抛物线的简单几何性质典型例题.

1、典型例题 例 1 过抛物线焦点的一条直线与它交于两点 P、Q，通过点 P 和抛物 线顶点 的直线交准线于点 M ，如何证明直线 MQ 平行于抛物线的对称轴？ 解：思 路一：求出 M、Q 的纵坐标并进行比较，如果相等，则 MQ/x 轴，为 此，将方程 联立，解出 直线 OP 的方程为 即令，得 M 点纵坐标 得证 由此可见，按这一思 路去证，运算较为繁琐 思路二：利用命题 “如果过抛物线 线相交，两上交点的纵 坐标为 、，那么 的焦点的一条直线和这条抛物 ”来证 设去 x，得到 、 ，则 有结论 ，并从 ，即 及中消 又直线 OP 的方程为 ，得 因为 在抛物线上， 所以 从而 这一证法运算较小

2、 思路三：直线 MQ 的方程为 的充要条件是 将直线 MO 的方程 和直线 QF 的方程 联立， 它的解 x ,y） （就是点 P 的坐标， 消去 的充要条件是点 P 在抛物 线上， 得证 这 一证法巧用了充要条件来进行逆向思维，运算量也较小 说明： 本题中过抛物线焦点的直线与 x 轴垂直时（即斜率不存在），容易证 明成立 选 题角度：熟悉抛物线的焦点、准线几何性质的运用； 例 2 已知过抛物线 的焦点且 斜率为 1 的直线交抛物线于 A、 B 两点，点 R 是含抛物线顶点 O 的弧 AB 上一 点，求RAB 的最大面积 分析：求 RAB 的最大面积，因过焦点且斜率为 1 的 弦长为定值，故可

3、以 为三角形的底，只要确定高的最大值即可 解：设 AB 所在 的直线方程为 将其代入抛物线方程 ，消去 x 得当过 R 的直线 l 平行于 AB 且与 抛物线相切时， RAB 的面积有最大值 设直线 l 方程为 代入抛物线方程得 由 得 ，这时 它到 AB 的距离为 RAB 的最大面积为 选题角度： 利用过抛物 线焦点的、 斜率为 1 的弦长为定值求三角形面积的最 大值；例 3 如图所示：直线 l 过抛物线 的焦点，并且与这抛物线相交于 A 、B 两点， 求证：对于这抛物线的任何给定的一条弦 CD，直线 l 不是 CD 的垂直 平分线 分 析： 本题所要证的命题结论是否定形式， 一方面可根据垂

4、直且平分列方程 得矛盾 结论；别一方面也可以根据 l 上任一点到 C、D 距离相等来得矛盾结论 证法一： 假设直线 l 是抛物线的弦 CD 的垂直平方线，因为直线 l 与抛物线 交于 A 、B 两 点，所以直线 l 的斜率存在，且不为零；直线 CD 的斜率存在，且不 为 0 设 C、 D 的坐标分别为 与则 l 的方程为 直线 l 平分弦 CD CD 的中点 在直线 l 上， 即 ，化简得： 由 知 CD 的垂直平分线 得到矛盾， 所以直线 l 不可能是抛 物线的弦 证法二：假设直线 l 是弦 CD 的垂直平分线 焦点 F 在直线 l 上， 由 抛物线定义， 到抛物线的准线 的距离相等 ， 与

5、直线 l 和抛物线有两上交点矛盾，下略 CD 的垂直平分线 l ： 选题 角度：利用反证法证明抛物线过焦点的弦的性质 例 4 设过抛物线 的顶点 O 的两弦 OA、OB 互相垂直， 求抛物 线顶点 O 在 AB 上射影 N 的轨迹方程 分析：求与 抛物线有关的轨迹方程，可先把 N 看成定点 的关系后再用动点坐标 换，简化运 算 解法一：设 ；待求得 来表示，也可结合几何知识，通过巧妙替 则： ， ， 即， 把 N 点看作定点， AB 所在的直线方程为： 则显然 代入 化简整理 得： ， 由、得： 用 x、 y 分别表示 得： ，化简得解法二：点 N 在以 OA、OB 为直径的两圆的交点（非原点

