第7讲机械振动(DOC)

1、第7讲机械振动、简谐运动1简谐运动定义VF= kx凡是所受合力和位移满足式的质点,均可称之为谐振子，如弹簧振子、小角度单摆等.谐振子的加速度：a = xm2 简谐运动的方程回避高等数学工具，我们可以将简谐运动看成匀速 圆周运动在某一条直线上的投影运动(以下均看在x方向的投影)，圆周运动的半径为简谐运动的振幅A据： 二.F x = m® Acos 0 = m® x对于一个给定的匀速圆周运动，m、®是恒定不变的，可以令：m®2 = kx方向的位移、速度、加速度就这样，以上两式就符合了简谐运动的定义式所以， 是简谐运动的相关规律从图不难得出：位移方程：x =

2、Acos( ® t +$ )速度方程：v = ® Asin( ® t + $ )加速度方程： a= ®2A cos( ® t + $ ) 相关名词：(® t +称)目位，$称初相.运动学参量的相互关系：a= ®2xA = ,x0 (Vo)2 , tan $匕.-，X。3 简谐运动的合成3.1同方向、同频率振动合成.两个振动xi = Aicos( ® t +1)和X2 = A2cos( ® t切(合成，可 令合振动x = Acos( ® t + 4)由于x = x1 + x2，解得A = ,a2

3、a2 2A1A2 cos( 2 1)$ = arcinA1 sin : A 2 sin A1 cos 1 A 2 cos ；显然，当 $2 $1 = 2k n寸(k = 0 , ±1, ±2,)，合振幅 A 最大，当 $2 $1 = (2k + 1 ) 冗时(k = 0 , ±1, ±2,)，合振幅最小.3.2方向垂直、同频率振动合成.当质点同时参与两个垂直的振动x = A 1cos( ® t +1)和)y =A2COS( ® t +2)时，这两个振动方程事实上已经构成了质点在二维空间运动的轨迹参数方程， 消去参数t后，得一般形式的轨

4、迹方程为：2 2x yxy2.:r+ 2- cos($2 $1) = sin ($2 $1)A1 A 2 A1A 2A显然，当$2$1 = 2k出寸(k = 0 ,±1,±2,)，有y =- x，轨迹为直线，合运动A 1仍为简谐运动;当规一咖=(2k + 1 )冗时(k = 0, ±1,2 2±2 ,），有右+右=1，轨迹为椭圆,合运动不再是简谐运动；当如一如取其它值，轨迹将更为复杂，称3.3同方向、同振幅、频率相近的振动合成令李萨如图形”，不是简谐运动.X1 = Acos（ 3 + 和）X2 = Acos（ 3 +由于合运动 x = x 1 + X2，

5、得：x = (2Acos_1t） cos （竺尹t + ）合运动是振动，但不是简谐运动，称为角频率为'2 i的拍”现象.2由式得：3 =4简谐运动的周期，而圆周运动的角速度和简谐运动的角频率是一致的，所以mI k5简谐运动的能量一个做简谐运动的振子的能量由动能和势能构成，即- 12 1 2 1 2' E = mv + kx = kAk和（相对平衡位置位移） x决定的一个抽象的概念， 当我们计量了振子的抽象势能后， 其它的具体势能不2 2 2注意：振子的势能是由（回复力系数） 而不是具体地指重力势能或弹性势能. 能再做重复计量.水平弹簧振子ffl 113-3料小球一弹例题1 .设

6、想在相距较远的两个城市之间打一条笔直的隧道, 列车沿隧道从一个城市出发利用地球引力先加速后减速，再到 达另一个城市，如果忽略所有阻力的影响，求列车在两城市间 单程运行一次所用时间？例题2有一半径足够大的、可以绕竖直轴转动的圆盘，沿直径方向开有一条凹槽，凹槽内有一根倔强系数为 k,原长为Lo的弹簧，弹簧一端固定在圆盘中心，另一端系有质量为m的小球，小球与圆盘凹槽之间的摩擦可略，证明当圆盘以角速度山作匀速转动时，小球在槽内作简谐运动.例题3. 一物体的质量为 m=2.5Kg ,受到倔强系数k=250N/m的弹簧的作用而作简谐运动.设开始时，振动系统所具有的动能Ek=0.2J,势能Ep=0.6J .

