等角螺线及其它(DOC)

1、等角螺线及其它何谓等角螺线等角螺线的方程式趣史一则等角螺线上的相似性质黄金分割与等角螺线等角螺线的弧长等角螺线的再生性质其它螺线举例几何学是一门源远流长的数学分支， 在十七世纪以前，几何学一词甚至可说是数 学的同义词，它以往的风光可想而知。曾几何时，因为某些内在与外在的因素， 几何学的地位似乎已逐渐没落；在中小学的数学教材里，几何题材一次又一次地 被删除。这种现象使我们感到忧心，因为自然环境中隐藏着许多几何原理， 不了 解这些几何知识，不就表示我们对所生存的空间已经愈来愈不了解了吗？笔者从事数学教育工作多年，又是现行高中数学教科书的编者之一， 对当前高中 数学教材中几何题材的过度贫乏，实在感到

2、忧心忡忡。在无力对教科书作大幅度 修改的情况下，只好在正式教科书之外从事一些修缮工作。基于上述想法，笔者希望能以一系列的文章来介绍一些几何题材。在内容方面， 笔者首先选上曲线。因为曲线的讨论不仅是几何学中最有趣的题材之一， 而且许 多曲线都会在自然现象中出现，它们的性质也往往能提供重要的应用。 例如：天 文望远镜的设计，不就是根据拋物线的反射性质吗？本文介绍等角螺线。何谓等角螺线在一片空旷的草地上，甲、乙、丙、丁、四只狗分别站立在一个正方形的四个顶 点A、B、C、D上。狗主人要甲狗紧盯着乙狗、乙狗紧盯着丙狗、丙狗紧盯着 丁狗、丁狗紧盯着甲狗。一声令下，四只狗以相同的速度同时冲向目标。假定每 只

3、狗在每个时刻都是正面朝向它的目标， 那么，这四只狗所跑过的路径是什么形 式呢？假设四只狗在某一时刻的位置分别为狗的行动一致所产生的对称性，可知Ai、Bi、Ci、Di （见图一），则根据四只AiBiCiDi也是正方形，而且它的中心第9页共15页也就是正方形 I。斥厂戸的中心0。更进一步地，由于在Ai点的甲狗系冲向在Bi点的乙狗，所以，甲狗在此一时刻的速度方向在向量切3上。或者说，甲狗所跑的路径在 Ai点的切线与直线 OAi形成45°的夹角。同理，图一乙狗所跑的路径在 Bi点的切线与直线 OBi形成45°的夹角等等。一般而言，若一曲线在每个点 P的切向量都与某定点 O至此点P所

4、成的向量 -匚夹成一定角，且定角不是直角，则此曲线称为一等角螺线（equia ngularspiral） ，O点称为它的极点（pole）。前面所提的四狗追逐问题中，每只狗所经过的路线都是一等角螺线的一部分，此T3t等角螺线中的定角是 ：（或匚，因为切向量可选成相反方向），而其极点是正方形【二1小.江卅的中心O。等角螺线的方程式在坐标平面上，若极坐标方程式等角螺线（点是原点O，定角为a（ ° V a 码a / 2），则因在点的切向量为刑）五灯"）血0 +加）険0）所以，可得COS Ofcos： 0(0)co30 - /(0)nn0)-|-9in 8( f (0)nn0 + f

5、 (0) cob 0)尸H£)丽由此可得下述结果:=cot a=e cot» + iRftin ttj=詁cat °换言之，此等角螺线的极坐标方程式为T =化評亍）T = d評+于55在前面所提的四狗追逐问题中，若中心O是极点而点 A的极坐标为小，则甲、乙、丙、丁四只狗所跑的路径分别在下述四等角螺线上:T = dJ叶孑)T = 竽5前面所提的汀二沁就是等角螺线的极坐标方程式。由于在导出此方程式 的过程中曾经引用了自然对数，所以，等角螺线也称为对数螺线（logarithmicspiral）。趣史一则等角螺线的性质，笛卡儿(R. Descartes, 15961650

