具有随机寿命的一类期权定价和Black-Scholes公式的推广

1、华中师范大学硕士学位论文具有随机寿命的一类期权定价和Black-Scholes公式的推广姓名：梅雨申请学位级别：硕士专业：应用数学指导教师：何穗20070527硕士学位论文中文摘要年，两位伟大的金融理论家与实务家和发表了他们的著名论文“期权定价与公司债务”（），给出了欧式期权定价的显式表达式，即著名的公式。这是现代金融数学的一项具有里程碑意义的突破性成果。从此，金融数学的研究得到了蓬勃的发展，取得了非常丰硕的成果。特别是模型，不仅在理论研究上出现了一大批成果，而且应用于金融市场，受到了广泛的欢迎。本文在随机寿命的理论基础上，对具有随机寿命的一类期权定价模型进行了全面系统的研究。文中在假设合约被

2、终止的风险为非系统的风险情况下，应用无套利资本资产定价、风险中性估值原理及公式，研究了标的资产服从连续扩散过程具有随机寿命的欧式看涨期权的定价，包括具有随机寿命的两值期权定价及欧式幂期权的定价，得到相应的定价公式。关键词：公式；随机寿命；两值期权；欧式幂期权；定价硕士学位论文，”，：；硕士学位论文，华中师范大学学位论文原创性声明和使用授权说明原创性声明本人郑重声明：所呈交的学位论文，是本人在导师指导下，独立进行研究工作所取得的研究成果。除文中已经标明引用的内容外，本论文不包含任何其他个人或集体已经发表或撰写过的研究成果。对本文的研究做出贡献的个人和集体，均已在文中以明确方式标明。本声明的法律结

3、果由本人承担。作者签名：糟丽日期：砷年岁学位论文版权使用授权书月切日本学位论文作者完全了解学校有关保留、使用学位论文的规定，即：学校有权保留并向国家有关部门或机构送交论文的复印件和电子版，允许论文被查阅和借阅。本人授权华中师范大学可以将本学位论文的全部或部分内容编入有关数据库进行检索，可以采用影印、缩印或扫描等复制手段保存和汇编本学位论文。同时授权中国科学技术信息研究所将本学位论文收录到中国学位论文全文数据库，并通过网络向社会公众提供信息服务。作者签名：殉瑰日期：砷年月：日导师签名：（协竺本人已经认真阅读“（高校学位论文全文数据库发布章程”，刚意将本人的学位论文提交“岳校学位论文全文数据库”中

4、全文发布，并可按“章程”中的规定享受相关丰义旖蜘重迨塞逞銮卮溢卮！旦圭生；旦二生；旦：！：筮血！作者签名：辫和日飙四年月目导师签名日期轴尹扬“硕士学位论文引言金融数学研究的历史与现状近年来，金融数学（也称数学金融学或数理金融）得到蓬勃发展，出现了一大批多领域的成果。雍炯明、刘道白（【】）指出：数学金融学是运用数学工具来定量研究金融问题的一门科学，其主要内容有：市场的描述以及一些基本性质的讨论、资产（包括各种金融衍生证券）的定价、投资一消费效益的最优化等等。金融数学的历史最早可追溯到年，法国学者在这一年发表了他的博士论文投机理论，“这宣告了数学金融的诞生”（【】）。年，（）发表了题为“资产组合选

5、择的均值方差理论”（）的论文，它将投资组合的价格看作是随机变量，以其均值衡量收益，以其方差衡量风险，其主要思想是：给定风险水平使得期望收益最大，或者给定期望收益水平使得风险最小，即为一个带约束的最优化问题。（）（）幂（【】）（）提出了著名的“资本资产定价模型”（，简称为），即在市场均衡状态下，证券组合的期望收益率是系数的线性函数。年，两位伟大的金融理论家与实务家和（【】）发表了他们的著名论文“期权定价与公司债务”（），给出了欧式期权定价的显式表达式，即著名的公式。这是现代金融数学的一项具有里程碑意义的突破性成果。不久，（）减弱了该理论所依赖的条件，使其更符合实际。年，（）提出了比资本资产定价模

