技术数学1-5王家德课件

1、技术数学1-5王家德技术数学1-5王家德 函 数 初等函数 数列的极限 函数的极限 第一章第一章 函数与极限与连续函数与极限与连续 无穷小与无穷大 极限的运算法则 无穷小阶的比较 极限存在准则 两个重要极限 函数的连续性与间断点多元函数的极限与连续 技术数学1-5王家德多元连续二元函数二元函数的极限二元函数的连续第四节第四节 多元函数的极限与连续多元函数的极限与连续 技术数学1-5王家德1.实例分析实例分析 例例 1 1 设设矩矩形形的的边边长长分分别别 x和和 y，则则矩矩形形的的面面积积 S为为 xyS . 在在此此，当当 x和和 y每每取取定定一一组组值值时时，就就有有一一确确定定的的面

2、面积积值值S即即S依依赖赖于于 x和和 y的的变变化化而而变变化化 例例 2 2 具具有有一一定定质质量量的的理理想想气气体体，其其体体积积为为 V，压压强强为为 P，热热力力学学温温度度 T 之之间间具具有有下下面面依依赖赖关关系系VRTP （R是是常常数数）. 在在这这一一问问题题中中有有三三个个变变量量 P，V，T，当当 V 和和 T 每每取取定定为为一一组组值值时时，按按照照上上面面的的关关系系，就就有有一一确确定定的的压压强强 P 第一节第一节 多元函数的极限及连续性多元函数的极限及连续性一、多元函数一、多元函数技术数学1-5王家德 二元函数的定义二元函数的定义 定义定义 1 1 (

3、二元函数二元函数) 设有三个变量设有三个变量 , x y和和 , z如果如果当变量当变量 , x y在它们的变化范围在它们的变化范围 D中任意取定一对值时，中任意取定一对值时，变量变量 z 按照一定的对应规律都有惟一确定的值与它们按照一定的对应规律都有惟一确定的值与它们对应，则称对应，则称 z为变量为变量 , x y的二元函数，记为的二元函数，记为),(yxfz ，其中其中 x与与 y称为自变量，函数称为自变量，函数 z也叫因变量自变量也叫因变量自变量 x与与 y的变化范围的变化范围 D称为函数称为函数 z的定义域的定义域 区域的概念：由一条或几条光滑曲线所围成的具有连区域的概念：由一条或几条

4、光滑曲线所围成的具有连通性通性(如果一块部分平面内任意两点均可用完全属于此部如果一块部分平面内任意两点均可用完全属于此部分平面的折线连结起来， 这样的部分平面称为具有连通性分平面的折线连结起来， 这样的部分平面称为具有连通性)的部分平面，这样的部分平面称为区域围成区域的曲线的部分平面，这样的部分平面称为区域围成区域的曲线称为区域的边界，边界上的点称为边界点，包括边界在内称为区域的边界，边界上的点称为边界点，包括边界在内的区域称为闭域，不包括边界在内的区域称为开域的区域称为闭域，不包括边界在内的区域称为开域 技术数学1-5王家德如如果果一一个个区区域域D内内任任意意两两点点之之间间的的距距离离都

5、都不不超超过过某某一一常常数数M，则则称称D为为有有界界区区域域，否否则则称称 D为为无无界界区区域域 常常见见区区域域有有矩矩形形域域：dycbxa, 圆圆域域:).0()()(22020yyxx 圆圆域域22020)()( | ),(yyxxyx一一般般称称为为平平面面上上点点),(000yxP的的 邻邻域域， 而而称称不不包包含含点点 0P的的邻邻域域为为无无心心邻邻域域 二元函数的定义域通常是由平面上一条或几条光滑二元函数的定义域通常是由平面上一条或几条光滑曲线所围成平面区域曲线所围成平面区域 .二元函数定义域的求法与一元函二元函数定义域的求法与一元函数类似，就是找使函数有意义的自变量

6、的范围，其定义数类似，就是找使函数有意义的自变量的范围，其定义域的图形一般由平面曲线围成域的图形一般由平面曲线围成 技术数学1-5王家德例例 4 4 求求二二元元函函数数222yxaz的的定定义义域域 解解 由根式函数的定义容易知道，该函数的定义域由根式函数的定义容易知道，该函数的定义域为满足为满足222ayx的的, yx即定义域为即定义域为 222| ),(ayxyxD. 这里这里D在在xOy面上表示一个以原点为圆心，面上表示一个以原点为圆心，a 为半为半径的圆域它为有界闭区域（如下图所示）径的圆域它为有界闭区域（如下图所示）. O 2 2 2 a y x y x a a 技术数学1-5王家

7、德例例 5 5 求求二二元元函函数数)ln(yxz的的定定义义域域 解解 自变量自变量yx,所取的值必须满足不等式所取的值必须满足不等式0 yx, 即定义域为即定义域为 0| ),(yxyxD. 点集点集D在在xOy面上表示一个在直线上方的半平面面上表示一个在直线上方的半平面(不不包含边界包含边界0 yx)，如下图所示，此时如下图所示，此时 D 为无界开区域为无界开区域 O y x 技术数学1-5王家德例例 6 6 求求二二元元函函数数1)9ln(2222yxyxz的的定定义义域域 解解 这这个个函函数数是是由由)9ln(22yx 和和122 yx两两部部分分构构成成，所所以以要要使使函函数数

