函数对称性、周期性和奇偶性的规律总结大全

1、函数对称性、周期性和奇偶性规律同一函数的周期性、对称性问题 (即函数自身)1、 周期性：对于函数 y = f (x)，如果存在一个不为零的常数T,使得当x取定义域内的每一个值时，都有f (x T) = f (x)都成立，那么就把函数 y = f (x)叫做周期函数，不为零的常数T叫做这个函数的周期。如果所有的周期中存在着一个最小的正数，就把这个最小的正数叫做最小正周期。2、对称性定义(略)，请用图形来理解。3、对称性：我们知道：偶函数关于 y (即x=0)轴对称，偶函数有关系式f ( x) = f (x)奇函数关于(0，0)对称，奇函数有关系式 f (x) ：； f (_x) =0上述关系式是

2、否可以进行拓展？答案是肯定的探讨：(1)函数y = f (x)关于x = a对称：= f(a亠x) = f (a - x)f (a x) = f(a-x)也可以写成 f(x) = f (2a - x)或 f(-x) = f (2a x)简证：设点(x_ 丫勺)在y = f (x)上，通过f (x) = f (2a - x)可知，丫勺=f (石)=f (2 a -石)，即点(2a - yt)也在y = f (x)上，而点(Xt, y!)与点(2 a - Xt, yt)关于x=a对称。得证。(a+x)+(bx) a+b 若写成：f(a亠x) = f(b-x)，函数y = f (x)关于直线x对称2

3、 2(2) 函数 y = f (x)关于点(a,b)对称二 f (a x) f (a - x) = 2b上述关系也可以写成f (2a x)f ( -x) = 2b或f (2a - x) f (x) =2b简证：设点(X1 , yj 在 y = f (x)上，即 yi 二 f(X1)，通过 f (2a - X) f (x)二 2b 可知，f (2a - xt) f (xt) = 2b ， 所以， 所以点(2a - xt ,2b - yt)也在 y = f (x)上，而点(2a - xt,2b - yt)与(xt , yt)关于(a, b)对称。得证。a + b c 若写成：f (a x) - f

4、 (b x) = c，函数y = f (x)关于点(，)对称2 2(3) 函数y = f (x)关于点y =b对称：假设函数关于y =b对称，即关于任一个 x值，都有两个 y值与其对应，显然这不符合函数的定义，故函数自身不可能关于y=b对称。但在曲线c(x,y)=0，则 、 . 2 2有可能会出现关于 y =b对称，比如圆c(x,y) = x y - 4 =0它会关于y=o对称。4、周期性：(1)函数y二f (x)满足如下关系系，则 f (x)的周期为 2Tf (x +T) = -f (x) Bf (x T)1f (x)或 f (x T)二1f (x)T1 亠 f(x)T1f(x)、f(x )

5、或f (x )(等式右边加负号亦成立)21 一 f (x)21 + f (x)(2 )函数 y = f (x)满足 f (a 亠 x) = f (a x)且 f (b 亠 x) = f (b x),则可推出 f (x) = f (2a x) = f b (2a - x _b) = fb -(2a - x _b) = fx 2(b - a)即可以得到y = f(x)的周期为2(b-a)，即可以得到“如果函数在定义域内关于垂直于x轴两条直线对称，则函数一定是周期函数”(3)如果奇函数满足f (xT) _ - f (x)则可以推出其周期是2T，且可以推出对称轴为Tx=+2kT (k乏z)，根据f(x

6、) = f(x+2T)可以找出其对称中心为 (kT ,O)(kz)(以2上 T =0)如果偶函数满足f (x T ) - _ f (x)则亦可以推出周期是2T，且可以推出对称中心为T(2kT,0)(k三z)，根据f ( x) = f (x 2T )可以推出对称轴为x = T 2kT ( k z)(以2上 T -0)(4)如果奇函数y = f (x)满足f (T +x) = f (T x)( T式0 )，则函数y = f (x)是以4T为周 期的周期性函数。如果偶函数y二f(X)满足f (T x f (T -x)( T = 0)，则函数y二f (x)是以2T为周期的周期性函数。定理3:若函数f

7、x在R上满足f(a亠x)=fa-x ，且f(b亠x)=fb-x (其中a Hb )，则函数y=f(x )以2(ab为周期.定理4:若函数f x在R上满足f (a x)=_f ax，且f(b，x) = _f bx (其中 a工b)，则函数y = f (x )以2(a - b为周期.定理5:若函数f x在R上满足f(a亠x)= f a - x，且f(b亠x)- - f b - x (其中a = b )， 则函数y=f x以4a-b为周期.二、两个函数的图象对称性1、y = f (x)与y = - f (x)关于x轴对称。换种说法：y =f(x)与y = g(x)若满足f (x) = -g(x)，即