6、)在1638年就已经考虑过，但没有获得特殊结果。托里拆利(E. Torricelli, 16081647年)却在1645 年发现有关等角螺线弧长的一项性质，这项性质在下文中将会介绍。对于等角螺线的探讨，以伯努利(J. Bernoulli, 16541705年)的成果最为丰硕。他发现将等角螺线作某些变换时，所得的曲线仍是全等的等角螺线。这些变换包括：求等角螺线的垂足曲线(pedal curve);求等角螺线的渐屈线(evolute);求等角螺线反演曲线(in versive curve) ;求等角螺线的焦线(caustic curve);将等角螺线以其极点为中心作伸缩变换 (dilation)，

7、由于这 些变换都可以使等角螺线再生，这个现象使伯努利大为欣慰，所以，临殁遗言要 将等角螺线的这些性质刻在他墓碑上，同时题上一句话：Eademmutata resurgo(虽然某些状况改变了，我却保持不变)。这是继阿基米德(纪元前三世纪)之 后，另一位在墓碑上表现其成果的数学家。等角螺线上的相似性质根据等角螺线的方程式 討二沁Tv,可以看出：对每个9值，都有一个对应的r值；而且不同的9值所对应的r值也不同(因为芦这种现象表示：从等角螺线上某个点出发，随着9值的无限制增大与无限制减小，此 曲线会环绕它的极点形成无数多圈， 一面是愈绕愈远，一面是愈绕愈聚集在极点 附近。若 負锂:汀，则当尸一 一須时

8、，曲线聚集在极点附近。若：伽则当：时，曲线愈绕越远。图二是等角螺线的一部分(cot a < 0)图二若辐角丨，二，二，构成一个等差数列，则由指数的性质，对应的向径能:心八， 就构成等比数列。若令Pn表示极坐标则上述结果表示OP, OR, OP?,构成一个等比数列。又因-,所以可知二丸r与R仃口相似。由 此可知:构成一个等比数列。等乃是过极点的一若上述等差数列，的公差是一-，Pl, P2, P3, 射线与等角螺线的交点。可见：过极点作任意射线，则此射线与等角螺线的交点 必以等比数列的形式排列在射线上。对于一般的几何图形，若我们选定某个点做为伸缩中心将图形放大或缩小，贝冋得到一个相似的图形，

9、在等角螺线的情形中，若伸缩中心是它的极点，则不论放 大或缩小多少倍，所得的不只是相似图形而已，它是与原等角螺线全等的一个等 角螺线。为什么呢？若以极点为伸缩中心将等角螺线汀二心弘八伸缩m倍， 则所得的图形是等角螺线 一。因为 '，所以可找到一个实数使得 沖二莎：讥小。于是伸缩后的图形为 厂一叭卩时皿:；，这个图形其实就 是等角螺线 皆二心泊小：绕极点顺时针旋转角所得，它自然与原等角螺线右二朋全等。根据前段的说明，我们可以了解：等角螺线上的一段弧经伸缩若干倍后， 必与该 等角螺线上的另一弧全等。事实上，若等角螺线汀二乂卢：曲:经伸缩成工一出，贝恠等角螺线宀:，辐角9满足 <0<

10、;7 的弧，经伸缩后必与该等角螺线上辐角 9满足 丨-'-'：'的弧全等。等角螺 线的这项特性，使得自然界中许多物体都呈现等角螺线的形状。例如：许多贝壳都很接近等角螺线的形状，因为生活在壳内的动物在成长过程中都是均匀地长 大，这就像相似地放大，所以，新生的部分所栖息的空间必与原有空间形状相似。 象鼻、动物的角与毛等都呈等角螺线形。在植物中，向日葵、菠萝与雏菊上的螺 旋纹也都呈等角螺线形。图四是鹦鹉螺的横截面，这么美的线条，令人不得不佩 服造物之奇。图四黄金分割与等角螺线环绕某个定点而相似地缩小，这是等角螺线在其极点附近呈现的形状。假如我们 将多边形环绕一定点而相似地缩小

