2012韶关一模理科数学

1、韶关一摸数学(理科)一、选择题（本大题共8小题，每小题5分，满分40分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1若集合是函数的定义域，是函数的定义域，则等于( ) A B C D 2在复平面内，复数对应的点位于（ ）A第一象限 B第二象限 C第三象限 D第四象限3下列命题正确的是（ ）A B BACC是的充分不必要条件 D若,则4为了在一条河上建一座桥，施工前在河两岸打上两个桥位桩（如图），要测算两点的距离，测量人员在岸边定出基线，测得，就可以计算出两点的距离为( )A B C D. 5已知等比数列中，各项都是正数，且成等差数列，则等于（ ） A B. C. D. 6执行如图的程序

2、框图，那么输出的值是（ ）开始否是输出结束A B C1 D27平面向量与的夹角为，则（ ） A B C D8.设函数的定义域为，若存在非零实数满足，均有，且，则称为上的高调函数如果定义域为的函数是奇函数，当时，且为上的高调函数，那么实数的取值范围是（ ） A B C D二填空题：本大题共7小题，每小题5分，满分30分（一）必做题：第9、10、11、12、13题为必做题，每道试题考生都必须作答9. 展开式中含项的系数为 . 10. 某班50名学生在一次百米测试中，成绩全部介于13秒与18秒之间，将测试结果分成五组：每一组；第二组，第五组右图是按上述分组方法得到的频率分布直方图若成绩大于或等于14

3、秒且小于16秒认为良好，则该班在这次百米测试中成绩良好的人数是_.ABCD11. 已知的椭圆的两个焦点，若椭圆上一点满足，则椭圆的离心率 12.如图是边长为的为正方形的对角线，将绕直线旋转一周后形成的几何体的体积等于 13在平面中的角的内角平分线分面积所成的比, 将这个结论类比到空间：在三棱锥中，平面平分二面角且与交于,则类比的结论为_（二）选做题：第14、15题为选做题，考生只能选做一题，两题全答的，只计算前一题的得分14（坐标系与参数方程选做题）（第15小题）极坐标系中，圆：，则圆心到直线的距离是 15（几何证明选讲选做题）已知圆的半径为，从圆外一点引切线和割线，圆心到的距离为，则切线的长

4、为 _.三、解答题： 本大题共6小题，共80分解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤16(本小题满分12分)已知函数的最小正周期为.（1）求的值；（2）求函数的单调递增区间及其图象的对称轴方程。17(本小题满分12分)为了解某班学生喜爱打篮球是否与性别有关，对本班50人进行了问卷调查得到了如下的列联表：喜爱打篮球不喜爱打篮球合计男生5女生10合计50已知在全部50人中随机抽取1人抽到喜爱打篮球的学生的概率为（1）请将上面的列联表补充完整(不用写计算过程)；（2）能否在犯错误的概率不超过0.005的前提下认为喜爱打篮球与性别有关？说明你的理由；（3）现从女生中抽取2人进一步调查，设其中喜爱打篮球

5、的女生人数为，求的分布列与期望.下面的临界值表供参考：0.150.100.050.0250.0100.0050.0012.0722.7063.8415.0246.6357.87910.828 (参考公式：，其中)ABCD 18(本小题满分14分)三棱柱的直观图及三视图（主视图和俯视图是正方形，左侧图是等腰直角三角形）如图，为的中点.（1）求证：平面；（2）求证：平面；（3）求二面角的正切值.19（本小题满分14分）已知函数（为常数，），且数列是首项为，公差为的等差数列. (1) 若，当时，求数列的前项和；（2）设，如果中的每一项恒小于它后面的项，求的取值范围.20(本小题满分14分)设抛物线的

6、方程为，为直线上任意一点，过点作抛物线的两条切线，切点分别为,.（1）当的坐标为时，求过三点的圆的方程，并判断直线与此圆的位置关系； （2）求证：直线恒过定点；（3）当变化时，试探究直线上是否存在点，使为直角三角形，若存在，有几个这样的点，若不存在，说明理由.21(本小题满分14分)已知函数（，是不同时为零的常数），其导函数为.（1）当时，若不等式对任意恒成立，求的取值范围；（2）求证：函数在内至少存在一个零点；（3）若函数为奇函数，且在处的切线垂直于直线，关于的方程在上有且只有一个实数根，求实数的取值范围.数学（理科）参考答案和评分标准一、选择题： 二、填空题：91， 10. ， 11. ，

7、 12. ， 13. ， 14. ，15. 三、解答题： 16(本小题满分12分)解：（1） 2分=, 3分因为最小正周期为,所以，解得, 4分所以, 5分所以. 6分（2）由， 可得， 8分所以,函数的单调递增区间为 9分由得.所以，图象的对称轴方程为. 12分17(本小题满分12分)解：(1) 列联表补充如下：-3分喜爱打篮球不喜爱打篮球合计男生20525女生101525合计302050（2）-5分在犯错误的概率不超过0.005的前提下，认为喜爱打篮球与性别有关.-6分（3）喜爱打篮球的女生人数的可能取值为.-7分其概率分别为, -10分故的分布列为:-11分的期望值为: -12分18解:

8、由三视图可知，几何体为直三棱柱，侧面为边长为2的正方形，底面是等腰直角三角形，分（1）连BC交于O，连接OD，在中，O，D分别是，AC的中点，ABCDO而平面，平面，平面.分（2）直三棱柱中，平面，平面， ，D为AC的中点， 平面，.分 又， 在正方形.分 由，又，9ABCDHE（3）解法一；提示：所求二面角与二面角C-D互余.12取BC中点H，有DH平面，过H作垂线，垂足为E，ACDOS所以二面角C-D的平面角是DEH. 12分，因为二面角A-D与二面角C-D互余，所以二面角A-D的正切值为；.14B解法二（补形）如图补成正方体，易得O1OS为二面角的平面角，.14解法三（空间向量法）以为原

9、点建系，易得设平面D的法向量由得令得.12又平面A的法向量设二面角A-D的平面角为所以.1419. (本小题满分1分)(1) 证：由题意，即， 1分. 2分 ，当时，. 3分， 4分，得 6分. 7分 (2) 解：由()知，要使对一切成立，即对一切成立. 8分，对一切恒成立，只需，10分单调递增，当时，. 12分，且， . 13分综上所述，存在实数满足条件. 14分20(本小题满分1分)解：(1)当的坐标为时，设过点的切线方程为，代入，整理得，令，解得，代入方程得，故得， 2分因为到的中点的距离为，从而过三点的圆的方程为 易知此圆与直线相切. 4分（2）证法一：设切点分别为,过抛物线上点的切线

10、方程为，代入，整理得 ，又因为，所以5分从而过抛物线上点的切线方程为即又切线过点，所以得 即同理可得过点的切线为，又切线过点，所以得 即6分即点，均满足即，故直线的方程为 7分又为直线上任意一点，故对任意成立，所以，从而直线恒过定点 .8分证法二：设过的抛物线的切线方程为，代入，消去，得 即：5分从而，此时，所以切点的坐标分别为，6分因为，所以的中点坐标为故直线的方程为，即.7分又为直线上任意一点，故对任意成立，所以，从而直线恒过定点 .8分证法三：由已知得，求导得，切点分别为,，故过点的切线斜率为，从而切线方程为即又切线过点，所以得 即同理可得过点的切线为，又切线过点，所以得 即6分即点，均

11、满足即，故直线的方程为 7分又为直线上任意一点，故对任意成立，所以，从而直线恒过定点 .8分（3）解法一：由（2）中两式知是方程的两实根，故有（*）将，代入上（*）式得， 9分当时，直线上任意一点均有，为直角三角形； 10分当时，不可能为直角三角形； 11分当时，. 因为，所以若，则，整理得，又因为，所以，因为方程有解的充要条件是.所以当时，有或，为直角三角形.13分综上所述，当时，直线上任意一点，使为直角三角形，当时，直线上存在两点，使为直角三角形；当或时，不是直角三角形.14分解法二：由（2）知，且是方程的两实根，即，从而，所以当时，即时，直线上任意一点均有，为直角三角形； 10分当时，即

12、时，与不垂直。因为，所以若，则，整理得，又因为，所以，因为方程有解的充要条件是.所以当时，有或，为直角三角形.13分综上所述，当时，直线上任意一点，使为直角三角形，当时，直线上存在两点，使为直角三角形；当或时，不是直角三角形.14分21(本小题满分1分)解析：（1）解：解：（1）当时，分依题意即恒成立，解得所以b的取值范围是分（2）证明：因为，解法一：当时，符合题意. 分当时，令，则，令， 当时，在内有零点；分当时，在内有零点.当时，在内至少有一个零点.综上可知，函数在内至少有一个零点. 分解法二：，.因为a，b不同时为零，所以，故结论成立.（3）因为为奇函数，所以，所以，.又在处的切线垂直于直线，所以，即.分1在，上是单调递增函数，在上是单调递减函数，由解得，法