6、型更具一般性的套利定价理论（，简称为）。和（】）于年首先提出无套利定价的鞅方法。年，和（【】）建立了二叉树模型。（【】）提出无套利定价的均衡方法。年，和（】）证明了套利机会的缺失等价于风险中性概率分布的存在性。彭实戈和（【】）于年发现了一般非线性倒向随机微分方程的研究方法，他们的理论在一般未定权益的定价理论中有着非常重要的应用。对于远期、期货、期权、互换等金融工具，由于其交易价格衍生于其标的资产硕士学位论文￥的价格（商品价格、汇率、股票价格、股价指数等），故统称为金融衍生证券。金融衍生证券即可用来套期保值和避免风险，也用来做高风险、高收益的投资，因此受到广泛的欢迎。世纪年代，全世界金融衍生证券

7、市场每年的交易量达万亿美元。金融衍生证券是一种关于某种标的资产的双边合约，合约的价值取决于这种标的资产的价格及其变化。按照合约买方的权利与义务的不同，衍生证券可分为远期类和期权类（）。如果合约的买方只有执行合约的义务，则为远期类，如远期合约、期货合约、互换：如果合约的买方有执行合约的权利而无义务，则为期权类，如期权合约、利率上限与下限、互换期权。金融衍生证券及相关概念的详细介绍可参见文献（）。期权是一类非常重要的金融衍生证券，期权的买方有权在将来的某一约定时间或某一约定时间段内以约定的价格（称为执行价格）购买或出售某种约定的标的资产。如果是购买标的资产，则为看涨期权：如果是出卖标的资产，则为看

8、跌期权。如果只能在期权到期时执行期权，则为欧式期权；如果可以在到期之前任意时刻执行，则为美式期权。股票期权就是以股票为标的资产的期权，这是最早出现的期权。年美国芝加哥创建了第一个用上市股票进行看涨期权交易的集中市场，随后。美国股票交易所、太平洋股票交易所及费城股票交易所纷纷效仿，年开始了看跌期权的交易，短短几年，期权市场发展非常迅猛。在期权定价公式发表后不久，期权定价公式被变成了计算机程序，交易者只需键入标的资产价格、标的资产价格的波动率、货币利率、期权到期日等几个变量就可计算出期权的价格。在模型中，对市场的基本假设为：交易连续进行；不存在套利机会；借贷利率相同为常数，且无借贷限制；所有证券无

9、限可分；市场无摩擦，也就是无交易费用和税收，且无卖空限制；标的资产价格服从几何布朗运动。要得到期权定价的显示解和期权的套期保值策略，首先要利用随机积分来构造无套利市场模型（【】），由此得到期权的无套利价格所满足的偏微分方程，解此偏微分方程即得期权定价的公式（【】）。由此可见，随机分析理论在期权定价乃至金融数学中起着非常重要的作用，正如的名著（】）序言中所说：“把默顿推向拜伦式显赫的杠杆就是维纳和伊藤的连续概率的数学工具。曾是复杂的近似一下子变成了漂亮且简单的真理”（【】）。期权定价理论经过几十年的发展，在以下几方面取得了丰硕的成果：硕士学位论文（）期权定价模型的修正及迸一步研究。这方面的研究主

10、要表现在以下几个方面：对模型作实证研究与理论研究，从理论与实际两方面取得了进一步成果，并仍然被一些研究者作深入的研究。对模型进行修正，有考虑红利支付的；有考虑交易费用的；有考虑随机无风险利率，或随机瞬时波动率口的；有考虑标的资产为各种不同类型的资产，如期货期权，外汇期权，实物期权，利率未定权益等；甚至有以天气温度为标的的气象衍生期权（）。（）离散时间模型的研究。（）和（）独立的提出了两状态期权定价模型。年，和（【】）提出了二叉树期权定价模型，随后，有关文献考虑了含交易费用的二又树期权定价模型和三叉树期权定价模型。对于一般离散模型，又研究有限状态和无限状态。还有一批学者如，等研究了离散时间金融模