11、，是不是会与等角螺线生关联呢？BCD k第19页共15页AH G F图五在图五中,、I飞加曲f、iI战农、厂j做、V 等是一系列的矩形，这些矩形中每两个都相似（亦即：边的比值相等），而且后一矩 形都是由其前面的矩形挖掉一个正方形而得的。女口： -I二 是由 -挖 掉正方形而得的。此时，上列矩形的第一个顶点 A、C、E、G、I、K等会落在一等角螺线上，此等角螺线的极点是-丄、一；、一、丄匸等共交的点0。若以0为极点，射线拠为极轴，且A的极坐标为【厲町，则此等 角螺线的极坐标方程式为其中一。此等角螺线通常称为黄金螺线。】+祁为什么会扯上一呢？原来这个数就是上述相似矩形的长边与短边的长度之比。因为由

12、二二二与 厂Q心卅f可得BDtBC = BC ,CD l + (CD . BC) = BC CD(BC ； CD)2-(BC ； CD)-1 = QBC:CD =C点将匸二黄金分割时，匸二一（或二一 一 _ ）的值是，此数称为黄若线段三匚上的一点C满足三匚三.三.匚，则称C点将匸二黄金分割。1+命金分割比。若一矩形的长边与短边的比值为一，则此矩形称为黄金矩形。由黄金矩形可引出等角螺线，将矩形改成三角形，也会有同样的结果吗?在图六中上、匸、匸、等是一系列的等腰三角形，这些等腰三角形中每两个都相似，而且后一等腰三角形， 都规定是由其前面的等腰三角形挖掉一个等腰三角形而得的。例如：是由二 挖掉等腰三

13、角形而得的。二A图六此时，上列等腰三角形的顶点 A、B、C、D、E、F、G、H、等会落在一等角螺线上，此等角螺线的极点是 7吞与 N的交点0。若以0为极点、射线-为极轴、且A的极坐标为则此等角螺线的极坐标方程式为】M此等角螺线也扯上-，其理由如下：上述的相似等腰三角形 ABC等，可证其 亠 三士。此等角螺线也称为黄金螺线。明其顶角为36°，而底角为72°,所以, 为黄金三角形。等角螺线的弧长假定我们想计算等角螺线 “二沁上，辐角9满足-】那段弧的制等分成n等分，设每一等长，利用前面所提的相似性质，我们可将区间h -n 。又令Pi表示极坐标（分的长为h,即詰叫Y忑底）的点,i

14、=0,1,2,，n,先考虑所得折线的长。若这个和在1；=二：（或一）时的极限存在，则其极限值就是所欲求的弧长。上述的折线长怎么计算呢？因为 型沁4与哄厂相似，所以"工牛1 : fy 心;；站二尹注-由此可得PdPl + P1P2 HF R亠iRi= 1 + cot Q + e2A a + * +cot Q)tot a _ 1ir=血 #十(假設0。应另一方面，利用余弦定律可求得砸2 = “円 占何心 _ 1尸+ 4«*Q sin2 ?再根据微积分中的Hospital法则，可得血兽L =丄=论A-n 卢曲 口 cot a由此可得im 耳召=口丿曲口/ + tai aID pn

15、 cot at _ =aaeca血托丹+比匕+P“Ri)h-fQ由此可知：在等角螺线_a0满足那段弧的长为:欣注（*°亦一丿曲）此值等于该弧的两端点向径之差与用二的乘积。在的情形中，因为当“一 时，可得，川川川，所以，极点可以看成是等角螺线的一个终极位置。我们也因此可以问：由点绕回极点o的长度为多少？这段弧是辐角 0满足 曲泛？所对应的部分，它的长度可以分别考虑 0满足 -1-、等部分的弧长，然后相加而得。因此，由了押丿必用至0的弧长等于(n1) cat an=a=Qseca -OP sec a前面所得的结果， 可以做一项有趣的几何解释：过0作一直线与一 2垂直，因为过P的切线与一不