8、它们关于y = 0对称。2、y = f (x)与y = f (x)关于丫轴对称。换种说法：y = f (x)与y = g (x)若满足f (x) = g (x)，即它们关于x = 0对称。3、y二f (x)与y二f (2a x)关于直线x = a对称。换种说法：y = f (x)与y = g (x)若满足f (x) = g (2a - x)，即它们关于x = a对称。4、y =f(x)与y = 2a f(x)关于直线y = a对称。换种说法：y =f(x)与y = g(x)若满足f(x)：:；g(x) =2a，即它们关于y = a对称5、 y = f (x)与 y = 2b _ f (2a _

9、 x)关于点(a,b)对称。换种说法：y = f (x)与y =g(x)若满足f (x) g (2a _ x) =2b，即它们关于点(a,b)对称 a亠b6、y = f (a _ x)与y = (x _ b)关于直线x对称。27、函数的轴对称：定理1：如果函数y = f x满足f a f b _ x，则函数y二f X的图象关于直线x = a b对2称推论1 ：如果函数y = f x满足fax = fa_x ，则函数y = f x的图象关于直线 x = a对称推论2 :如果函数y = f x满足f x = f x，则函数y = f x的图象关于直线x = 0 ( y轴)对称.特别地，推论2就是偶

10、函数的定义和性质.它是上述定理1的简化.8 函数的点对称:定理2 :如果函数 y = f x满足fia：xLf a-x =2b，则函数y = f x的图象关于点 a, b对称.推论3 :如果函数y = f x满足fa-xj'fax = 0，则函数y = f x的图象关于点 a,0对称.推论4 :如果函数y = f x满足f x f - x = 0，则函数y = f x的图象关于原点 0,0对称.特别地，推论4就是奇函数的定义和性质.它是上述定理2的简化.三、 总规律：定义在R上的函数y = f x，在对称性、周期性和奇偶性这三条性质中，只要有两条存在，则第三条 一定存在。四、试题1 已

11、知定义为 R的函数f x满足f -= -f x 4 ，且函数f x在区间2,= 上单调递增.如果x1 ： 2 ： x2，且 x1 x24，则 f x1 - f x2 的值(A ).A.恒小于0 B.恒大于0 C.可能为0 D.可正可负.分析：f -= -f x 4形似周期函数f x = f x 4，但事实上不是，不过我们可以取特殊值代入，通过适当描点作出它的图象来了解其性质.或者，先用x_2代替x，使f _x - _f x 4变形为f 2_x=f x 2 .它的特征就是推论3.因此图象关于点 2,0对称.f x在区间2,； 上单调递增，在 区间 _ ：,2上也单调递增.我们可以把该函数想象成是

12、奇函数向右平移了两个单位- 2 : x2 ：4 - Xj，且函数在 2,； 上单调递增，所以f X2： f 4 Xi ，又由 f ； x = f x 4 ，有 f (4 - Xr ) = f L Xr - 4 丨-f Xr - 44 - - fXr，f Xi f X2 f Xif 4 一 Xi = f Xi - f Xi=0 .选 A.当然，如果已经作出大致图象后，用特殊值代人也可猜想出答案为A.2：在R上定义的函数 f(x)是偶函数，且 f(x)=f(2_x).若f (x)在区间1,2上是减函数，则 f (x) ( B )A.在区间-2, -1上是增函数，在区间3,4上是减函数B.在区间_2

13、, _1上是增函数，在区间3, 4上是减函数C.在区间_2, _1|上是减函数，在区间3, 4卩,4 上是增函数D.在区间_2, _1 -|上是减函数，在区间3, 4卩,4 上是增函数分析：由f (x)二f (2 -x)可知f (x)图象关于x =1对称，即推论1的应用.又因为f (x)为偶函数图象关于x = 0对称，可得到f (x)为周期函 数且最小正周期为2,结合f (x)在区间1,2上是减函数，可得如右f (x)草图.故选B3.定义在R上的函数f (x)既是奇函数，又是周期函数,T是它的一个正周期.若将方程f (x) = 0在闭区间-T,T 上的根的个数记为n，_则n可能为(D过适当描点

