专题三柯西不等式的应用

1、.专题三不等式的证明（柯西不等式）1下列不等式的证明明过程：若 a， b R，则若 x， y R，则；若 x R，则；若 a， b R，ab 0，则其中正确的序号是+的最小值为（）2设 a， b R ，a+b=1，则A.2+B.2C.3 D.3已知 a b0， c d 0，则与的大小关系为4已知 a， b，c R，且 a+b+c=0， abc 0，则 + +的值（ ）A.小于 0B. 大于0 C. 可能是0D.正负不能确定5若不等式（ 1） na 2+对任意 nN* 恒成立，则实数a 的取值范围是（）A. 2， ） B.（2， ）C.3， ） D.（3， ）6设 a， b， c（， 0），则对

2、于 a+ ， b+ ， c+，下列正确的是都不大于 2 都不小于 2至少有一个不小于 2 至少有一个不大于27定义在R 上的函数 f （ x ） =mx2+2x+n的值域是 0 ，+），又对满足前面要求的任意实数m， n 都有不等式恒成立，则实数a 的最大值为（）A.2013B.1C.D.8已知 a、 b、c 是 ABC的三边长， A=， B=，则（）A.A BB.ABC.ABD.AB9设正实数 x、 y、 z 满足x234y2z0z取得最小值时， x 2 yz 的最大值为（）xy，则当xyA.0B. 2C .9D.984;.10设正实数 x, y, z 满足 x23xy 4 y2z0 ,则当

3、 xy 取得最大值时，212的最大值为（）zxyzA 0B 1C9D 3411（2012?湖北）设a，b， c， x， y， z 是正数，且 a2+b2+c2=10， x2+y2+z2=40， ax+by+cz=20 ，则=（）A.B.C.D.12用柯西不等式求函数y=的最大值为（）A. B.3 C.4 D.513若 2x3y5z29 ，则函数 u2x13y 45z6 的最大值为（）A.5B.215C.230D.3014对任意正数 x， y 不等式（ k ）x+ky恒成立，则实数k 的最小值是（）A.1B.2C.3D.415已知 x2+4y2+kz 2=36，且 x+y+z 的最大值为7，则正

4、数k 等于（）A.1B.4C.8D.916设 x、 y、 z 是正数，且x2+4y2+9z2=4， 2x+4y+3z=6 ，则 x+y+z 等于（）A.B.C.D.17已知 x， y， z 均为正数，且x+y+z=2 ，则+的最大值是（）A.2 B.2C.2D.32222 a2则（ a +a ）18实数 a （ i=1 ， 2， 3， 4， 5，6）满足（ a a ）+（ a a ） +（ a a ） +（ a a） +（ a） =1i213243546556（ a1+a4）的最大值为（）A.3 B.2C.D.119设， ，均为正数，且222222 20，则a b c等于()azabc 10，

5、xyz 40，axbc xyby czx y zA. 1B.1C.1 D.34324;.参考答案1、【解析】试题分析：依次分析4 个命题： a 0，b 0 时， 0，故不正确当x=， y=时，检验不正确，利用基本不等式可得正确，综合可得答案解：当 a，b R 且 a 0，b 0 时， 0，故不正确当 x=， y=时， lgx和 lgy 都等于 lg2 ，小于 0，故不正确 |=|x|+| 2=4，故正确若 a， bR， ab 0，则，故正确故答案为、点评： 本题考查不等式性质的应用，基本不等式的应用，注意考虑特殊情况和基本不等式的使用条件，属于中档题2 D【解析】试题分析：利用二维形式的柯西不

6、等式求得的最小值为10，可得+的最小值解： a，b R+， a+b=1， a2+b2=1 2ab，又=a2+b2+5+26 2ab+2=6 2ab+2（ ab+2）=10，+，当且仅当= 时，等号成立，故+的最小值为，故选： D点评：本题主要考查利用二维形式的柯西不等式求函数的最小值，属于基础题3【解析】试题分析：将两个式子作差、变形、依据条件及不等式的性质判断符号，从而得到结论解：=因为 a b 0， cd 0，所以， a c 0， bd 0， ba 0，又 c d 0，则有 ac bd，即 ac bd，则 bd ac 0，所以（ b+a）（ b a）（ bd ac） 0，;.所以，=0，即

