【高等数学基础】形考作业1参考答案

1、.【高等数学基础】形考作业1 参考答案第1章 函数第 2 章 极限与连续（一）单项选择题下列各函数对中，（C）中的两个函数相等A.f ( x) ( x) 2 ， g( x) xB. f ( x)x 2 ， g (x) xC.3D. f ( x)x 21f ( x) ln x ， g (x) 3 ln xx 1 ， g( x)1x分析 ：判断函数相等的两个条件（1）对应法则相同（2）定义域相同A 、 f (x)( x )2x ，定义域x | x 0 ； g (x)x ，定义域为 R定义域不同，所以函数不相等；B 、 f ( x)x2x ， g( x) x 对应法则不同，所以函数不相等；C、 f

2、( x)ln x33ln x ，定义域为 x | x 0， g( x) 3 ln x ，定义域为x | x0所以两个函数相等D 、 f (x)x21x1，定义域为x | xR, x1x 1，定义域为 R； g( x)1x定义域不同，所以两函数不等。故选 C设函数 f ( x) 的定义域为(,) ，则函数 f ( x)f (x) 的图形关于（ C）对称A.坐标原点B.x 轴C.y 轴D.yx分析 ：奇函数， f (x)f ( x) ，关于原点对称 ;偶函数， f (x)f ( x) ，关于 y 轴对称y f x与它的反函数yf 1x 关于 yx 对称，奇函数与偶函数的前提是定义域关于原点对称设

3、g xf xfx ，则 g xfxf x g x所以 g xf xfx 为偶函数，即图形关于y 轴对称故选 C下列函数中为奇函数是（B）A.yln( 1x2 )B.yx cos x.a xa xD.yln(1x)C. y2分析： A 、 yxln(12ln 1x2yx ，为偶函数x )B 、 yxx cos xxcosxy x，为奇函数或者 x 为奇函数， cosx 为偶函数，奇偶函数乘积仍为奇函数C、 yxa xaxx ，所以为偶函数2yD、 yxln(1x) ，非奇非偶函数故选 B下列函数中为基本初等函数是（C）A.yx1B.yxC.yx2D.y1 ,x01 ,x0分析：六种基本初等函数（

4、 1）y c （常值）常值函数（ 2） y x , 为常数幂函数（ 3）yax a0,a1 指数函数（ 4）yloga xa0,a1 对数函数（ 5）ysin x, ycos x, ytan x, y cot x 三角函数yarc sin x,1,1 ,（ 6）yarc cos x,1,1 ,反三角函数yarc tan x, yarc cot x分段函数不是基本初等函数，故D 选项不对对照比较选C下列极限存计算不正确的是（D ）A.limx 21B.lim ln(1 x)02xx2x 0C.lim sin x0D.lim x sin 10xxxx.1x2x211分析： A 、已知 lim0 n

5、0, limlim2x2lim21n22x21xxxxxx10x2x2x2B 、 limln(1x)ln(10)0 ,初等函数在期定义域内是连续的x0C、 lim sin xlim 1 sin x0 ,x时，1是无穷小量，sin x 是有界函数，无xxxxx穷小量×有界函数仍是无穷小量1D、 lim x sin 1sin1lim sin tlimx，令 t0, x，则原式1xxx1xt0tx故选 D当 x0 时，变量（ C）是无穷小量A.sin xB.1xx1C.D.ln( x2)x sinx分析； lim fx0 ，则称 fx为 xa 时的无穷小量xaA 、 lim sin x1，

6、重要极限x0xB 、 lim 1，无穷大量x0 x11 仍为无穷小量C、 lim x sin0 ，无穷小量 x ×有界函数 sinx0xxD、 limln( x2)=ln 0+2ln 2x0故选 C若函数 f ( x) 在点 x0 满足（ A ），则 f ( x) 在点 x0连续。A.limf ( x)f ( x0 )B.f ( x) 在点 x0的某个邻域内有定义x x0C.limf ( x)f ( x0 )D.limf (x)lim f ( x)x x0x x0x x0分析：连续的定义：极限存在且等于此点的函数值，则在此点连续即lim fxf x0xx0连续的充分必要条件 lim