14、作出它的图象来了解其性质.或者，先用x_2代替x，使f _x - _f x 4变形为过适当描点作出它的图象来了解其性质.或者，先用x_2代替x，使f _x - _f x 4变形为分析：TTTTf (T)二 f (-T) = 0，f ()() = f (T)二 f ()，2222B.1C.3D.5A.0=0，贝U n可能为5，选D.过适当描点作出它的图象来了解其性质.或者，先用x_2代替x，使f _x - _f x 4变形为过适当描点作出它的图象来了解其性质.或者，先用x_2代替x，使f _x - _f x 4变形为4已知函数f X的图象关于直线X =2和X =4都对称，且当0乞X乞i时，f X

15、 = x .求f i9.5的值.分析：由推论1可知，f X的图象关于直线X = 2对称，即f 2 x i；= f 2 _ x ,同样，f x满足f 4 x二f 4 _ x，现由上述的定理 3知f x是以4为周期的函数.f 19.5 f 443.5 f 3.5 f 4_0.5 J - f - 0.5，同时还知 f x 是偶函数，所以f - 0.5 二 f |0.5 二 0.5 .分析：由已知f xjuf 398-x 二 f 2158-x 二 f 3214 _ x 二 f x 1056f x 1760 二f x 704= f x 352又有 f x = f 398-xf 2158 - x ;=f

16、3214-x = f x T056f |2158 - 1056 x = f 1102=f 1102 - x -1056= f 46 - x ，5. f X i = f 398 _x i= f 2158 _x ；= f 3214 _x，则 f 0 ， f 1 ，f 2 ，,， f 999 中最多有(B)个不同的值.A.165B.177C.183D.199又f ( x)的图像关于直线 x = 23对称,图像关于直线x =199对称，故这些值可以在6:已知f1 +xX =1 -3xf2 xILfn X ，则1 A.71 B.7C.-D.3分析：由1 -3x3x -1f2 X 二x -1f3x 二 f

17、 x .于是f (x)有周期352,于是:f 0 , f 1，f 999 能在f 0 , f 1，f 351 /中找到.故这些值可以在 :f 23，f 24 ，f 351 ?中找到.又f(x)的f 23 , f 24，f 199 1中找到.共有177个.选B.f (x)为迭代周期函数，故f3n X二f X ， f2004 X = f x ，f2004-2二 f选A.7：函数f(x)在R上有定义，且满足 f (x)是偶函数，且f 0= 2005 , g x = f x - 1是奇函数，则 f 2005 的值为 .解：g ； -x = f ； x _1 = _g x = _ f x 1 ,f ；

18、x 1 = _ f x 1 ,令 y = x 1 ,则f - y = - fy2= 即有 f X、f x_2 =0，令 a = f x，则 an an = 0，其中 a。= 2005 ，2005- nn2005 - 20052005 -ia! =0， a. i +()I， f (2005 )= 82005 = i +(-i ) j=0.或有 f x;=-f x-2，得 f 200520032001 ;=-f 1999=f i 1= 0 .18 设函数 f (x)( x 三 R)为奇函数，f (1), f (x 2 f (x) f (2),则 f (5) = ( c )25A . 0B . 1C

19、.D . 52分析：答案为B。先令f (1) = f (-1+2) =f (-1) +f (2) =1/2，根据奇函数的定义可求得f (-1) =-1/2，所以，f (2) =1，f (5) =f ( 3) +f ( 2) =f (1) +f (2) +f (2) =5/2，所以，答案为 c。9.设f( x)是定义在R上以6为周期的函数，f( x)在(0,3)内单调递减，且y=f (x)的图象关于直线 x=3对称，则下面正确的结论是(B )(A) f1.5: f 3.5:f 6.5；(B) f 3.5:f 1.5: f 6.5；(C) f6.5: f 3.5: f1.5 ；(D) f 3.5:

20、f 6.5:f 1.5分析：答案为B。做这种带周期性、单调性的试题，通常的做法是将f (x)设成正弦或余弦函数，具体到本题，可将f (x)设成正弦函数或余弦函数，令其周期为6,通过平移使其满足在(0,3 )内单调递减，根据图像，即可求出，答案为B。10 设函数f(x)与g (x)的定义域是x E R x式±1，函数f (x)是一个偶函数，g (x)是一个奇函数，且1f ( x) - g (x)，则 f ( x)等于(C)x -1A.B.22xx2 -1C.-1D.2x_1分析：答案为C.本题是考察函数奇偶性的判定，并不难，根据奇偶性的定义，即可得岀答案为C111 :已知函数f(x)在