11、型到连续时间模型的收敛问题，（）美式期权及奇异期权定价理论的研究由于美式期券可在到期时刻前的任意对刻执行，所以其价格必然与最优执行价格联系在一起。于年提出并研究了美式期权的基本特征（【】）。，等对美式期权及其最优停时、美式期权价格的逼近等方面进行了深入的研究。对美式看涨期权，和确定了其定价公式，并且我们可以证明：提前执行不付红利的美式看涨期权绝不是最佳选择，即在标的资产不支付红利是美式看涨期权与欧式看涨期权的价格相同。比欧式期权和美式期权盈亏状态更复杂的衍生证券称为奇异期权（【】）（）或新型期权（【】），主要有打包期权（）、复合期权、任选期权（）、障碍期权（）、亚式期权（）、俄式期权（）、以（

12、色列）式期权（）等。（四）标的资产服从非几何布朗运动时的期权定价理论研究。这一方面的研究主要有：，考虑标的资产价格在服从几何布朗运动的基础上存在异常变动跳跃。考虑标的资产价格服从过程、半鞅、适应随机过程、一般过程等。考虑标的资产价格服从分数次布朗运动的期权定价，这是目前国际上研究的热点。硕士学位论文（五）各种衍生证券定价理论的研究。利用期权定价理论来研究各种衍生证券定价问题还有不少结果，如债券、认股权证、可转化债券等的定价。（六）期权定价的数学理论和数学方法的研究。由彭实戈等提出的倒向随机微分方程理论是期权定价中起非常重要作用的一种数学理论，为不完全市场定价的理论奠定了重要基础。而在最优资产组

13、合和无套利定价中，随机最优控制（或动态随机规划）是十分必要的工具。另外，蒙特卡罗模拟法及偏微分方程的有限差分法也是常用的数学方法。二选题依据一般来说，欧式未定权益定价问题都有确定的到期日，但未定权益合约可能在到期日之前由于种种原因被取消或终止。例如上市公司破产或兼并，其股票期权虽未到期，但应立即执行：上市公司养老金合约，持有合约的职工如果在到期之前死亡，根据合约，公司不支付任何数额，那么死者什么也得不到；经理股票期权，合约规定，只有持有者是发行股票公司职工才有效，当职工离开公司时期权立即终止。那么这些可能被提前终止的未定权益与到期日才执行的未定权益相比，因此就具有随机寿命，所以研究这些具有随机

14、寿命未定权益的定价问题具有重大意义。三拟研究的主要内容本文拟研究的主要内容有：具有随机寿命的一类期权定价及公式的推广。由一般欧式看涨期权定价公式：（，）；船（盔）一”“”（：）么！尘！坠生囊推广到具有随机寿命的欧式看涨期权定价公式：硕士学位论文（，）（啊，口，）一（：，口，）“。（，丁一；，盯）巍（巾¨。万专批宾中：（，爿，占）“。赢批，一，一吾妻）盯、五，；，。具有随机寿命的两值期权定价。结论：）具有随机寿命的不支付红利的资产或无价值的两值看涨期权，在定价日时刻的无套利价格为：一，。（州（）吐一量（盯厉）（一）具有随机寿命的不支付红利的资产或无价值两值看跌期权，在定价日时刻的无套利

15、价格一为：，“（叫）具有随机寿命的不支付红利的现金或无价值的两值看涨期权，在定价日时刻的无套利价格毋为：一一”。肌（：）具有随机寿命的不支付红利的现金或无价值两值看跌期权，在定价目时刻的无套利价格为：；（肌（一：）坦髻幽硕士学住论文具有随机寿命的欧式幂期权定价。结论：）具有随机寿命的欧式看涨幂期权在当前时刻的无套利价格为：（，）（，“（）（）（，）其中（，）是欧式看涨幂期权在当前时刻珀无套利价格）具有随机寿命的欧式看跌幂期权在当前时的无套利价格为：（置，）（，“，）（）一（）】（，）其中（墨，）是欧式看跌幂期权在当前时刻的无套利价格硕士学位论文具有随机寿命的未定权益定价模型一般来说，欧式未定权

