材料力学版范钦珊习题答案

1、材料力学_第二版_范钦珊_第 4章习题答案第4章弹性杆件横截面上的切应力分析4 1扭转切应力公式.(门=Mx川Ip的应用范围有以下几种，试判断哪一种是正确的。(A) 等截面圆轴，弹性范围内加载；(B) 等截面圆轴；(C )等截面圆轴与椭圆轴；(D)等截面圆轴与椭圆轴，弹性范围内加载。正确答案是_A_。解：.(：)=MxIp在推导时利用了等截面圆轴受扭后，其横截面保持平面的假设，同时推导过程中 还应用了剪切胡克定律，要求在线弹性范围加载。4 2两根长度相等、直径不等的圆轴受扭后，轴表面上母线转过相同的角度。设直径大的轴和直径 小的轴的横截面上的最大切应力分别为.1max和.2max，切变模量分别

2、为 Gl和G2。试判断下列结论的正确性。:'.1 max > <2 max ；(B)：|.1 max V .2 max ；(C)若 Gi>G2,则有 Tl max > 12 max ； (D )若 Gl> G2，则有.imax V .2max。正确答案是C_。解:因两圆轴等长，轴表面上母线转过相同角度，指切应变相同，即1=2=由剪切胡克定律=G 知G1 G2时， 花 max > T2 max。4 3承受相同扭矩且长度相等的直径为d1的实心圆轴与内、外径分别为d2、D2(=d2/D2)的空心圆轴，二者横截面上的最大切应力相等。关于二者重之比(W1/W2

3、)有如下结论，试判断哪一种是正确的。(a) (1 -： 2-'32(D) (1 -<4)23/(1 -.:2)。正确答案是D_。解：由.1max = .2max 得16Mx 16Mxnd；nd；(1-a4)1即出=(1 _r)3(1)D2W _ A _ d：% _A 一。?2)(1)代入(2)，得4 23W _(1 i. ) 3Wa _1 24 4由两种不同材料组成的圆轴，里层和外 层材料的切变模量分别为 G1和G2,且G1 = 2G2。 圆轴尺寸如图所示。圆轴受扭时，里、外层之间无 相对滑动。关于横截面上的切应力分布，有图中所 示的四种结论，试判断哪一种是正确的。正确答案是_C

4、_解：因内、外层间无相对滑动，所以交界面上切应变相等t = 2，因习题PG图，由剪切胡克定律得交)32 ；(B) (1 r)32(1 2)；420 / 8习题4-5图4(C) (1 ：.4)(1 ：.2)；4 5等截面圆轴材料的切应力一切应变关系如图中所示。 的切应变a二沁，若扭转时截面依然保持平面，则根据图示的 布。试判断图中所示的四种切应力分布哪一种是正确的。圆轴受扭后，已知横截面上点a（爲二d / 4）.一关系，可以推知横截面上的切应力分正确答案是_A_。4 6图示实心圆轴承受外扭转力偶，其力偶矩T = 3kN m。试求:1.轴横截面上的最大切应力；2 轴横截面上半径r = 15mm以内

5、部分承受的扭矩所占全部横截面上扭矩的百分比;3 去掉r = 15mm以内部分，横截面上的最大切应力增加的百分比。解:Mx TWPWP3 103 16 =70.7MPaT33nd3 n 0.06316M x2n MF dA叮s一Mx41 p42冗r,nd4 32ip16r4 * 'd4Ip151=16 (eZ =16 "25%4习题4-6图'.2 maxMxWpnd 3iT 1 _(2)4At 二T'.2 max-T1 max丄_7(2)441 =6.67%154 7图示芯轴AB与轴套CD的轴线重合，二者在B、C处连成一体；在D处无接触。已知芯轴直径 d = 6

6、6mm;轴套的外径D = 80mm，壁厚、：=6mm。若二者材料相同，所能承受的最大切应力不得超过 60MPa。 试求结构所能承受的最大外扭转力偶矩T。解:Mxl轴 maxWp16T<<60 10_60 106nd16n 663_910=3387 N m167：套 maxMxWp2=-2 _60 106辛1熠4w106 nF 101-(知=2883N习题4-7图3Tmax乞T2 =2 8 8N m =288 10 N m(3)1 / 8解:由已知长度和质量相等得面积相等:nR0-R；)Tsmaxnd316R3冗2Ts. 1 -n2Th 1 -n2(1)(2)2R('.max

7、Thn(2R2)4、16(1 -n )由(2 )、(3)式R3Rf(1 -n4)R?占-R12TsTh(4)由（1） 代入（4）3(Rf -R12)2=(13-n2)2 1 -F3(1 _n2尸22(1 _n )(1 n )34ThR2（1 _n ）4 - 9图示开口和闭口薄壁圆管横截面的平均直径均为 试：1 . 1 _ n21 -n2-D、壁厚均为，横截面上的扭矩均为 T = Mx。证明闭口圆管受扭时横截面上最大切应力rnax证明开口圆管受扭时横截面上最大切应力画出两种情形下，切应力沿壁厚方向的分布。I “,dA = - n DI ' a 222Mx2-、nD2解：1 . Mx2Mx