21、(一1，1)上有定义，f( )= 1,当且仅当 0<x<1时f(x)<0,且对任 意x、y( 1,1)都有x y(2)f(x)在(1，1)上单调递减f(x)+f(y)=f( 1 - xy )，试证明:(1)f(x)为奇函数;x十y证明：(1)由 f(x)+f(y)=f( ; xy 河令 x=y=0，得 f(0)=0,令 y= x,得 f(x)+f( - x)=f( x 二)=f(o)=o. .f(x)= f( x). /.f(x)为奇函数.1 x先证f(x)在(0,1)上单调递减.令 0<X1<X2<1,则 f(X2) f(xi)=f(x2)+f( xi)

22、= f(X2 -Xi1 - x1 x211X2 X1OVX1VX2V1, .X2 X1>0,1 X1X2>01 X2X1>0,11又(X2 X1) (1 X2X1)=(X2 1)(X1+1)<0 ,(I ) 求 f(丄),21f (一)；4X2 X1x2 - X1.X2 x1<1 X2X1,二 0< 订賦 <1,由题意知 X _XiX2 )<0，即f(x2)vf(x1). .f(x)在(0，1)上为减函数，又f(x)为奇函数且f(0)=0/.f(x)在(1， 1)上为减函数.12.已知函数y= f (X)是定义在R上的周期函数，周期T=5,函数y

23、 = f (x)( J 叩)是奇函数又知y= f (x)在0,1上是一次函数，在1,4上是二次函数，且在x=2时函数取得最小值 _5.证明：f.f(4) =0 ；求y = f (x), X三1,4的解析式；求 y二f(X)在4,9上的解析式.解：Tf (X)是以5为周期的周期函数，.f =f (4 -5) = f (1)，又t y = f (x)( _1乞x乞1)是奇函数，.f (1) = -f ( _1) = -f(4)，. f (1) f (4) = 0当时，由题意可设 f (x) =a(x 2)2 _5 (a>0)，由 f -f (4) =0 得 a(1 -2) ) = f ( x

24、i ) f ( x 2 )，且 f(1)= a>0. -5 - a(4 - 2)2 -5=0，二 a = 2，. 2f (x) =2( x -2)_5(1 乞x 乞4)丁 y = f (x)( -1 巴x 三1)是奇函数，.f (0) -0，又知 y = f (x)在0,1上是一次函数，.可设f (x) = kx(0 乞 x 乞1)，而 f (1) =2(1 _2)2 _5 - _3，.k - 2，.当 0 乞 x < 1 时，f (x)=-3x，从而当-1 X : 0 时，f (x) - _f ( x) - _3x，故-1X1 时，f (x)= -3x，.当 4 二 X 二6 时

25、，有 _1 乞 x _5 <1，. 0.当 6 :：: x _9 时，1 :：:x 一5 _4，. f (x) = f (x -5) =2( X -5) -2 2 -5 = 2( X -7) 2 -5+15,4 兰x 兰6.f(X)二2、2(x7) -5,6cx 兰9113.设f ( x)是定义在R上的偶函数，其图象关于直线xx 1， x 2 0 ，都有f ( x 1 + x211(n)证明f ( x )是周期函数;(山)记a n = f (2)，求 a2n11(1 )解：因为对 x 1， x 2 0， 1，都有 f(X1 + x2) = f ( x 1 ) f (X 2)所以XXXXf

26、 (x) =f () =： f() f (_) _o,x 0,12 22 2f (1 f (- - f(-) f(-) =f (-)'2 2 2 2 2111f () = f ()=244f(丄)f (b “f d)2444f (1)= a> 0,1f (一)211二 a2, f ()4(II)证明：依题设y= f (x)关于直线x = 1对称,故 f (x) = f (1 + 1 x ),即 f (x) = f (2x), x R又由f ( x )是偶函数知f ( x) = f ( x), x Rf ( x) = f (2 x) , x R,将上式中一 x以x代换，得f (x)

27、 = f (x + 2),xR这表明f(x)是R上的周期函数,且2是它的一个周期1111f ()-f (n)-f -(n -1)22n2n2n11=f () f( n-1)=2n2n1 11 1-f () f (一).f () -f ()2n2 n2 n2n(山)解：由(I )知 f(x)0, x0, 111()2n2n二 af ( x )的一个周期是221) =f ( 1,因此an=a2n2n1函数对称性与周期性几个重要结论赏析湖南周友良黄爱民【大中小】【关闭】对称性和周期性是函数的两个重要性质，下面总结这两个性质的几个重要结论及运用它们解决抽象型函数的有关习题。一、几个重要的结论（一）函数

