整式的乘法与因式分解知识点72861

1、整式乘除与因式分解单项式：表示数与字母的乘积的代数式，叫做单项式，单独的一个数或一个字母也是单项式 多项式：几个单项式的和叫做多项式一知识点（重点）1幕的运算性质：am a= am+n （m、n为正整数）同底数幕相乘，底数不变，指数相加.m n2. a = amn（m、n为正整数）幕的乘方，底数不变，指数相乘.3. （abf=anbn（n为正整数）积的乘方等于各因式乘方的积.4. aman = am_n （a0, m、n都是正整数，且mn）同底数幕相除，底数不变，指数相减.5. 零指数幕的概念：a0二1 （a 0）任何一个不等于零的数的零指数幕都等于 I.16. 负指数幕的概念：ap二ap （

2、a0, p是正整数）任何一个不等于零的数的-p （p是正整数）指数幕，等于这个数的 p指数幕的倒数.也可表示为:mJIn 丿(mM0, nM0,p为正整数）3 / 47. 单项式的乘法法则:单项式相乘，把系数、同底数幕分别相乘，作为积的因式；对于只在一个单项式里含有的字母，则连 同它的指数作为积的一个因式.8. 单项式与多项式的乘法法则：单项式与多项式相乘，用单项式和多项式的每一项分别相乘，再把所得的积相加.9. 多项式与多项式的乘法法则：多项式与多项式相乘，先用一个多项式的每一项与另一个多项式的每一项相乘，再把所得的积相加.10. 单项式的除法法则：单项式相除，把系数、同底数幕分别相除，作为

3、商的因式：对于只在被除式 里含有的字母，则连同它的指数作为商的一个因式.11. 多项式除以单项式的法则：多项式除以单项式，先把这个多项式的每一项除以这个单项式，再把所得的商相加.易错点：在幕的运算中，由于法则掌握不准出现错误；有关多项式的乘法计算出现错误；误用同底数幕的除法法则；用单项式除以单项式法则或多项式除以单项式法则出错；乘除混合运算顺序出错12. 乘法公式：平方差公式：（a+ b） （a-b）= a2 b2文字语言叙述：两个数的和与这两个数的差相乘，等于这两个数的平方差.完全平方公式：（a+ b） 2 = a2+ 2ab+ b2 （a b） 2 = a2 2ab+ b22 倍.文字语言

4、叙述：两个数的和（或差）的平方等于这两个数的平方和加上（或减去）这两个数的积的易错点：错误的运用平方差公式和完全平方公式。13. 因式分解（难点）因式分解的定义把一个多项式化成几个整式的乘积的形式，这种变形叫做把这个多项式因式分解.掌握其定义应注意以下几点：（1）分解对象是多项式，分解结果必须是积的形式，且积的因式必须是整式，这三个要素缺一不可；（2）因式分解必须是恒等变形；（3）因式分解必须分解到每个因式都不能分解为止.弄清因式分解与整式乘法的内在的关系.因式分解与整式乘法是互逆变形，因式分解是把和差化为积的形式，而整式乘法是把积化为和差的形式.二、熟练掌握因式分解的常用方法.1、提公因式法

5、（1）掌握提公因式法的概念；（2）提公因式法的关键是找出公因式，公因式的构成一般情况下有三部分：系数一各项系数的最大公约数；字母各项含有的相同字母；指数 相同字母的最低次数；（3）提公因式法的步骤：第一步是找出公因式；第二步是提取公因式并确定另一因式需注意的是， 提取完公因式后，另一个因式的项数与原多项式的项数一致，这一点可用来检验是否漏项.（4）注意点：提取公因式后各因式应该是最简形式，即分解到“底”；如果多项式的第一项的系 数是负的，一般要提出“一”号，使括号内的第一项的系数是正的.2、公式法运用公式法分解因式的实质是把整式中的乘法公式反过来使用；常用的公式：平方差公式：a2 b2=（ a

6、+ b） （a b）完全平方公式：a2 + 2ab+ b2=（ a+ b） 2 a2 2ab+ b2=（ a b） 2易错点：用提公因式法分解因式时易出现漏项，丢系数或符号错误；分解因式不彻底。中考考点解读：整式的乘除是初中数学的基础，是中考的一个重点内容其考点主要涉及以下几个方面：考点1、幕的有关运算例1. （2009年湘西）在下列运算中，计算正确的是（）（A） a3 a2 =a6 （B） （a2）3 二 a5 （C） a8 a2 = a4 （ D） （ab2）2 二 a2b4分析:幕的运算包括同底数幕的乘法运算、幕的乘方、积的乘方和同底数幕的除法运算幕的运算是整式乘除运算的基础，准确解决幕