8、8nD22 .由课本(8- 18)式3Mx_2MX'.-max9-hb2即：.max3M x,'.2 "D习题4-9图2M宏,nD3M-2j/nD4 - 10矩形和正方形截面杆下端固定，上端承受外扭转力偶T = 400N m,试分别确定二杆横截面作用，如图所示。若已知 上的最大切应力。解：.amax =卫务ghb4009 =15.4MPa0.208 50 50210MxI bmax =2&hb24009 =19.0MPa0.246 70 352104 11图示三杆受相同的外扭转力偶作用。已知T = 30N m,确定杆的横截面尺寸；若三者长度相等，试比较三者的重

9、量。解：.amax 二企岂60 10°nd316试16T16 乂 300da -36 =36 =29.4 mmn 汇60 汉 106Ii60n 汉 106Mx Mx Mx 丿、“6a max233 6010C1hb2C1d；0.208d3db 一33006 =0.02886m =28.9 mm 0.208 60 106M x300,- 6emax23 6010ghb20.24<2d(3习题4-11图300de _36 =0.02166m =21.66 mm2 0.246 60 106三者长度相同，重量之比即为面积之比。5 / 8.2ndaAaTn 0.02942 2-4>

10、( ) =0.816A db4 0.02886nd2A-7dan da 2Ac2d；8 dc=n(°.02942)2=0.7248 0.02166Aa : Ab ： Ac =1:0.816:0.7244 - 12直径d = 25mm的钢轴上焊有两凸台，凸台上套有外径 当杆承受外扭转力遇矩 T = 73.6N m时，将薄壁管与凸台焊在一起, 薄壁管与轴的材料相同，切变模量G = 40MPa。试：1 分析卸载后轴和薄壁管的横截面上有没有内力，二者如何平衡？2.确定轴和薄壁管横截面上的最大切应力。解：设轴受T = 73.6N m时，相对扭转角为 冷且 d _ T dx GI p1D = 7

11、5mm、壁厚,-,=1.25mm的薄壁管,然后再卸去外力偶。假定凸台不变形，(1)习题4-12图r” W、W "1T5-ij|4I ci -L0T撤消后，管受相对扭转角2，则轴受相对扭转角1三；：0 _：2，此时轴、平衡。1 0Tl管受扭矩大小相等，方向相反，整个系统(2)MxlGI p1 GI p1二MxI p2MxMx.MxlGI p2(3)(4)TI p1 ' I p2(5)Mx 二W； nd 4324nDI p2 :32:,. h maxI p1TIp1 ' Ip2Tp2T_DWp2I p1 ' I p2 2(6)n4丄2_12(25)10=38349

12、.5 10321 (D2$4 nX 754 一(_将Ip1、Ip2值代入(6) 得75373.6102管： maxp =6.38 MPa(38349.5 393922) 10车由： IsmaxIp2 T1212410=393922 10 m73.6 空 393922 10；2匹 dd2巨=21.86 MPaIp1 2 Ip1(lp1 - Ip2) 2(38349.5 393922) 38349.5 104- 13由钢芯（直径30mm）和铝壳（外径 40mm、内径30mm）组成的复合材料圆轴，一端固定，另一端承受外加力偶， 如图所示。已知铝壳中的最大切应力.amax =60MP-，切变模量Ga

13、= 27GP-，钢的切变模量Gs = 80GP-o试求钢芯横截面上的最大切应力,smax。解：复合材料圆轴交界面上剪应变相同s = a= （ r = 15mm）Maa(r)paa maxr 二 Ga aGaI pa aWpa 二Ga Ipasmax(r)喘=Gs s =Gs a习题4-13图Gs -a max Wpa rGa "paGs ''.-amax rGa R80 60 15-27 20= 133MP-4 - 14若在圆轴表面上画一小圆， 试分析圆轴受扭后小圆将变成什么形状？使小圆产生如此变形的是 什么应力？答：小圆变形成椭圆，由切应力引起。小圆方程为：x2 y

14、2 =R2，R为小量小圆上一点A(x,y)，当圆轴扭转时，A无水平位移，所以x丄x (平面假设)A垂直位移：v =(d x)_ 2Ly =y v =y (d )-<p y =y (d -.-x)-2L将坐标代入：(x)2Cp"(d x )-2L二 R2：2222)(x)2 -2( )xy ry)22L01+r4L2_<P2L4 - 15关于弯曲切应力公式确的。(A)(B)(C)(D)(14L二次项系数：.-：22L2(二)xV 八(匚 _R2)=04L22L 4L20，所以为椭圆型方程。E=FqSz /(bl z)应用于实心截面的条件，有下列论述，试分析哪一种是正细长梁、