8、 z有有意意义义，yx,必必须须同同时时满满足足 , 01, 092222yxyx 即即9122yx,函函数数定定义义域域为为 .91 | ),(22yxyxD点点集集 D 在在xOy平平面面上上表表示示以以原原点点为为圆圆 心心，半半径径为为 3 的的圆圆与与以以原原点点为为 圆圆心心的的单单位位圆圆所所围围成成的的圆圆环环 域域(包包含含边边界界曲曲线线内内圆圆122 yx， 但但不不包包含含边边界界曲曲线线外外圆圆922 yx) (如如右右图图所所示示) x O 1 3 y 技术数学1-5王家德2.二元函数的几何表示二元函数的几何表示 把把自自变变量量yx,及及因因变变量量 z 当当作作

9、空空间间点点的的直直角角坐坐标标， 先先在在xOy平平面面内内作作出出函函数数),(yxfz 的的定定义义域域 D (如如下下图图)，再再过过 D 域域中中的的任任一一点点),(yxM作作垂垂直直于于xOy平平面面的的有有向向线线段段MP， 使使P点点的的竖竖坐坐标标为为与与),(yx对对应应的的函函数数值值 z 当当 M 点点在在D中中变变动动时时， 对对应应的的 P点点的的轨轨迹迹就就是是函函数数),(yxfz 的的几几何何图图形形，它它通通常常是是一一张张曲曲面面，而而其其定定义义域域 D就就是是此此曲曲面面在在 xOy平平面面上上的的投投影影 y x z O X Y M D P 技术数

10、学1-5王家德例例 7 7 作作二二元元函函数数yxz1的的图图形形 解解 二二元元函函数数yxz1的的图图形形是是空空间间一一平平面面，其其图图形形如如下下图图所所示示 x y z O z=1-x-y 技术数学1-5王家德例例 8 8 作作二二元元函函数数22yxz的的图图形形 解解 此此函函数数的的定定义义域域为为xOy面面上上任任意意点点且且 0z，即即曲曲面面上上的的点点都都在在xOy面面上上方方其其图图形形为为旋旋转转抛抛物物面面，如如下下图图所所示示 z 2 2 y x z x y O 技术数学1-5王家德例例 9 9 作二元函数作二元函数222yxRz)0(R的图形的图形 解解

11、此此二二元元函函数数的的定定义义域域为为222Ryx，即即 xOy坐坐标标面面上上的的以以O为为圆圆心心，R为为半半径径的的圆圆，且且Rz 0其其图图形形为为上上半半圆圆周周，如如下下图图所所示示 y x z R R R O 技术数学1-5王家德 1. 二元函数的极限二元函数的极限 定义定义 2 2 设二元函数设二元函数),(yxfz ， 如果当点如果当点 ),(yx以任以任意方式趋向点意方式趋向点),(00yx时，时，),(yxf总趋向于一个确定的常数总趋向于一个确定的常数A，那么就称，那么就称A是二元函数是二元函数),(yxf当当 ),(yx ),(00yx时的时的极限，记为极限，记为 A

12、yxfyxyx),(lim),(),(00或或Ayxfyyxx),(lim00. 同同一一元元函函数数的的极极限限一一样样， 二二元元函函数数的的极极限限也也有有类类似似的的四四则则运运算算法法则则 二、二元函数的极限与连续性二、二元函数的极限与连续性技术数学1-5王家德2 2. . 二二元元函函数数的的连连续续性性 定义定义 3 3 设函数设函数),(yxfz 在点在点),(000yxP的某邻域内的某邻域内有定义，如果有定义，如果 ),(),(lim0000yxfyxfyyxx 则称二元函数则称二元函数),(yxfz 在点在点),(000yxP处连续如果处连续如果),(yxf在区域在区域 D

13、 内的每一点都连续内的每一点都连续,则称则称),(yxf在区域在区域 D上连续上连续 若若令令yyyxxx00,，则则式式 ),(),(lim0000yxfyxfyyxx, 可可写写成成0),(),(lim000000yxfyyxxfyx. 即即 0lim00zyx. 技术数学1-5王家德这这里里z为为函函数数),(yxf在在点点),(00yx处处的的全全增增量量，即即 ),(),(0000yxfyyxxfz. 如果函数如果函数),(yxfz 在点在点0P),(00yx处不连续， 则称点处不连续， 则称点0P),(00yx为函数为函数),(yxf的不连续点或间断点的不连续点或间断点 同同一一元元函函数数一一样样， 二二元元连连续续函函数数的的和和、 差差、 积积、 商商(分分母母不不等等于于零零)及及复复合合函函数数仍仍是是连连续续函函数数 由由此此还还可可得得“多多元元初初等等函函数数在在其其定定义义域域内内连连续续” 技术数学1-5王家德思思考考题题 1. 将将二二元元函函数数与与一一元元函函数数的的极极限限、连连续续概概念念相相比比较较，说说明明二二者者