7、故答案为点评：本题考查用比较法证明不等式的方法和步骤，将两个式子作差、变形、判断符号，其中，判断符号是解决问题的关键当然，本题还可采用特殊值法进行比较这两个式子的大小关系4 A【解析】试题分析：因为 a+b+c=0， abc （乘积）是正数，则这三个数中只能有一个正数，另两个为负数把 a+b+c=0 变形代入代数式，运用柯西不等式即可判断解： a+b+c=0， abc 0， a， b， c 中只能有一个正数，另两个为负数，不妨设 a0， b 0， c 0由 a+b+c=0 得 a=（ b+c）代入得，+ =+， （ b）+（ c） （） 4，即，=0，故选 A点评：本题主要考查柯西不等式的运用

8、，解题的关键是由条件正确判断 a，b， c 的符号5 A【解析】试题分析：对n 进行分类讨论，分离出参数a，将原问题转化为求函数的最小值问题解决解：当 n 为正偶数时，a 2恒成立，又2为增函数，其最小值为2= a当 n 为正奇数时，a 2+，即 a 2恒成立而 2为增函数，对任意的正整数n，有 2 2，a 2故 a 2，）点评：本题主要考查了不等式的证明及恒成立问题，属于基础题6【解析】试题分析：因为a， b，c（， 0），所以 a+b+c+ 6，再假设三个数都小于;.2，则 a+b+ +c+ 6，所以假设错误所以对立面成立，即至少有一个不小于2解：因为a， b， c（， 0），所以 a+

9、+b+ +c+ 6假设三个数都小于2则 a+ +b+ +c+ 6所以假设错误所以至少有一个不小于2故正确的序号为，故答案为：点评：本题主要考查基本不等式的应用，正难则反的思想，属于一道基础题7 A【解析】试题分析：根据已知条件可以得到m 0，mn=1， n 0由已知的不等式可得：只要让小于等于的最小 值 即可因 为m ，n 0 ，所 以有=，所以只要求的最大值即可，所以只要求222222的最小值为2，这样即m+n 的最小值即可，根据m+n 2mn=2知 m+n可求出的最小值为 1，所以，所以就能得到a 的最大值了解：定义在R 上的函数 f （ x）=mx2+2x+n 的值域是 0 ，+）； m

10、 0， mn=1， n 0；=；22224，； m+n2mn=2， 2+m+n即的最大值为1；，即的最小值是1；， a2013，实数a 的最大值为2013故选 A点 评 ： 考 查 二 次 函 数 ： y=ax2+bx+c值 域 的 求 法 ， 利 用 基 本 不 等 式 ：a+b， a2+b22ab 求最值8 A;.【解析】试题分析：由题意得c a+b，故 B=，变形后再放大，可证小于A 解： a、b、 c 是 ABC的三边长， c a+b，B=+=A， B A，故选 A点评：本题考查三角形的边长的性质，用放缩法证明不等式9 B【解析】试题分析： 由已知得zx23xy4 y2x4 y32 x

11、4 y31 ， x2 y 时等xyxyyxyx号成立，代入已知得zy2，则 x2yz=4 y2 y22( y1)222 。10 B【解析】试题分析： xyx2xy4 y2x1x11，当且仅当x 2 y 时z3xy4 y324 y3yxyx成立，因此z 4 y26 y24 y22212211211.2 y，所以xyzy2(1)yy考点：（ 1）基本不等式的应用， （ 2）利用二次函数求最值。11 C【解析】试题分析：根据所给条件，利用柯西不等式求解，利用等号成立的条件即可解：由柯西不等式得， （ a2+b2+c2）（x2+y2+ z2）（ax+by+cz ） 2，当且仅当时等号成立 a2+b2+

