AF, AB=CD=AE=BCDE,ZABC=Z AED=90,由题中条件可得 RtAABC RtAAEF, ACDAFD,SABCDE=2SADF=2X_17?DF?AE=2X2X2=4.故答