16、益定价问题都有确定的到期日，但未定权益合约可能在到期日之前由于种种原因被取消或终止。例如上市公司破产或兼并，其股票期权虽未到期，但应立即执行；上市公司养老金合约，持由合约的职工如果在到期之前死亡，根据合约，公司不支付任何数额，那么死者什么也得不到；经理股票期权，合约规定，只有持有者是发行股票公司职工才有效，当职工离开公司时期权立即终止。那么这些可能被提前终止的未定权益与到期日才执行的未定权益相比，因此就具有随机寿命，所以研究这些具有随机寿命未定权益的定价问题具有重大意义。模型设未定权益的标的资产是股票，股价遵循下面的几何布朗运动：；）“一预期收益率；鼋一红利率：一波动率；一标准布朗运动；（，）

17、一未定权益价值；一无风险利率：一到期时间；中（）一时刻的未定权益合约价值；（卜跳跃频率（合约在时刻被终止频率）；（），）一时刻合约的损益（直接损益）；（），）一（），）一合约在时刻被终止的损益；假设未定权益被终止的风险是非系统佳风险，这意味着当构造投资组合时，在消除几何布朗运动带来的不确定性后，应获得无风险利率。具有随机寿命的未定权益定价公式定理具有随机寿命的未定权益，在定价日时刻的无套利价格（，），应满足下面的随机偏微分方程：硕士学位论文丢拥吒（一口）甄一，（）降（），）一（），）（），）垂（）（）证明：构造投资组合兀，选取，使在，内无风险，兀，一兀，一，兀，。墨。，（）（），）一（），）出

18、兀，一；置。一，鹕；，（）置（），）一（），）出（）由于（），），利用肋从式：。鸩一（詈冶孑（一口）詈卜。代入到（），玟，。整理得：三盯孑（，一日）面以（、）（），）二（），）一。根据公式，（）的解为：邢矽吖札口寸卜“，）商彳瓠七坷州“叫即”争）卟”）赢胃南咖具有随机寿命的欧式看涨期权定价公式定理考虑欧式看涨期权，期权合约可能被提前终止。此时，设随机寿命服从参数为的指数分布，则（），）（）一工，），西（丁）（）一，）口由结论得到具有随机寿命的欧式看涨期权的定价公式（对一般欧式看涨期权定价公式的推广）即：（，）一：（）（，）；，）（）（，；，盯）一（啊，口，轨）一石（，如）（，；，口，盯）哪川：

19、叫届护咖咖（，）“。厂：意尹咖咖其中：吩；，厅：，；言（量）证明略。岛叠；（具有随机寿命的两值期权定价两值期权的定义两值期权是合同条款中变化而产生的新型期权，具有不连续收益的特点，其收益与期权为实值状态时的盈利程度无关，即期权在到期日出于实值状态时，其收益为事先约定的固定数额；若处于虚值状态，其收益为零。以两值看涨期权为例，它分为两种类型：现金或无价值两值看涨期权和资产或无价值两值看涨期权。前者指的是当到期日股票价格低于执行价格时该期权一文不值；而当股票价格超过执行价格时该期权支付一个固定数额。后者指若标的股票价格在期权到期时超过执行价格，则支付等于股票价格本身的款项；若标的股票价格在期权到期

20、时低于执行价格时，则该期权一文不值。如图：现金或无价值两值期权资产或无价值两值期权具有随机寿命的不支付红利的两值期权满足的偏微分方程及其定价公式模型基本假设（）股票价格服从几何运动：譬；岸出盯啦，其中，盯分别为股票期望收益率、股票收益率方差：（。是定义在完全概率空间（，）上的标准布朗运动，用只，）表示由布朗运动乙硕士学位论文产生的盯（）关于完备的盯一域流。（）无风险利率，是常数。（）股票不支付股息。（）不支付交易费和税收。（）不存在套利机会。设市场是风险中性世界的，则股票的价格可以表示成：。（一委仃：弘】，此时，墨的折现妄，即，；墨；（争”不再是鞅，为了对期权以至一股的衍生证券来定价，现在求出

