正弦余弦正切及特殊角之间的关系

1、龙文教育数学学科导学案（第次课）教师: 学生: 年级:九 日期: 星期: 时段:课题正弦、余弦、正切及特殊角之间的关系学情分析教学目标与考点分析1、通过探究使学生知道当直角三角形的锐角固定时，它的对边与斜边的比值都固定 （即正弦值不变）这一事实。2、能根据正弦概念正确进行计算3、经历当直角三角形的锐角固定时，它的对边与斜边的比值是固定值这一事实，发 展学生的形象思维，培养学生由特殊到一般的演绎推理能力。教学重点重点：理解认识正弦（sinA）概念，通过探究使学生知道当锐角固定时，它的对边 与斜边的比值是固定值这一事实.难点：弓1导学生比较、分析并得出：对任意锐角，它的对边与斜边的比值是固定教学方

2、法导入法、讲授法、归纳总结法学习内容与过程一、正弦1、为了绿化荒山，某地打算从位于山脚下的机井房沿着山坡铺设水管，在山坡上修建一座扬水站，对 坡面的绿地进行灌溉。现测得斜坡与水平面所成角的度数是30o,为使出水口的高度为35m，那么需要准备多长的水管？分析：T问题转化为，在 Rt ABC中，/ C=90,/ A=30, BC=35m求 AB、根据“再直角三角形中，30°角所对的边等于斜边的一半”，即厶的对边一恥_11u斜边A? 2可得AB=2BC=70n即需要准备70m长的水管结论：在一个直角三角形中，如果一个锐角等于30°，那么不管三角形的大小如何，这个边的比值都等于-2

3、BC2、如图，任意画一个 RtA ABC，使/ C=90°，/ A-455，计算/ A的对边与斜边的比，能得到什么AB分析：在Rt ABC 中，/ C-90,由于/ A-45，所以Rt ABC是等腰直角三角形，由勾股 定理得角的对边与斜结论？K结论：在一个直角三角形中，如果一个锐角等于 45°,那么不管三角形的大小如何，这个角的对边与斜边的比值都等于22般地，当/ A取其他一定度数的锐角时，它的对边与斜边的比是否也是一个固定值?3、如图：Rt ABC 与 Rt A'B'C'，/ C=Z C' =90°，/ A= / A'=a

4、,与一有什么关系结论：在直角三角形中，当锐角 A的度数一定时，不管三角形的大小如何，/ A的对边与斜边的比也是 一个固定值。认识正弦如图，在 Rt ABC中，/ A、/ B、/ C所对的边分别记为 a b、c。师：在Rt ABC中,/ C=90，我们把锐角A的对边与斜边的比叫做/ A的正弦。记作sinA。si nA = 乙A的对边 =- （举例说明：若 a=1,c=3,贝U si nA= ） NA勺斜边c3注意：1、sinA不是sin与A的乘积，而是一个整体；2、正弦的三种表示方式：si nA、sin56 °、sin / DEF3、 sinA是线段之间的一个比值；sinA没有单位。提

5、问：/B的正弦怎么表示？要求一个锐角的正弦值，我们需要知道直角三角形中的哪些边？【典型例题】例1、如图，在 丄一一 一中,_L . 11，求sim:和sin丄的值.例2、（ 2006海南）三角形在正方形网格纸中的位置如图所示，则sin a的值是（）A. 3 B . 4 C . 3D . 44355例3、（ 2005厦门市）如图，在直角厶 ABC中，/ C= 90°，若A吐5，AO4,贝U sinA =（）A.B- 5D.2例4、（ 2006黑龙江）在厶ABC中，/ C=90 , BC=2 sinA=-,则边AC的长是（）3AA.、13 B . 3 C . 3 D .'5二、余

6、弦与正切1、如图，已知 AB是。O的直径，点 C、D在。O上，且AB= 5, BO 3.贝U sin / BAC=; sin /ADC=.7 / 8（2）（2006 成都）如图，在 Rt ABC中, Z ACB= 90°，CDLAB于点 D。已知 AC#，BC=2 那么 sinZ ACD-()A.53B.2C. 2 5D.?3522、实践探索般地，当Z A取其他一定度数的锐角时，它的邻边与斜边的比是否也是一个固定值?如图：Rt ABC 与 RtA A'B'C'，Z C= Z C' =90°,Z B=Z B'=a,BC EC那么二与一有

