抛物线及其标准方程

1、抛物线及其标准方程成都市航天中学 赵相彪一、教材分析（一）抛物线是继椭圆双曲经之后的第三种圆锥曲线，与前两者不同的是在初中已学过“二次函数的图象是抛物线”，在物理上也研究过“抛物线是抛体的运动轨迹”，这些足以说明抛物线在实际生活中应用的广泛性，在这一带里我们将更深入地研究抛物线的定义及其标准方程。（二）本节可通过类比的思想，由椭圆与双曲经的第二定义顺利得出抛物线及其焦点与准线的定义，接下来用同样的思想建立恰当坐标系求出抛物线的标准方程，一共有四种（开口向上、向下、向左或向右），在教学过程中应重视标准方程中的“P”，P的几何意义以及焦点坐标、标准方程与P的关系是本节的重点，学生应掌握如何根据标准

2、方程求P，焦点坐标与准线方程或根据三者求标准方程。（三）教学中应注意掌握以下两个方面的问题1、定义：定义是推导其标准方程，研究其性质的依据，可以说定义蕴含着抛物线的一切，不论是求点的轨迹的问题，求曲线的方程的问题，还是与抛物线有关的计算题、证明题、探索题都常以定义为思路的出发点，使问题得以简明清晰地解决，因此要很好地掌握定义适时地应用定义。2、标准方程：由于焦点在不同坐标轴上及开口方向不同，抛物线方程有四种：几种不同形式，其中焦点所在坐标轴的字母是方程中一次项的变量，开口方向定一次项系数的正负对抛物线来说，只有一个焦参数P，因此求其标准方程只需一个独立条件。（四）近两年高考中对抛物线及其标准方

3、程的考查主要体现在:1、考查求抛物线的准线方程（07广东理11）2、考查求抛物线标准方程（07广东文11）3、考查直线与抛物线的位置关系及最值问题（06山东理14）（山东07理13）（山东07文9）4、考查抛物线的定义的应用（07宁夏理6）（07全国卷I理11）5、考查抛物线方程的应用（辽宁06理20）抛物线及其标准方程（一）教学目标：1、掌握抛物线的定义、四种标准方程形式及其对应的焦点和准线。2、会用坐标法建立抛物线的方程，进一步掌握解析几何的坐标法思想。3、理解参数p的几何意义。4、提高学生分析、类比、自主探究、概括等方面的能力。教学重点：1、抛物线的定义、焦点、准线。2、抛物线的四种方程

4、形式以及p的意义。教学难点：1、运用坐标法建立抛物线的标准方程。2、抛物线定义及焦点、准线等知识的灵活运用。教学方法：启发引导，学法：类比、自主探究。教学过程（I）课题引入：我们知道，到一个定点的距离和到一条定直线的距离的比是常数e的点的轨迹：（1）当e（0，1）时，轨迹是椭圆；当e（1，+）时，轨迹是双曲线，那么当e=1时轨迹是什么曲线呢？（空格学生回答）MAF如图所示，L为黑板上的一条竖直直线，把一块三角板的一条直角边紧靠直线L，再把一条细绳的一端固定在三角板的另一条直角边的一点A，取绳长等于点A到直角顶点C的长（即点A到直线L的距离）并且把绳子的另一个端点固定在小黑板上的一点F，用粉笔头

5、将绳子绷紧，使点到粉笔头的一段绳子紧靠着三角板的A点所在直角边，然后将三角板沿着直线L上下滑动，粉笔头就在小黑板上描出了一条曲线。（1）让学生观察演示过程中，粉笔头M在运动过程中满足什么几何条件？（2）粉笔头M的运动轨迹是否为椭圆或一支双曲线为什么？通过学生对（1）（2）问题的讨论、归纳得出：（1）粉笔头M在运动过程中，满足的几何条件是到定点的距离和它到定直线L的距离相等，予|MF|=|MC|。（2）粉笔头M的轨迹既不是椭圆也不是双曲线，因为它不符合其定义，它是我们曾经研究过的抛物线，物理学中，抛物线被认为是抛体运动的轨迹，在数学中，抛物线是二次函数的图象。板书课题：“抛物线及其标准方程（1）

6、”。（II）讲授新课1、由学生给抛物线下定义定义：平面内与一个定点下和一条定直线L距离相等的点的轨迹叫做抛物线，点F是抛物线的焦点、直线L叫抛物线的准线（思考：若定点在定直线L上，轨迹是什么？）。2、我们初中已学过一元二次函数的图象是抛物线，今天定义的抛物线与初中已学的抛物线从字面上看不一致，它们之间一定有某种内在联系，你能找出这种内在联系吗？以y=x2为例，要求我们由y=x2入手推导出曲线上的动点到某定点和定直线的距离相等，而导出形如P（x，y）到定点F（x0，y0）的距离到定直线L的距离，通过学生动笔变形拼凑，教师巡视指导后，由学生板演并进行讲述：它表示平面上动点P（x，y）到定点的距离正