21、某种等价概率测度。，使得是鞅。令耽吼瓴一瓤爵幽），这里假定砰出。定义新的概率测度满足箬耳，定理，彬一乙是尸下的标准布朗运动，即置对是鞅。假设两值期权的到期日为丁，定价日时的价格为（，），其中（，）关于二阶可导连续，关于一阶可导。期权在到期日之前被终止的时刻“服从负指数分布，其参数为（常数），该负指数分布与（）相互独立；期权在被终止时刻“时损益为七岱），）一（），），其中（），）为期权被终止时的直接损益。这里假设期权被终止的风险为非系统性风险。定理具有随机寿命的不支付红利的资产或无价值两值看涨期权在定价日时刻的无套利价格（，），应满足下面的随机偏微分方程：丢虿，。一一）。、硒。（）啦叫嗡（堋卜硕

22、士学位论文￥证明：构造投资组合。一，选取，使在，疵内无风险。一，一，出。一；墨（），）一（），）出，；一。墨崛一魍。，出一【（），）（），）】出（）由于（），），利用，；公式：蜘（詈甲等郴雏，。豁出把上式代入（）式得：（嚣圭幽豢詈一卜（甜詈一厶。）出，（）一卜（），）一（，）寥（）由于等式右端是无风险的，因此等式左端随机项的系数必为，即选取筹，把它代入（），并消去出得到：箜三仃姿，一）：、定理具有随机寿命的不支付红利的资产或无价值的两值看涨期权，在定价日时刻的无套利价格为：置“（“（；）一堕：（：垒竖！硕士学位论文证明：此时，对两值看涨期权而言，提前终止的直接损益为尼（，）对偏微分方程（）应用

23、公式应得：。（，如鹏）丽葡一南方、一一，高瓤小÷夸叫叫州氐舞瓤巾÷妒）厉声咖令一譬（）岬焉嘶贼。南岛叫矽。一蝌酚一掣，风再令一善二，则：仃、，一令三西，。端孝挚。和哆挚一则。丽妒）。一扣厉酚厉“劂。一编仁÷“咖（）（盯以（，）（）。堕上型型。矗硕士学位论文￥同理，可以得到具有随机寿命的不支付红利的资产或无价值两值看跌期权的定价模型的解析解为：一一，叫叫（一。）定理具有随机寿命的不支付红利的现金或无价值两值看涨期权，在定价日时刻的无套利价格（，），应满足下面的随机偏微分方程：以三一）一。以、）嚣葛（嫦值）证明：略。定理具有随机寿命的不支付红利的现金或无价值的两值看涨

24、期权，在定价目时刻的无套利价格为：一“）（如）一（）（）。一证明：此时，同样有（，）；，由公式有扣如忡。南一知令一譬（）切西嘶账。丽（，）如叫。蝌击觑再令，；一兰：班则：。群矿挚。屯一（”“（：）如堕：（：之堕！同理，可以得到具有随机寿命的不支付红利的现金或无价值两值看跌期权的定价模型的解析解为：一”ד（一：）具有随机寿命的欧式幂期权定价欧式幂期权的定义幂期权是一种重要的新型期权，它和一般期权的区别是：在时刻，看涨幂期权的价值为（，）而不是“（墨一，），这里品是时刻的标的股票的价格，是看涨幂期权的执行价格，咒是正整数。欧式幂期权的定价欧式幂期权的定价模型基本假设：（）股票价格服从几

