实对称矩阵的对角化课件

1、实对称矩阵的对角化 4.3 4.3 实对称矩阵的实对称矩阵的对角化对角化实对称矩阵的对角化设维实向量设维实向量称称实数实数1122,nnababab1 122nna ba ba b 为向量为向量与与的的内积内积，记作，记作 T如：如： 。求求 T,1513,3221TT . ，或或实对称矩阵的对角化（1 1）对称性：）对称性：（2 2）线性性：）线性性：（3 3）正定性：）正定性： , , ,kk ,0, 0 ,0. 当且仅当当且仅当时时1111,rrrrkkkk 0,00T00, 实对称矩阵的对角化 22212,naaa 令令为维向量为维向量的的长度长度（模模或或范数范数）. .长度为的向量

2、称为长度为的向量称为单位向量单位向量. .当当时，时，0 由非零向量由非零向量得到单位向量得到单位向量是是的单位向量的单位向量. .01 01 称为把称为把单位化单位化或或标准化标准化. .的过程的过程实对称矩阵的对角化（1 1）非负性：）非负性：（2 2）齐次性：）齐次性：（3 3）三角不等式：）三角不等式：0;00且且；;kk;定理：（定理：（CauchyCauchy不等式）不等式） 任意两个任意两个n n维实向量维实向量 ,恒有恒有 ,等号成立当且仅当等号成立当且仅当 ,线性相关线性相关.实对称矩阵的对角化当当，称，称与与正交正交，记作，记作 ,0 若若 ，则，则与任何向量都正交与任何向

3、量都正交. .0 若向量组中的向量两两正交，且均为非零向量，则若向量组中的向量两两正交，且均为非零向量，则这个向量组称为这个向量组称为正交向量组正交向量组，简称，简称正交组正交组. . 中的初始单位向量组中的初始单位向量组 两两正交。两两正交。 nRn ,21实对称矩阵的对角化正交向量组必为线性无关组正交向量组必为线性无关组. .例例1：已知三元向量已知三元向量, 121 , 111 21TT 试求一个非零向量试求一个非零向量 ， 3 321, 使得使得 为正交向量组为正交向量组.由由单位向量单位向量组成的正交组称为组成的正交组称为标准正交组标准正交组. .实对称矩阵的对角化1 1）正交化）正

4、交化令令11 1222111, 121r121112211,rrrrrrrr 将一组线性无关的向量组化为将一组线性无关的向量组化为标准正交标准正交向量组向量组.2 2）标准化）标准化112212111, , , ,rrr 令令实对称矩阵的对角化例例2：用施密特正交化方法将如下向量组用施密特正交化方法将如下向量组, 011 1T TT 111 , 101 32 化为标准正交向量组化为标准正交向量组.练习：设线性无关的向量组，练习：设线性无关的向量组，.)8 , 6 , 0 , 2(,) 1, 1, 3 , 3(,) 1 , 1 , 1 , 1 (321TTT 将将321, 正交化：正交化：实对称

5、矩阵的对角化四、正交矩阵及其性质：四、正交矩阵及其性质：. Q :为为正正交交矩矩阵阵则则称称，满满足足阶阶实实矩矩阵阵设设定定义义IQQQnT :性质性质也也是是正正交交矩矩阵阵则则是是正正交交矩矩阵阵、若若可可逆逆且且则则是是正正交交矩矩阵阵若若或或则则是是正正交交矩矩阵阵若若PQQPQQQQQQQT,. 3,. 21|1|,. 11 实对称矩阵的对角化 的列（或行）向量组是标准正交组的列（或行）向量组是标准正交组. .判断下列矩阵是否为正交矩阵：判断下列矩阵是否为正交矩阵：1112310121112 11132612036111326 184999814999447999 实对称矩阵的对

6、角化实对称矩阵的实对称矩阵的特征值特征值为为实实数数. .实对称矩阵的实对称矩阵的不同特征值不同特征值对应的对应的特征向量特征向量 正交正交. .若阶实对称阵若阶实对称阵的重的重特征值对应的特征值对应的 线性线性无关的特征向量恰有个无关的特征向量恰有个(不证不证)iti it推论：推论：实对称矩阵的特征向量是实对称矩阵的特征向量是实实向量向量.实对称矩阵的对角化. :1为为对对角角矩矩阵阵，使使正正交交矩矩阵阵为为实实对对称称矩矩阵阵，则则存存在在设设定定理理AQQQA .,)(.,就就有有如如下下定定理理阵阵可可构构成成一一个个正正交交矩矩得得一一个个单单位位正正交交向向量量组组这这样样就就

7、可可再再把把这这个个向向量量组组单单位位化化仍仍正正交交化化成成的的向向量量组组各各特特征征值值的的特特征征向向量量组组交交化化后后正正特特征征值值对对应应的的特特征征向向量量重重根根如如果果每每个个必必与与对对角角矩矩阵阵相相似似对对于于实实对对称称矩矩阵阵而而言言实对称矩阵的对角化例例3：设实对称矩阵：设实对称矩阵求正交矩阵求正交矩阵Q，使，使Q-1AQ为对角矩阵为对角矩阵. 542452222A（1） 320222021A（2）实对称矩阵的对角化例例4 4：设三阶对称矩阵设三阶对称矩阵A A的特征值为的特征值为1,2,3;1,2,3;矩阵矩阵A A的属于特征值的属于特征值1 1，2 2的特征向量分别为的特征向量分别为: