讲实数的若干性质和应用-初奥数教材

1、第三讲实数的若干性质和应用实数是高等数学特别是微积分的重要基础.在初中代数中没有系统地 介绍实数理论，是因为它涉及到极限的概念.这一概念对中学生而言，有 一定难度但是，如果中学数学里没有实数的概念及其简单的运算知识， 中学数学也将无法继续学习下去了. 例如，即使是一元二次方程，只有有 理数的知识也是远远不够用的.因此，适当学习一些有关实数的基础知识， 以及运用这些知识解决有关问题的基本方法，不仅是为高等数学的学习打 基础，而且也是初等数学学习所不可缺少的.本讲主要介绍实数的一些基 本知识及其应用.形如：巴（nO）的数叫有理数，其中戲整数.这种定义可n用于解决许多问题，例如，不难证明：任何两个有

2、理数的和、差、积、商 还是有理数，或者说，有理数对加、减、乘、除（零不能做除数）是封闭的.性质1任何一个有理数都能写成有限小数（整数可以看作小数点后面 为零的小数）或循环小数的形式，反之亦然.证明循环2.61545454二2.6154是有理数分析要说明一个数是有理数，其关键要看它能否写成两个整数比的 形式.证设x = 2 6154 t 两边同乘以100得100z = 261 51 = 26154 54.-得99x=261.54-2.61=258.93，所以258939900既然梵能写成两个整数比的形式，从而也就证明了 261站是有理数.无限不循环小数称为无理数有理数对四则运算是封闭的，而无理数

3、与无理数的和、差、积、商不一定是无理数.例如，血为无理但 72-2=0是一个有理数；兀是无理数，筹=1是有数，理数，也就 是说，无理数对四则运算是不封闭的，但它有如下性质.性质2设a为有理数，b为无理数，则a+b，a-b是无理数；（2）当详0时，a*bt ?是无理数.b有理数和无理数统称为实数，即有限小数实数（小数）”无限牛数摩里数循坏小数不循环小数一无理数9 / 9在实数集内，没有最小的实数，也没有最大的实数任意两个实数， 可以比较大小.全体实数和数轴上的所有点是对应的. 在实数集内进 行加、减、乘、除（除数不为零）运算，其结果仍是实数（即实数对四则运 算的封闭性）.任一实数都可以开奇次方，

4、其结果仍是实数；只有当被开 方数为非负数时，才能开偶次方，其结果仍是实数.例2求证是有理数.分析要证明所给的数能表示成出Cm, ri为整数，详0）的形式，关键 n是要证明归J垒二勞是完全平方数（n-1） t ni证11-422.-25(n-l)T 唧-lo1 + 22-2X10 + 5 fn艸劇IO11-1 -1 皿 10n-l x IO1141 + 2Xx 10 + 5 99=1(10 ion+1 + 2 X IO11*1 -20 + 45)= 1(1q + 10X10k +25) =(1 俨+ 32所以13(VJ22-25 = 10n + 5因为?呼+T与鸥为整数，所以1;巧是有理数-例3

5、证明血是无理数.分析要证明一个实数为无限不循环小数是一件极难办到的事由于 有理数与无理数共同组成了实数集，且二者是矛盾的两个对立面，所以， 判定一个实数是无理数时，常常采用反证法.证用反证法.假设旋不是无理数，所以血必为有理数.设反二E 6小是互质的自然数）,两边平方有 qp2=2q3sffi所以p 一定是偶数设p=2m（m是自然数），代入得4托=2q2， q2 = 2ni,所以q也是偶数.p3 q均为偶数和p与q互质矛盾，所以忑不是有理 数，于是密贬是无理数.说明只要P是质数，血就一定是无理数，这个结论的证明并不 困难，请同学们自己完成.例4若ai+ba=a2+ba(其中a, a?, b,

6、b为有理数，a为无理数)，则 ai=a2, b=b，反之，亦成立.分析设法将等式变形，利用有理数不能等于无理数来证明.证 将原式变形为(bi-b)a=a2-ai.若b工b2,则a3 ai日因为次是无理数，而学二寻是有理数，尹盾.所以必有逬而 有町=禺.反之，显然成立.说明 本例的结论是一个常用的重要运算性质.例5与b是两个不相等的有理数，试判断实数狞是有理数还无理数，并说明理由.解假i殳鼎是艇数，设其机，即整理得a4-V3=Ab+A/3由例4知a Ab, 1=A, 即辺=阮这与已知社尹b矛盾.所以原假设是有理数错误，故 挣无喊说明本例并未给出确定结论，需要解题者自己发现正确的结论.解这祥的问题

7、时，可以先找到一个立足点，如本例以二殍 为b + V3有理 数作为立足点，以其作为推理的基础.例6已知a, b是两个任意有理数，且avb,求证：a与b之间存在 着无穷多个有理数(即有理数集具有稠密性).分析 只要构造出符合条件的有理数，题目即可被证明.证因为av b，所以2av a+bv 2b，所以alK2设珀学，衍显然是有理数因为a, b为有理数)因为衍乩 所以，同理可证设苹幻显悠也是有理数 依此类推，设砧二 咛，口为任意自然数.则有豕听也一务 b,且兀为有理数，所以在询b之间存在无穷多个有理数.说明 构造具有某种性质的一个数，或一个式子，以达到解题和证明 的目的，是经常运用的一种数学建模的

8、思想方法.例7已知a，b是两个任意有理数，且av b，问是否存在无理数a， 使得av a v b成立？解因为心忑-1山所以(42 - l)a (V2 - l)b,即72a (/2 - l)b + a 又因为ab =b +b -所以a + 72b-b72K(72-l)b+ab由，有72a(V2-l)b + aj2b, 所以 a+a b.2b + 血0 - b)2V2因为b, 畤是有理数，且畔 =0,所以b +呼龍是无理数我即.存在无理数a，使得aVaV b成立.例X己知数阳的小数部分是&求b4+12b3+37b2+6b-20的值.分析 因为无理数是无限不循环小数，所以不可能把一个无理数的小 数部分一位一位确定下来，这样涉及无理数小数部分的计算题，往往是先 估计它的整数部分（这是容易确定的），然后再寻求其小数部分的表示方 法.解 因为91416, BP3/14-3 1415926,亠屁.2.