15、横截面保持平面；弯曲正应力公式成立，切应力沿截面宽度均匀分布; 切应力沿截面宽度均匀分布，横截面保持平面； 弹性范围加载，横截面保持平面。B 。正确答案是解：公式.二FqS； (bIz)推导时应用了局部截面的正应力合成的轴力，该正应力仇则要求弯曲正应力公式成立；另外推导时在 iFx=O时，应用了 .沿截面宽度均匀分布假设。习题4-17图习题4-18图4 - 16试判断梁横截面上的切应力作用线必须沿截面边界切线方向的依据是:(A) 横截面保持平面；(B) 不发生扭转；(C )切应力公式应用条件；(D)切应力互等定理。正确答案是D_。4- 17槽形截面悬臂梁加载如图示。 图中C为形心, 试判断哪一

16、种是正确的。(A) 只有向下的移动，没有转动；(B) 只绕点C顺时针方向转动；(C )向下移动且绕点 0逆时针方向转动；(D )向下移动且绕点 O顺时针方向转动。正确答案是D_。4- 18等边角钢悬臂梁，受力如图所示。关天截面A的位移有以下论述，试分析哪一种是正确的。(A) 下移且绕点O转动；(B) 下移且绕点 C转动；(C) 下移且绕z轴转动；(D )下移且绕z 轴转动。正确答案是D_。4 - 19试判断下列图示的切应力流方向哪一个是正确的。正确答案是_A_(a)(b)(c)(d)4-19 图习题4-20图N-N截面上a、b两点的铅垂方向的切应力以及腹板180 20 2 160 201220

17、 18030 180 (90 65.38)3160 20160 20 55.382 =33725128 mm412Sza_74.62220ydy =10(74.62二 114.622-114.62 )-75696 mm3SzbJ34.620ydy =10(34.6丄14.6265.38114.622)3二 419392 mmSzc-1146220ydy =10(65.38?-114.622)3-88632 mm4-20四种不同截面的悬臂梁，在自由端承受集中力，作用方向如图所示，图中0为弯曲中心。试分析哪几种情形下可以直接应用.-xM zy/ Iz和 FqS； /（biz）计算横截面上的正应力和

18、切应力。（A）仅（a）、（b）可以；（B ）仅（b）、（c）可以；（C ）除（c）之外都可以；（D ）除（d）之外都不可能 正确答案是_D_。4 - 21简支梁受力与截面尺寸如图所示。试求 I 与翼缘交界处点c的水平切应力。解：Fq = 120kN，形心C位置。*180 20 90 2 160 20 10d65.38 mmF Q Sza3120 1075696 10二 15.8MPa (t)LZfikN1E0 kN.a36 =13.5 MPa (J)OIz20：10 X33.725128X10120 X10S; 1193910小、.b36 =21.2 MPa (J)20 1033.725128

19、 1039120 X103 X88632X10C 3620 1033.725128 10习题4-21图1lyc-4A. *-* TmATtCbrzfl JCkN习题4-22图最大压应力;3 确定梁内横截面上的最大切应力;4 画岀横截面上的切应力流。解：1.图(a):送Ma =08 _q 4 2 亠Frb 4=0Frb =18 kN=0 , Fra =22 kN(a)剪力与弯矩图如图(b)、(c)；2 .形心C位置,80 20 10 80 20 60 60 20 110 d =80 X20 X2 +60 X20y=55.45mm3380 2032 20 803Iz80 20 45.45212 1

20、23260 X203220 80 4.55260 20 54.5521264=7.855758 10 mm匚丿max_Mmax-Iz55.45 10-(c)(e)7 / 8337.855758 10_162 1055.45 10=114 MPaIM max3厂mixmaL 64.55 10 =133 MPaIz*35 4593Szmax =80 20 45.45 - 20 35.4585287 10 卫 m32:vmaxFqSz max、：lz22 103 85287 10'Z3Z620 107.855758 10= 11.94 MPa4 切应力流如图（e）o4-23木制悬臂梁，其截面

21、由 7块木料用A、B两种钉子连接而成，形状如图所示。梁在自由端承受沿铅垂对称轴方向的集中力 F p作用。已知Fp = 6kN , I z =1.504X109 mm4 ； A种钉子的纵向间距为 75mm,B种钉子的纵向间距为 40mm ,间距在图中未标出。试求：1 . A类钉子每个所受的剪力；2 . B类钉子每个所受的剪力。解：Iz 二丄（400 4003 -250 3003 -100 2003）12 =1504166667mm4*3SzA =100 50 150 =750000 mmFqS；a习题4-23图每根A种然受剪力:Fqa = .a、； 75 10 "FqSzaIz75 1

22、0 36 103 750000 10亠 75 101504166667 10= 224 NS；B =2 100 50 150300 50 175 =4125000 mm3每根B种钉子受剪力：FqS；bFqb40 10Iz3936 104125000 1040 101504166667 汇10 卫= 658 N4-24由四块木板粘接而成的箱形截面梁，其横截面尺寸如图所示。Fq = 3.56kN。试求粘接接缝 A、B两处的切应力。解：lz =2汇 |rX25X2293+（竺）2 X127X25=1.3329 勺08 mm412 2已知横截面上沿铅垂方向的剪力*SzA =(1272-12.5) 25 逬