7、fxfx0limf xlimfxfx0xx0xx0xx0故选 A（二）填空题函数 f ( x)x 29ln(1x) 的定义域是x | x3x3.分析：求定义域一般遵循的原则（ 1） 偶次根号下的量0（ 2） 分母的值不等于 0（ 3） 对数符号下量（真值）为正（ 4）反三角中反正弦、反余弦符号内的量，绝对值小于等于1（ 5）正切符号内的量不能取 kk 0,1,22然后求满足上述条件的集合的交集，即为定义域f ( x)x29ln(1x) 要求x3x290x3或 x3x30得 x3求交集3131x0x1定义域为x | x3已知函数 f ( x 1)x 2x ，则 f (x)x2-x分析：法一，令

8、tx1 得 xt1则 f (t)t12t 1t 2t 则 fx x2x法二， f ( x 1)x( x1)x 11x 1所以 f (t )t 1 t lim (11 ) xx 2xx11分析：重要极限 lim 1e，等价式 lim1x xexxx0推广 lim fx则 lim(11)fxefxxaxa1lim fx0 则 lim(1fx) fxexaxalim(11)xlim(112 x 11)2e2x2xx2x1若函数 f ( x)(1x) x ,x0 ，在 x0处连续，则 kexk ,x0分析：分段函数在分段点x0 处连续limfxlimf xfx0xx0x x0.limfxlimxk0

9、kkx0x 0所以 ke1limfxlim1x xex0x 0函数 yx1 ,x0x0sin x ,x的间断点是0分析：间断点即定义域不存在的点或不连续的点初等函数在其定义域范围内都是连续的分段函数主要考虑分段点的连续性（利用连续的充分必要条件）limfxlimx10 11x0x 0不等，所以 x0为其间断点limfxlim sin x0x0x 0若 limf (x)A，则当 xx0 时， f ( x)A 称为xx0 时的无穷小量x x0分析： lim( f ( x)A)limf (x) lim AAA0xx0x x0x x0所以 f ( x)A 为 xx0 时的无穷小量（三）计算题设函数f

10、( x)ex ,x0f (0) ,f (1) x ,x,求： f ( 2) ,0解： f22 ， f 00， f 1 e1e求函数y2 x1lg的定义域x2x10x解 ： y lg 2x 11 或 x 0 ,有意义，要求解 得x则定义域为xx02x01x | x0或 x2在半径为 R 的半圆内内接一梯形，梯形的一个底边与半圆的直径重合，另一底边的两个端点在半圆上，试将梯形的面积表示成其高的函数解：DAROhE.BC设梯形 ABCD 即为题中要求的梯形，设高为h，即 OE=h，下底 CD 2R直角三角形 AOE 中，利用勾股定理得AEOA2OE2R2h2,则上底2 AE2R2h2故 Sh 2R

11、2 R2h2h R R2h22求 lim sin 3x x 0 sin 2x解： lim sin3 xsin3 x3xsin3x3 133lim3xlim3xx 0 sin 2xx 0sin2x2xx0sin2x21222 x2x求 limx21x1 sin( x1)解： limx21lim(x1)(x1)limx11)112x1 sin( x1)x1sin( x1)x1 sin( x1x1求 lim tan3x x 0x解： lim tan3 xlim sin3 x1lim sin3 x131133x 0xx 0xcos3xx03xcos3x1求 lim1x21 x 0sin x解： lim

12、1 x21( 1 x21)( 1 x21)limx2sin xlim(1x21)sin x1x21)sin xx 0x0x0 (limx002sin x1 11x 0(1x1)x求 lim ( x1 )x xx3x111(11)x(11 )x 1e1解： lim(xlim(x)xlimxlimxx3e4x)33 x13x3xxx3e1(1)(1x )xx3求 limx26x8 x4x 25x4.解： lim x26 x 8x 4 x2lim x242 2limx 4 x25x 4x 4 x 4 x 1x 4 x14 1 3设函数(x2)2 ,x1f ( x)x ,1x1x1,x1讨论 f (x) 的连续性，并写出其连续区间解：分别对分段点x1,x1