6、）的轨迹上，设 ， 则以 OA 为直径的圆方程为： 设，OAOB，则 在求以 OB 为直径的圆方程时 以 由得： 代，可得 选题角度：抛物线顶点在特殊弦上的射影轨迹。 习 题精选 一、选择题 1过抛物线焦点 的直线与抛物线相交于 ， ，则 ， 为 （ D 120只有一个公共点的直线有（ D4 条 上两点， 为坐标原点，若 的方程 是 ） 两点，若 ） ， 在抛 物线准线上的射影分别是 A 45 2过已知点 A1 条 3已知 ，且 （） B2 条， B60 C90且与抛物线 C3 条是抛 物线 的垂心恰好是此抛物线的焦点，则直线 A 4若抛物线 弦 B （ C D （ ），则 ）的弦 PQ 中点

7、为 的斜率为（）A 5已知 足 B 是抛物线 ，则直线 C D 的焦点弦，其坐标 ， 满 的 斜率是（） A B C （，则 D ）的焦点弦 的两端点坐标分别为 ） 6已知 抛物线 ， A4 B4 的值一定等于（ D C 7已知 线相切，则 A C 的圆心在抛物线 的方程是（ ） B D 上，且 与 轴及 的准 8当 A0 个 9将直线 时，关于 B1 个的方程 D3 个的实根的个数是（ ） C2 个 左移 1 个单位，再下移 2 个单位后，它与抛物线 的值等于（ D 9 ）的焦半径 为直径的圆与 轴位置 ） 仅有一个公共点，则实数 A1 10以抛物线 关系为（ ） A相交 11过抛物线 如果

8、 ，那么 B相离 B 1 （ C7 C相切 D不确 定，两点， 的焦点作直线交抛物线于 长是（）A10 12过抛物线 抛物线顶点，则 A小于 13抛物线 A （0，0） B 8 （大小（ B等于 C6 D4 ）的焦点且垂直于 轴的弦为 ， 为） C大于 D不能确定 对称的曲线的顶点坐标是（ C（ 2，2） D（2，0） ，它到焦点 的距 ） 关于直线 B（ 2， 2） 14已知抛物线 （ ）上有一点 离为 5，则 的 面积（ 为原点）为（ ） A 1 B C2 D 15记定点 此抛物线准线 的距离为 与抛物线 ，则当 上的点 之间的距离为 ， 到 ） 取最小值时 点的坐标为 （ A（0，0）

9、16方程 A椭圆 B C（2，2）表示（ D） D圆 B双 曲线 C抛物线 ， 它到 17 在 上有一点 小，则 的坐标为（） A（ 2，8） 18设数为（） A0 19设 过焦点的（） A充分不必要 为的距离与它到焦点 的距离之和最 B（ 2，8） C（ 2，8） D（2，8） 过焦点的弦，则以 为直径的圆与准线交点的个 B1 ， C2 为抛物线 D0 或 1 或 2 上两点，则 是 B必要不充分 C充要 D不充分不必要20抛物线垂点为（ 1，1），准线为 ，则顶点为（） A 21与 B 关于 C D 对称的抛物线是（） A 二、填空题 B C D 1.顶点在原点，焦点在 轴上且通径（过焦点

10、和对称轴垂直的弦）长为 6 的抛物线方程是 2.抛物线顶点在原点，焦点在 轴上，其通径的两端点与顶点连成的三角 形面积为 4， 则此抛物线方程为 3 过点 （0， 4） 且与直线 4抛物线 5已知抛物线 方程是被点的弦 相切的圆的圆心的轨迹方程是 所平分的弦的直线方程为 过定点（ 2，0），则弦 中点的轨迹 6顶点在原点、焦点在 轴上、截直线 抛物线方程为 7 已知直线 中点坐标是_ 8一条直线 两点，过 ， 9中点、与抛物线 _经过抛物线 （交于、 所得弦长为 的两点，那么线段 的）的焦点 、与抛物线交于 、 、点分别向准线 引垂线 ， 为 的中点，则 ，垂足为 = ， ，如果 是抛物线的一

11、条焦点弦，若抛物线 到直线 的距离为 上到直线 ，则 的 10抛物线 的距离最近的点的坐标是11抛物线 12已知圆 = （ 上到直线 距离最短的点的坐标为 与抛物线 （ ）的准线相切， 则 13 过 = 14抛物线 ） 的焦点 的弦为 ， 为坐标原点， 则 上一点 到焦点的距离为 3，则 点 的纵坐标为 15 已知抛物线 上，则 16 过抛物线 的范围是 （ 的值为 的焦点作一条倾斜角为 ），它的顶点在直线 的弦，若弦长不超过8，则 17 已知抛物线 与椭圆 则该圆的方程为 18抛物线 作 于 的焦点为 ，则梯形 ，准线 交 有四个交点， 这四个交点共圆， 轴于 ，过抛物线上一 点 的面积为