16、垂直，所以，上述垂直线与切线交于一点T。由于_ 一匚丁 .，于是，可：.。换言之,P点绕回0点的弧长与* 的长相等，这就是托里拆利所发现的性质（见图七）图七前段所提的性质，还可作如下的解释：设想等角螺线在直线 PT上作不滑的滚 动，则极点0最后会移动到T,而且在滚动过程中，0点的运动路径就是一等角螺线的再生性质垂足曲线设C为一曲线而0为一定点，自0向C的所有切线作垂直线，则所有垂足 所成的图形称为曲线C对定点0的垂足曲线。若C是等角螺线皆二池弘"，则C对其极点的垂足曲线是一个全等的等角螺线，为什么呢？在图七中，若郦）是在切线PT上的垂足，则t = OH=OP 二二二，而是P的辐角（设

17、因此，可得r = OPsina = (asina)e_Ct+-换言之，所有 H点构成等角螺线O焦线设C为一曲线而0为一定点，将过0的所有直线都对曲线 C作反射，若反 射所得的所有直线都是某曲线的切线，则此曲线称为曲线 C对定点0的焦线。若C是等角螺线，贝u C对其极点的焦线是一个全等的等角螺线,我们说明如下。设P是等角螺线C上一点,是极点0对于过P之法线的对称点，则直线 0P对等角螺线C反射，所得的直线就是直线 PR （见图七）。显然，一、_，而且:-让是点P的辐角（设 吆口幻）。因此，可得r = 20F cos a = (2a cos a)e_amt a换言之，所有R点构成等角螺线r = (

18、2aco8Q!)e"Mtfl。因为此等角螺线过R点的切线与直线 OR的夹角等于 a,而直线PR正具有这项性质。也就是说，直线 PR就是此 等角螺线在 R点的切线。因此，此等角螺线就是原等角螺线_'对极点O的焦线。渐屈线设C为一曲线，作C的所有法线，若所有法线都是某曲线的切线，则此曲线 称为曲线C的渐屈线。若c是等角螺线yS，则c的渐屈线是一个全等的等角螺线，我们说 明如下。设p是等角螺线c上一点，：在过p的法线上而且A 邑奁.0.?（见图七）。显然，歪二垃，而且 一是点P的辐角（设一）。因此，可得r = OP cot a = (acct换言之，所有 N点构成等角螺线r = a

19、cota)e_cot&。因为此等角螺线过N点的切线与直线 ON的夹角等于 a，而法线PN正具有这项性质。也就是说，法线PN就是此等角螺线在 N点的切线。因此，此等角螺线就是7 : 丁荒h的渐屈线。曲线C的渐屈线也可定义为曲线 C的每个点的曲率中心所成的图形。在图七中，该等角螺线在 P点的曲率中心就是 N、曲率半径就是一习题：试证图七中的所有T点所成的图形仍是一个全等的等角螺线，称为原等角螺线的渐伸线（involute）。其它螺线举例除了等角螺线外，数学上还有许多不同形式的螺线， 像阿基米德螺线、双曲螺线 (hyperbolic spiral)、拋物螺线(parabolic spiral)、连锁螺线(lituus) 等, 其中的阿基米德螺线最为有趣，我们略作介绍如下。向径与辐角的比值是常数时，其轨迹称为阿基米得螺线。以极坐标表示时，其方 程式为7： - ?；：!'，其中a是常数早在古希腊时代，大数学家阿基米德就对这种螺线作过研究，并写成一篇名为On spirals的作品。在图八中,