25、何运动：譬，其中，分别为股票期望收益率、股票收益率方差；（乙）。是定义】在完全概率空间（，）上的标准布朗运动，用，）表示由布朗运动乙产生的盯（）关于完备的盯一域流。（）没有交易费用或税收。（）在衍生证券的有效期内没有红利支付。（）不存在无风险套利机会。（）证券交易是连续的。（）无风险利率是常数且对所有到期日都相同。设市场是风险中性世界的，则股票的价格可以表示成：墨：（三：），】，此时，置的折现豆，即，；一”；”卜争“不再是鞍，为了对期权以至一般的衍生证券来定价，现在求出某种等价概率测度，使硕士学位论文得妄是鞅。令惮正吼瓴知咖），测度蹦足参棚，自定理这里假定酽出。定义新的概率彬一是下的标准布朗运

26、动，即对尸是鞅。根据风险中性估值原理，看涨幂期权的价值是这个值以无风险利率贴现的结果：屹“叫（霹一，）】定理在当前，时刻看涨幂期权的价值为：圪。卜¨扣卜（。（柚）。西）一（：）其中堕：上窆竖！拧堕：羔型呻盯厉证明：由风险中性估值原理。”“（霹一，）】”仃叫（霹一彳陋，）坩。仁“（霹一；，）；【一，（？”（）口印一“）一搴一）莩，瓤叫”扣扣剧“匆硕士学位论文令一。孚¨）。，打，则。掘。桴忙州驯扎矿。，一蝌赤呶再令，：一兰：銎生则盯丁一匆！攀爷一附也嘶叫卜籼选挚。煮跏扣扣如峒咖一煮，（，）尹咖再令。厉，则：学仁，：；：（）池）廿扣呻一）（：厉）一叫（：）。卜卜扣矿卜）（。一）口

27、）一般叫）（：）其中盔竺釜：巨二坚兰咖竺型尘竖仃一，。墨尘：。一仃一。硕士学位论文对于到期日为的看跌幂期权，其价值是（；，），根据相同的方法能够得到看跌幂期权的定价公式。定理在当前时刻看跌幂期权的价值圪为：彤。卜卜小曲（一，一）盯）（）（一：）证明略。具有随机寿命的欧式幂期权的定价模型考虑欧式未定权益亭，当前时刻为，亭的随机寿命为取值予，）上的一适应的停时，且的概率分布函数为（），概率密度函数为，（石）。假设期权被终的风险属于非系统风险。引理具有随机寿命的欧式未定权益亭一（品）在时的无套利价格为：矿（）”（墨）限】，（）幽一（）矿”“。（）足理到期日为，敲定价格为的欧式看涨幂期权在时的损益为垂

28、（）（口一），则具有随机寿命的欧式看涨幂期权在当前时刻的无套利价格为：（墨，）？（，比一），（“）幽【一（）】（，）。特别地，若随机寿命的密度函数为：，仁）“扛“，工，则有：（，）一（，）“订岍屹（，）硕士学位论文证明：由引理知，具有随机寿命的欧式看涨幂期权在当前时刻的无套利价格为：（墨，）卜垂（品）陋】，（“）咖一，（）【“（品）互（一）玎巾“（；也）“（）吲故（墨，）；，（，），（“）一，（）（，丁一）特别地，若随机寿命服从指数分布，即，）；“，工则有：（墨，）啊叫。（，）玎巾。也（。，丁一）定理到期日为，敲定价格为的欧式看跌幂期权在时的损益为巾（氐）（一），则具有随机寿命的欧式看跌幂期权在当前时刻的无套利价格为：（。，）巧（，“一妒）妇【（）】匕（，）。特别地，若随机寿命的密度函数为：，（），（。，石，则有：（墨，）口（。，“一（）（，）讦明：利用引理同理可得。硕士学住论文总结本文在随机寿命的理论基础上，对具有随机寿命的一类期权定价模型进行了全面系统的研究。文中在假设合约被终止的风险为非系统的风险情况下，应用无套利资本资产定价、风险中性估值原理及公式，研究了标的资产服从连续扩散过程具有随机寿命的欧式看涨期权的定价，包括具有随机寿命的两值期权定价及欧式幂期权的定价，