7、好等于它到直线的距离，符合抛物线的定义。3、标准方程（1）让学生回顾求曲线方程的步骤： （2）由于定点F到定直线L的距离是常数，可设为P（P>0）,要求学生自行建立适当坐标系求出抛物线的方程。（3）学生中可能出现的三种不同求法展示。解法一：以L为y轴，过点F垂直于L的直线为y轴，建立坐标系，则定点F（P，0），动点M（x，y），得方程：。解法二：以定点F为原点，过F作垂直于L 直线为x轴建立坐标系，则定点F（O，O）L的方程为x=-p，动点M（x，y），得方程：。解法三：取过焦点下且垂直于L的直线为x轴，x轴与L交于点K，以线段KF的垂直平分线y轴建立直角坐标，则F（），L：，设动点M（

8、x，y），则。M(x,y)OF.llFOFxyxyxy（4）通过学生讨论、归纳的得出：（a）以上方程中的形式最简单，2P的几何意义是焦点到准线距离的2倍，应该以它作为抛物线的一种标准方程。（b）抛物线的标准方程还有其它三种形式，由学生自学课本P129-130，并指出要得到另三种形式的标准方程应该怎样建立恰当的平面直角坐标系。（c）求抛物线标准方程的关键是确定形式，求出参数P。4、例题讲解（学生自行解答，教师巡视，让解答正确的学生板演，同时将巡视过程中发现的典型错在全班进行更正）。例1 （1）：已知抛物线的标准方程是，求它的焦点坐标和准线方程。（2）已知抛物线的焦点人材为F（O，-2），求它的标

9、准方程。例2：根据已知条件，写出抛物线的标准方程。（1）经过点（2，2）；（2）准线方程为；（3）焦点在直线x+y+1=0上。（III）课堂练习（学生板演）1、课本P132 3，4。2、在平面直角坐标系中，若抛物线上的点P到该抛物线的焦点的距离为6，则点P的横竖标x= 5 。（）课堂小结：1、抛物线的定义，四种标准方程的形式与P的几何意义。2、求抛物线的标准方程，由标准方程求准线方程、焦点坐标。3、运用坐标法求方程。4、抛物线定义的应用。（）作业：教科书：P133 1、2、3、4补：1、指出抛物线的焦点坐标、准线方程。解当a>0时，焦点坐标为。当a<0时，焦点坐标为。综上：当a0时

10、，抛物线x=ay2的的焦点坐标为（），准线方程为。（）备选例题1、若直线y=kx-2与抛物线y2=8x交A、B两点，且AB中点的横坐标为2，求它直线方程。分析（一）由直线与抛物线相交，利用韦达定理列出K的方程求解。解：设A（x1，y1）、B（x2，y2）则由 可得：直线与抛物线相交，k0且>0，k>-1，AB的中点坐标为2故所求直线方程为：y=2x-2分析（二）由于已知与直线斜率及中点坐标有关，用“作差法”求k。解：设A（x1，y1）、B(x2，y2)，则两式作差得： 2、平面上动点P到定点F（1，0）的距离比P到y轴的距离大1，求动点P的轨迹方程。解法：（定义法）动点P到定点F（

11、1，0）的距离比到y轴距离大1，由于F到y轴的距离为1，故当x<0时，直线y=0上的点适合条件；当x0时，原命题条价于点P到下（1，0）与到直线x=-1的距离相等，故点P在以F为焦点，x=-1为准线的抛物线上，其轨迹方程为y2=4x。故所求动点P的轨迹方程为y2= 4x (x0)0 (x<0)解法二直接 ：设P（X，Y），则有： Yy2=2x+2|x|y2= 4x (x0)0 (x<0)故P点的轨迹方程为y2=4x(x0)或y=0(x<0)（）随堂测试07全国理地11、抛物线y2=4x的焦点为F，准线为l，经过F且斜率为的直线与抛物线在x轴上方的部分交于点A，AKl，垂足为K，则AKF的面积为（C）A、4B、C、D、807江西文72、连接抛物线x2=4y的焦点F与点M（1，0）所得线段与抛物线交于点A，设点O为坐标原点，则三解形OMA的面积为（B）A、B、C、1+D、06全国理83、抛物线y=-x2上的点到直线4x+3y-8=0距离的最小值是（A）A、B、C、D、307广东理114、在平面直角系中，有一定点A（2，1），若线段OA的垂直平分线过抛物线y2=2px(p>0)的焦