12、c2=10，x2+y2+z 2=40， ax+by+cz=20 ，等号成立 =;.故选 C点评：柯西不等式的特点：一边是平方和的积，而另一边为积的和的平方，因此，当欲证不等式的一边视为“积和结构”或“平方和结构”，再结合不等式另一边的结构特点去尝试构造12 C【解析】试题分析：由柯西不等式可得，函数y=?，从而求得函数的最大值解：由柯西不等式可得，函数y=?=4，当且仅当=时，等号成立，故函数 y 的最大值为4，故选： C点评：本题主要考查了二维形式的柯西不等式（22222ac+bd） （ a +b ）（ c +d ），在求解函数最值中的应用，属于基础题13 C【解析】试题分析：由柯西得不等式

13、，u2( 2 x 13y 45z 6) 2(1 2 x 1 1 3 y 4 1 5z 6) 2(111212 )(2 x2 3 y45z 6)3(2 x3 y5z11)3(2911)120 ， u2 30，选C.考点：柯西不等式 .14 A【解析】试题分析：根据题意可得（k ）x+ky2，不等式（ k ）x+ky恒成立，可得 2，化简可得（ 2k+1 ）（ k 1） 0，由此求得k 的最小值解：由所给的选项可得k1，（ k ）x+ky2，x、 y 都是正实数，不等式（ k ）x+ky恒成立， 2， 2，化简可得（2k+1）（ k 1） 0解得 k（舍去），或 k1，故 k 的最小值为 1，;.

14、故选： A点评：本题主要考查基本不等式的应用，一元二次不等式的解法，体现了转化的数学思想，属于基础题15 D【解析】试题分析：由柯西不等式可得（ x2+4y2+kz2）（1+）（ x+y+z ）2，再根据 x+y+z 的最大值为 7，可得 36（ 1+ +）=49，由此求得正数k 的值解：由题意利用柯西不等式可得2222（ x +4y +kz ）（ 1+ ）（ x+y+z） ，即 36 （ 1+ + ）（ x+y+z ） 2再根据 x+y+z 的最大值为7，可得 36（ 1+ ） =49，求得正数k=9，故选： D点评：本题主要考查柯西不等式的应用，属于基础题16 A【解析】试题分析：运用柯西

15、不等式：2222222等（ a +b +c）（ d +e +f ）（ ad+be+cf ） ，当且仅当号成立解： x、y、 z 是正数， x2+4y2 +9z2=4， 2x+4y+3z=6 ，（ 22+22+12）（x2+4y2+9z2）=9×4（ 2x+4y+3z ）2=36，可设，（ k 为常数），代入 2x+4y+3z=6 ，得 k= ， x+y+z=故选 A点评：本题考查三元柯西不等式及应用，考查基本的运算能力，是一道基础题17 C【解析】试题分析：利用柯西不等式，可得（1+2+3）（ x+y+z ）（+）2，结合 x+y+z=2 ，即可求出+的最大值解： x、y、 z 是正

16、数，（ 1+2+3）（ x+y+z ）（+） 2， x+y+z=2 ，+=2，+的最大值是2故选： C点评：本题考查三元柯西不等式及应用，考查基本的运算能力，是一道基础题18 B;.【解析】试题分析：由柯西不等式可得： （ a2 a1） 2+（a3 a2） 2+（a4 a3） 2+（a5 a4） 2+（a6a5）2 （ 1+1+1+4+1） （ a2 a1）+（ a3 a2）+（ a4 a3）+2（ a5 a4）+（ a6 a5） 2，结合条件，即可得出结论解：由柯西不等式可得： （ a2 a1） 2+（a3 a2） 2+（ a4a3） 2+（ a5 a4）2 +（a6 a5） 2 （ 1+1+1+4+1） （ a2 a1）+（ a3 a2）+（ a4 a3） +2（ a5 a4） +（ a6 a5） 2= （ a5+a6）（ a1+a4） 2， （ a5+a6）（ a1+a4） 28，（ a5+a6）（ a1+a4）2，（ a5+a6）（ a1+a4）的最大值为2，故选 B点评：本题考查柯西不等式，考查学生分析解决问题的能力，利用 （a2 a1）2+（a3 a2）2+（ a4 a3） 2+（ a5