正态总体样本标准差

1、正态总体样本标准差不是总体标准差的无偏估计量设是来自正态总体的一个样本，为样本均值，为样本方差。众所周知，对任何总体来说样本方差是总体方差的无偏估计两，正态总体更不是例外。但样本标准差却不是总体标准差的无偏估计量。证明：由于，若令，则的概率密度为 从而 另一方面，所以有，所以，样本标准差却不是总体标准差的无偏估计量。如果进行修正，则可以得到的无偏估计量，其中评注：1. 理论依据：正态总体样本的抽样分布，分布与分布的有关性质。2. 应用与推广：无论总体服从什么分布，修正的样本方差是总体方差的无偏估计量，但是样本方差不是总体标准差的无偏估计量。只有在正态总体的情况下才有确定性的修正方法，使得是总体

2、标准差的无偏估计量，对于非正态总体，情况极为复杂，一般不对其进行讨论。参考文献：茆诗松等，概率论与数理统计。本经：中国统计出版社，2000参数估计方法在捕鱼问题中的应用设湖中有鱼条，做上记号后放回湖中（记号不消失），一段时间后让湖中的鱼（做上记号的和没做记号的）混合均匀，再从湖中捕出鱼数s条 ,其中有t条标有记号。试根据这些信息，估计湖中鱼数的值。（1）根据概率的统计定义：湖中有记号的鱼的比例应是（概率），而在捕出的s条中有记号的鱼为t条，有记号的鱼的比例是（频率）。设想捕鱼是完全随机的，每条鱼被捕的机会都相等，于是根据用频率来近似概率的道理，便有 即 故（取最接近的整数）。（2）用矩估计法：

3、设捕出的s条鱼中，标有记号的鱼为，因为是超几何分布，而超几何分布的数学期望是。捕s条鱼得到有标记的鱼的总体平均数，而现在只捕一次，出现t条有标记的鱼，故由矩估计法，令总体一阶原点矩等于样本一阶原点矩，即，于是也得（取最接近的整数）。（3）根据二项分布与极大似然估计：若再加上一点条件，及假定捕出的鱼数s与湖中的鱼数的比很小，即sN,这样的假定对实际来说一般是可以满足的，这样我们可以认为每捕一条鱼出现有标记的概率为，且认为在s次捕鱼（每次捕一条）中 不变。把捕s条鱼近似地看做s重贝努力实验，于是，根据二项分布，s条鱼有t条有标记的，就相当于s次试验中有t次成功。故 同样地，我们取使概率达到最大，为

4、此我们将作为非负实数看待，求关于的最大值。为方便，求 关于的最大值。于是令 同样可得（取最接近的整数）。（4）根据超几何体分布鱼最大似然估计法：设捕出的s条鱼中，标有记号放入鱼为 ，则 是一个随机变量，显然只能取。令先考虑s条中有条有标记的鱼的概率，即。因湖中鱼数设为条，捕出s条，故因为捕出s条出现t条有标记的鱼的概率为根据最大似然估计法，今捕s条出现有标记的鱼t条，那么参数应该使得达到最大，即参数的估计值使得由比值 看出，当时，这表明如果时，是的下降函数；当时，这表明时，是N的上升函数。于是时，达到最大值，但由于时整数，故取（取最接近的整数）如果，就加大s；若仍有，可认为。评注：1. 理论依

5、据：二项分布、超几何体分布的概率计算，矩法计与极大似然估计。应用参数估计的思想和方法分析、处理问题。2. 应用与推广：此例说明，对同一个问题可以采用不同的方法解决。例如，估计一个城市的人口总素，也可以采用同样的方法去考虑。参考文献：孙荣恒趣味随机问题北京：科学出版社，2004平均值的质量控制图在工业质量控制中，常需要每隔一定的时间就检验一次同样的假设。例如，在制造某种弹簧的过程中，需要控制弹簧的自由长度具有平均值厘米。设弹簧的自由长度（总体）服从正态分布，且标准差，为检验生产过程是否正常，每隔一定时间（例如一小时）取样件，根据抽测的自由长度的平均值来检验假设（厘米）。为简化这项工作即便于了解生

6、产过程中统计规律性，制作了如下的图表。图中的纵坐标是的大小，中心线在，控制上限和控制下限分别在，每个样本平均值都画在图上，用黑点表示。如果都落在控制线之间，则表明生产过程处于正常的控制之下；否则，就要检查原因，适当地调整机器，显著性水平不超过。图中的控制限中的就是取得到的。这是根据规则得到的检验方法。如果总体，则在中抽取容量为的样本，则样本均值。当总体方差已知时，在显著性水平之下，假设的接受域是：。那么，如果以为检验统计量的接受域为：。所以，做出的控制图分别以作为控制下限和控制上限。如果每隔一小时的时间间隔内采样（容量为5）的样本均值如下：由作出样本容量的样本平均值控制图，可以作出质量控制图。评注：1. 理论依据：正态总体均值的置信区间，根据样本构造置信上限与下限，从而作出质量控制图。2. 应用于推广：根