向量组的线性相关性课件

1、0 ,: 22112121 mmmmkkkkkkA 使使全全为为零零的的数数如如果果存存在在不不给给定定向向量量组组注意注意.0 ,0, 1.2211121成立才有时则只有当线性无关若nnnn., 2. 性无关就是线性相关不是线对于任一向量组定义定义4 4则称向量组则称向量组 是线性相关的，否则称它线性无关是线性相关的，否则称它线性无关A., 0, 0, 3.线性无关则说若线性相关则说若时向量组只包含一个向量.4. 组是线性相关的包含零向量的任何向量. ,. 5量共面向量相关的几何意义是三是两向量共线；三个向义量对应成比例，几何意充要条件是两向量的分它线性相关的量组对于含有两个向量的向证明证明

2、 充分性充分性 设设 中有一个向量（比如中有一个向量（比如 ）能由其余向量线性表示能由其余向量线性表示.maaa,21ma即有即有112211 mmma 向量组向量组 （当（当 时）线性相关时）线性相关的的充分必要条件充分必要条件是是 中至少有一个向中至少有一个向量可由其余量可由其余 个向量线性表示个向量线性表示m ,212 mm ,211 m(补充)命题命题1(1(补充补充) )故故 01112211 mmma 因因 这这 个数不全为个数不全为0， 1,121 m m故故 线性相关线性相关.m ,21必要性必要性设设 线性相关，线性相关，m ,21则有不全为则有不全为0的数使的数使 ,21m

3、kkk. 02211 mmkkk 因因 中至少有一个不为中至少有一个不为0，mkkk,21不妨设则有不妨设则有, 01 k.13132121mmkkkkkk 即即 能由其余向量线性表示能由其余向量线性表示.1 证毕证毕.)(; ),( , 2121mARmAmm 必必要要条条件件是是向向量量组组线线性性无无关关的的充充分分于于向向量量个个数数的的秩秩小小矩矩阵阵条条件件是是它它所所构构成成的的线线性性相相关关的的充充分分必必要要向向量量组组 定理定理4 4下面举例说明定理的应用下面举例说明定理的应用.).,( .0A , 0 212211mmmAxxxxA其中有非零解即方程组齐次线性线性相关的

4、充要条件是向量组命题命题2:维向量组下列n TnTTeee1 , 0 , 0,0 , 1 , 0,0 , 0 , 121 ，.维单位坐标向量组称为n解解.),( 21阶单位矩阵是的矩阵维单位坐标向量组构成neeeEnn.)(01 nERE ，知知由由.4)(向量组是线性无关的知此，故由定理等于向量组中向量个数即ER例例4 (P88) .相关性维单位坐标向量的线性讨论n， 742520111321 .21321的的线线性性相相关关性性，及及，试试讨讨论论向向量量组组 解解.2, 21321321即可得出结论即可得出结论）的秩，利用定理）的秩，利用定理，及（及（），可同时看出矩阵（可同时看出矩阵（

5、成行阶梯形矩阵成行阶梯形矩阵），施行初等行变换变），施行初等行变换变，对矩阵（对矩阵（ 已知已知例例5(P88)分析分析 751421201),(321 2325rr ， 000220201., 2),(,2),(2121321321线线性性无无关关向向量量组组线线性性相相关关；，向向量量组组可可见见 RR 75122020112rr 1312rrrr 550220201. , , 321133322211321线性无关试证线性无关已知向量组 bbbbbb例例6 60 ,332211321 bxbxbxxxx使使设有设有, 0)()( 133322211 xxx）（即即, 0)()() 332

6、221131 xxxxxx（亦亦即即线性无关，故有线性无关，故有，因因321 . 0 , 0 , 0 322131xxxxxx证：证：02110011101 列列式式由由于于此此方方程程组组的的系系数数行行., 0 321321线线性性无无关关向向量量组组，所所以以故故方方程程组组只只有有零零解解bbbxxx 请同学课后学习P89证法二和证法三。. , ,. ,: , (1) 1121也线性无关向量组则线性无关量组若向反言之也线性相关向量组则线性相关：向量组若ABBAmmm定理定理5 (P90)5 (P90)维向量一定线性相关。个特别有，时一定线性相关于向量个数小当维数维向量组成的向量组，个）

7、（nnmnnm1. 2.,:,: (3)121且表示式是唯一的线性表示必能由向量组向量则线性相关组而向量线性无关设向量组AbbBAmm), 2 , 1(, 12121mjaaaabaaajrrjjjjrjjjj.,.,.2121性相关也线则向量组线性相关反言之，若向量组关也线性无：则向量组线性无关：若向量组添上一个分量后得向量即ABbbbBAbmmjj（补充）(4) (补充)设.2, 11)()()(4,. 1)()(),(),( 1 111线性相关知向量组根据定理因此，从而有，则根据定理线性相关若向量组，有记）（BmARBRmARAARBRaaaBaaAmmm证明证明.:1 关关的任何部分组

8、都线性无的任何部分组都线性无向量组线性无关，则它向量组线性无关，则它反之，若一个反之，若一个线性相关线性相关含有零向量的向量组必含有零向量的向量组必特别地，特别地，量组线性相关量组线性相关相关的部分组，则该向相关的部分组，则该向一个向量组若有线性一个向量组若有线性）可推广为）可推广为结论（结论（说明说明.,)(,.)(),(,2 212121线性相关个向量故则若，有构成矩阵维向量个）（mmmnmmmARmnnARAnm.)(1)(. 1)(;)().()(),(),() 3(2121mBRmBRmmBRBmARABRARbBAmm，即有所以组线性相关，有因组线性无关，有因有记.),( ,)()

9、(21一线性表示，且表示式唯组能由向量有唯一解，即向量知方程组由AbbxmBRARm列），只有因但从而有，则线性无关若向量组有，）记（mBmBRmBRmARABRARbbBAmmrmmr()(.)()(,).()(),(),(4 1)1(1.B)(线性无关线性无关，因此向量组，因此向量组故故mBR .,14 结论也成立个分量维）而言的，若增加多即维数增加）是对增加一个分量（结论（说明说明设向量组321,aaa线性相关，向量组432,aaa线性无关，证明：线性表示；，不能由）（线性表示；，能由）（321432121aaaaaaa证：性无关矛盾；线，线性表示，这与，能由线性表示，因此，能由）知由（

10、线性表示，能由）用反证法。设（线性表示；，能由）知（由定理线性相关，线性无关，而，）知，（线性无关，由定理，）因（ 1 235 151432324321321432132132432aaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaa例7 (P90)P107 -4(2) -5 -91. 线性相关与线性无关的概念；线性相关与线性无关的概念；（重点重点）2. 线性相关与线性无关的判定方法：定义，线性相关与线性无关的判定方法：定义，两个定理两个定理（难点难点）. , )3(0 )2( 0 )1(:两两式式不不一一定定同同时时成成立立或或者者线线性性相相关关的的充充要要条条件件是是，两两个个向向量量；线线性性无无关关的的充充要要条条件件是是一一个个向向量量；线线性性相相关关的的充