7、回答下列问题：(1) 振动的振幅 A为多少？(2) 振动的周期T,圆频率3,频率f为多少？(3) 当t=0时，位移的大小为多少？(4) 如果已知初相 拆在第一象限，求出?(5 )写出振动方程？例题4如图所示放在水平地面上高 1米的三角支架上有一固定的水平横杆，横杆下面用细 线悬挂一个小球 A, A通过一根轻弹簧与另一相同的小球B相连，B静止不动时，弹簧伸长3cm.现将悬挂球 A的细线烧断，A、B便与弹簧一起向下运动.假设已经知道，在重力作 用下A、B与弹簧合成的系统的重心作自由落体运动，而且发现当B触及地面上的橡皮泥时,弹簧的伸长量正好为 3cm.然后B与橡皮泥发生完全非弹性碰撞，试求弹簧相对

8、其自由长 度的最大压缩量.檢皮掘二、非简谐周期运动1非简谐周期运动定义:简单摆(单摆)的振动2.稳定平衡位置附近的小振动区分：稳定平衡位置、不稳定平衡位置、随遇平衡位置常用小量近似：(1 )设B用弧度为单位，且vv 1,则有:sin 銓Qtan 貝Qcos 銓 1 朮/2 .1(2 )设xvv 1，则有:(1 + X)" Q 1+a a为任意实数.证明：简单摆的小角度振动的周期T: T =2二：L .例题5.光滑的水平地面上有一质量为M的滑块，滑块表面上有一质量可忽略的钉子0, 0处绕着长为L的轻绳，绳下系着质量为 m的小球.开始时系统处于静止状态，如图所示， 轻绳与铅直方向有一很小

9、的出夹角，尔后让小球自由摆下，形成自由摆动.设小球摆动过程中不会与滑块表面接触，且滑块不会倾倒，试求小球摆动周期.例题6为了使飞船飞行阶段产生人造重力，将宇宙飞船的两部分 A和B分开，mA：mB=1:2 ,相距为L.辅助发动机使它们绕两点连线上的0点旋转.0点与A、B之距La和LB之比La:Lb=2:1 .已知安装在 B部分宇航员座舱内的摆钟走得比在地球上走得慢一半，求飞船两 部分的旋转周期.例题7.质量为M的电梯被一粗的金属绳索吊住，设绳索的质量比M小得多.绳索从其自然长度被拉长I时说形成的张力大小为32,试求电梯在其平衡位置附近的上下小振动的周期.例题&在光滑的水平面上有两根质量可

10、忽略的相同的弹簧，它们的一个端点共同连接着一 个光滑的小物体，另外两个端点厲、A2被固定在该水平面上，并恰好使两弹簧均处于自由长度状态，且在同一直线上，如图所示.如果小物体在这光滑的水平面上沿着垂直于A“A2连成方向稍稍偏离初始位置，请分析判断小物体是否会作简谐振动.例题9一个质点同时参与两个在同一直线上的简谐运动:5:2t -,x2 =3cos 2tI66论=4cos试求合振动的振幅和初相位.习题1两定轴轮朝相反方向旋转，其上放一均质木板，其质量为m,长度远大于两轮的轮心距L,两轮轮心连成水平，木板与两轮摩擦系数分别为山和血，试证明木板的振动为简谐运动.习题2.边长为a的正方形四个顶点上分别固定电量均为Q的点电荷，在对角线交点上放置一个质量为m,电量为q （与Q同号）的自由点电荷将后者沿着某条对角线移动一个很小 的距离，那么它是否将作周期性振动？若是，周期多