7、的有关运算的关键是熟练理解各种运算的法则解：根据同底数幕的乘法运算法则知 a3 aa3 2 - a5，所以（A）错；根据幕的乘方运算法则知 （a2）3 = a2 3 = a6，所以（B）错；根据同底数幕的除法法则知 a8 “ a2二a =a6，所以（C）错；故选（D）.例2. ( 2009年齐齐哈尔)已知10 =2 , 10“=3，则103档=.分析：本题主要考查幕的运算性质的灵活应用，可先逆用同底数幕的乘法法则am a二am n，将指数相加化为幕相乘的形式,再逆用幕的乘方的法则(am)n=amn,将指数相乘转化为幕的乘方的形式，然后代入求值即可.解：103m2n=103m 102n=(10m

8、)3 (10n)2 =23 32 = 72.考点2、整式的乘法运算例 3.(2009 年贺州)计算：(_2a) (la3 -1)=.4分析:本题主要考查单项式与多项式的乘法运算计算时按照法则将其转化为单项式与单项式的乘法运算，注意符号的变化111解：(2a) ( a31) = (2a)a3(2a) 1 = a4 2a .442考点3、乘法公式2例4. (2009年山西省)计算：x 3-x-1 x-2分析:运用多项式的乘法法则以及乘法公式进行运算，然后合并同类项2 2 2 2 2解：x 3 x -1 x - 2 =x 6x 9-(x -2x-x 2) = x 6x 9-x 2x x-2 = 9x

9、 7.3例5. (2009年宁夏)已知：a b , ab =1，化简(a-2)(b-2)的结果是.2本题主要考查多项式与多项式的乘法运算首先按照法则进行计算，然后灵活变形，使其出现(a b )与ab，以便求值.3解: (a -2)(b 2) =ab _2a -2b +4=ab_2(a+b) +4=1 _2 汇上 + 4 = 22考点4、利用整式运算求代数式的值1例 6. (2009 年长沙)先化简，再求值：(a - b)(a-b) (a b)2 -2a2，其中 a = 3, b = -.3分析：本题是一道综合计算题，主要在于乘法公式的应用.解：(a b)(ab) (a b)22a2 二 a2b

10、2 a2 2ab b22a2 二 2ab1( 1当 a = 3, b =时，2ab=2H3H._ = _23I 3丿.考点5、整式的除法运算例 7. (2009 年厦门)计算：(2x- y)(2x+ y) + y(y 6x) 2c分析:本题的一道综合计算题，首先要先算中括号内的，注意乘法公式的使用，然后再进行整式的除法运算.2 2 2 2解：(2x y)( 2x+ y) + y(y 6x)乞x = (4x y + y 6xy) -2x = (4x 6xy) -2x = 2x 3y.考点6、定义新运算例8. (2009年定西)在实数范围内定义运算”，其法则为：b = a2，求方程(43)x =

11、24的解.分析:本题求解的关键是读懂新的运算法则，观察已知的等式a二b =a2 -b2可知，在本题中“-”定义的是平方差运算，即用“二”前边的数的平方减去“二”后边的数的平方.5 / 4解： a 二 b =a2-b2 , /. (4 二 3)二 x = (42 32)二 x = 7 二 x = 72 x2. 72 -x2 = 24 .:. x2 =25 . :. x= 5 .考点7、乘法公式例3 (1) (2009年白银市)当x =3、y =1时，代数式(x y)(x-y) y2的值是.(2) (2009年十堰市)已知：a+b=3, ab=2,求a2+b2的值.解析：问题(1)主要是对乘法的平方差公式的考查原式=x 2- y 2 +y 2= x 2 = 3 2=9.问题(2)考查了完全平方公式的变形应用， (a+b)2 =a2+2ab+b2，: a2 +b2 =(a + b)2 2ab = 32 2x 2 = 5说明：乘法公式应用极为广泛，理解公式的本质，把握公式的特征，熟练灵活地使用乘法公式，可以使运算变得简 单快捷，事半功倍.考点8、因式分解例4 (1) (2009年本溪市)分解因式：xy2 - 9x =.(2) (2009年锦州市)分解因式：a2b-2ab2+b3=.解析：因式分解的一般步骤是：若多项式的各项有公因式，就