28、图象本身的对称性（自身对称）1、 函数 尸血） 满足（T为常数）的充要条件是 厂血） 的图象关于直 线：一对称。2、 函数满足（T为常数）的充要条件是的图象关于直线一！对称。3、 函数满足的充要条件是图象关于直线S + x） + - x） a + b4、曲线匚 H关于直线二对称曲线为1二-.。5、 曲线_ I.'. ."I - 11关于直线II对称曲线为一 I ' ； I -。6、 曲线.I.', ."i - 11 关于直线 .- - - 11 对称曲线为.'/I -。7、曲线 /(v)=0 关于点 PW 对称曲线为二、试试看，练练笔f(X)

29、二 2X +_!1、 定义在实数集上的奇函数恒满足则 /Q备 20) =。2、 已知函数 y二/to满足他)+了(2 -) = 0,则y二)图象关于对称。3、 函数:, 沧-1) 与函数:, 心) 的图象关于关于 对称。4、 设函数 y=fW 的定义域为R，且满足 /.，则 U 的图象关于 对称。5、 设函数 y=fM 的定义域为 R，且满足 .:-.'，则】 的图象关于对称。 y=JW 图象关于对称。6、 设.-：' 的定义域为R，且对任意L匸，有 -，则“- 图象关于对称，关于对称。7、 已知函数对一切实数x满足 /(2-x) = /(4+z) ，且方程 /W=o 有5个实

30、根，则这5个实根之和为()A、5 B、10 C、15 D、188、 设函数的定义域为R，则下列命题中，若是偶函数，则“ / : 3图象关于y轴对称；若 尸弘+2) 是偶函数，则 y=fW 图象关于直线对称；若，则函数图象关于直线】 对称；与y 二了(2-x) 图象关于直线 x = 2对称，其中正确命题序号为 。9、函数定义域为R，且恒满足 .-：门和：二，当时 一 ，求解析式。10、已知偶函数 尸巾) 定义域为 R,且恒满足 /(x+2) = /(2-i) ，若方程 心0 在I ' - I上只有三个实根，且一个根是4，求方程在区间丨'-I中的根.附参考答案：小I ：丨'

31、 ： L' : y 轴即.'-II-： y 轴.-(x-8A)- 2 <x <8 + 2, eZ)2-(x-8i) + 2+ 2 <x<8/: + eZ)22：_ :方程的根为 -6厂4厂2,024,6810 共9个根抽象函数的对称性与周期性一、抽象函数的对称性。性质1、若函数y = f(x)关于直线x = a轴对称，则以下三式成立且等价：(1) f(a + x) = f(a x)。(2) f(2a x) = f(x)。(3) f(2a + x) = f( x)。性质2、若函数y = f(x)关于点(a,0)中心对称，则以下三式成立且等价：(1) f(a

32、 + x) = f(a x)。(2) f(2a x) = f(x)。( 3 ) f(2a + x) = f( x) 。注： y=f(x) 为偶函数是性质1 当 a=0 时的特例， f(x) =f(x) 。y=f(x) 为奇函数是性质 2 当 a=0 时的特例， f(x) =-f(x) 。二、复合函数的奇偶性。性质 1 、复数函数 y= fg(x) 为偶函数，则 fg( x) = fg(x)。复合函数 y=fg(x) 为奇函数，则 fg( x) = fg(x)。性质2、复合函数 y = f(x + a)为偶函数，则 f(x + a) = f( x + a);复合函数y = f(x + a)为奇函

33、数，则f( x + a) = f(a + x)。性质3、复合函数y = f(x + a)为偶函数，则y = f(x)关于直线x = a轴对称。 复合函数y = f(x + a)为奇函数，则y = f(x)关于点(a,0)中心对称。三、函数的周期性。性质、若 a 是非零常数，若对于函数 y= f(x) 定义域内的任一变量 x 点，有下 列条件之一成立，则函数 y=f(x) 是周期函数，且 2|a| 是它的一个周期。 f(x + a) = f(x a) ， f(x + a) =- f(x), f(x + a) = 1/f(x), f(x + a) = 1/f(x)。四、函数的对称性与周期性。性质1、若函数y = f(x)同时关于直线x = a与x