7、什么关系？结论：在直角三角形中，当锐角B的度数一定时，不管三角形的大小如何，Z B的邻边与斜边的比也是一个固定值。如图，在Rt ABC中, Z C=90，把锐角B的邻边与斜边的比叫做Z B的余弦，记作cosB即 cos 5 =伽匕的对学3 把/ A的对边与邻边的比叫做/ A的正切.记作tanA,即锐角A的正弦,余弦,正切都叫做/ A的锐角三角函数.【典型例题】si n b/4 例 1、如图，在/中,_厂 11 ,BC=6,: 求 cos和 tan丄的值.例2、1）如图 ，在 二一 一"中，匚.11，厲-求二的度数.（2）如图（2），已知圆锥的高 AO 等于圆锥的底面半径0B的匚倍，求

8、二.巩固再现1.在中，/ c = 90° a, b, c分别是/ A、/ B、/ C的对边，则有（）A.b. 汕虫 c.住二cgB d. c = a-sAcozA = -t2.在 -中,/ c=90°如果5那么taiB的值为(3534A. 5 B. 4 C. 4 D. 33、如图：P是/代的边OA上一点，且P点的坐标为（3, 4），贝U cos =三、锐角三角形间的关系(1) 若/A /B =90“那么 sin A = cosB或sin B =cosA(2) sin2 A cos2 A =1（3） tan A = sin A cos A结论：（1）锐角的正弦值随角度的增加（

9、或减小）而增加（或减小）;（2）锐角的余弦值随角度的增加（或减小）而减小（或增加）;（3）锐角的正切值随角度的增加（或减小）而增加（或减小）。【典型例题】1、判断题:(1) 、对于任意锐角a,都有Ov sinaV 1和Ov cos a < 1()(2) 、对于任意锐角 a 1 , a 2,如果a 1< a 2,那么COSa 1< COSa 2()(3) 、如果sina 1< sin a 2,那么锐角a 1<锐角a 2I()(4) 、如果COsa 1 < COsa 2,那么锐角a 1 >锐角a 2()2、在Rt ABC中，下列式子中不一定成立的是 A .

10、 si nA = si nBB . cosA = sinB C. si nA = cosB D. sin( A+B) = si nC3、在 LABC中， C =90；,sin A 二3求 cosA,sin B和 tan A的值 5(4)如杲ZA为锐角，且xsA二、那么A . 0°<Z A < 30°B . 30°<Z A < 45°C. 45<Z A< 60°D . 60°<Z A<90°30°45°60°siaAcosAta nA题】例1、求下列

11、各式的值:(1) cosVi+cos+ » sin h sin二(2)cos 60° +sin 45°cos60u -sin 45°cos60° -cos45°说明：本题主要考查特殊角的正弦余弦值，解题关键是熟悉并牢记特殊角的正弦余弦值。易错点因没有 记准特殊角的正弦余弦值，造成计算错 例2、1)如图 ，在_一一中，求二的度数.(2)如图(2),已知圆锥的高AO等于圆锥的底面半径OB的山;倍，求匚'.课内练习与训练1、若a为锐角,则0sina_ 10cos a.12、在 Rt ABC中，/C为直角，a=1， b=2，贝U co

12、sA=，tanA=3、在 Rt ABC中，/C为直角，AB=5，BC=3，贝U sinA=，cotA=4、在 Rt ABC中,/C为直角，/ A=30，b=4，则 a=，c=35、在 Rt ABC 中，/ C 为直角，若 si nA二，贝U cosB=.56、在 Rt ABC 中，/ C 为直角，cot(90-A)=1.524，贝U tan(90-B)=7、/ A 为锐角，已知 sinA= 2，那么 cos (9(°-A)=.1318 已知 sinA= (/ A 为锐角)，则/ A=, cosA, tanA=29、在 Rt ABC 中，/ C 为直角，/A=30°,则 sinA+sinB=()10、当锐角A>45时，sinA的值（）D .大于A2A .小于'2 ； b .大于2 ； C.小于'3 ;2 2 212、在厶ABC中，/ C为直角，直角边a=3cm， b=4cm，求 sinA+sinB+sinC 的值.11、若/ A是锐角，且sinA= 3，则（）4A . 0<Z A<3° ;ooooooB . 30 < / A<45 ; C. 45&l