12、19 探照灯的反射镜的纵断面是抛物线的一部分， 安装灯源的位置在抛物线 的焦点 处，如果 到灯口平面的距离恰好等于灯口的 半径，已知灯口的半 径为 30cm，那么灯深为 三、解答题 1知抛物线 上求一点 ，使 2若 截直线 的面积为 39 所得的弦长 ，试在 轴 的焦点弦长为 5，求焦点弦所在直线方程 （ ）的内 3已知 是以原点 为直角顶点的抛物线 接直 角三角形，求 面积的最小值4若 ， 为抛物线 的焦点， 的坐标 为抛物线上任意一点，求 的最小值及取 得最小值时的 5一抛物线拱桥跨度为 52 米，拱顶离水面 6.5 米，一竹排上一宽 4 米，高 6 米的大木箱，问能否安全通过 6抛物线以

13、 轴为准线，且过点 ，（ ） 求证不论点 位置如何变化，抛物线顶点的轨迹是椭圆，且离心率为定值7 已知抛物线 （ ） 的焦点为 ，以 为半径，在 轴上方画半圆，设抛物线与半圆交于不 同的两点 线段 、 的中点求 的值；是否存在这样的 的 为圆心， 、 ， 为 ， 使 、 成等差数列，若存在，求出 和圆 中，一条边 的值；若不存在，说明理 由 上最近两点之间的距离 8求抛物线 9正方形 在抛物线 在直线 上，另外 两顶点 、 上，求正方形的面积 的一条过焦点的弦被焦点分为 ， 两个部分， 10已知抛物线 求证 宽 11一抛物线型拱桥的跨度为 ，顶点距水面 、高 的货 箱，问能否安全通过 12已知

14、抛物线 ，求当 13 是抛物线 ，求动点 上两点 ， （ 点距 轴最近时， 江中一竹排装有 且 在第二象限）， 的面积 与 ，以 为原 点， 方形 上的动点，连接原点 的轨迹方程 为边作正 参考答案： 一、 1C； 2C；3D；4B；5C；6B；7B；8D；9C 10C；11B；12C；13C；14C；15C； 16C；17B；18B；19C； 20A；21D二、1 5 7或 ；2 ；6 ；3 ；4 （在已知抛物线内的部分） ； 8（ 4， 2）； 9 10 ；11；122；134 142；150， 17 三、1先 求得 2 ， ， ；16 ；18314；1936.2cm ，再求得 或 3设

15、， ，则由 得 ， ，于是 当，即 ， 时， 4抛物线 由抛物线定义得 、 从而 、 的准线方程 为 ， ，过 作 垂直准线于 ，要使 点， 最小， 点， 三点必共线，即 的最小值为 垂 直于准线， ，此时 与抛物线交点为 点坐标为（ 2，2）5建立坐标系，设抛物线方程为 上， 时， ，则有 6设抛物线的焦点为 设 顶点为 ，则 ，则点（ 26， 6.5）在抛物线 抛物线方程为 ，当 ，所以木箱能安全 通过 ，由抛物线定义得 ，所以 ，即 ，为椭圆，离心率 7设 、 、 为定 值 、 、 ，则 在抛物线的准线上射影分别为 由抛物线定义得， 又圆的方程为 ， 将 代入得 假设存在这样的 ，使得 ，由定义知点 矛盾，所以这样的 不存在 8设 最小，则 、必在抛物线上，这与点 是弦 的中点 分别是抛物线和圆上的点， 圆心 ，半径为 1，若 也最小，因此 求一点 ，使它到点 、 共线，问题转化为在 抛物线上 ，则 的最小值是 的距离最小 .为此设 ，9设 得 所在直线方程为 ， 消去 又直线 与 间距离为 或 从而边长为 10焦点 为 直于 轴，则 在直线方程为 这时 ，于是 或 ，面积 ， ， ，当 与 轴不垂直时，设 垂 所 ， ，命题也成立 ，设焦点弦 端点 ，结论显然成立；当 ，代入