中考数学函数综合题型及解题方法讲解

1、.二次函数综合题型精讲精练主讲：姜老师题型一：二次函数中的最值问题例 1 ：如图，在平面直角坐标系中，抛物线 y=ax 2 +bx+c 经过 A （ 2 ， 4 ），O （ 0，0 ）， B（ 2 ，0 ）三点（ 1 ）求抛物线 y=ax 2 +bx+c 的解析式；（ 2 ）若点 M 是该抛物线对称轴上的一点，求AM+OM的最小值解析：（ 1）把 A （ 2 ， 4 ）， O（ 0 ， 0 ）， B（ 2， 0 ）三点的坐标代入y=ax 2 +bx+c中，得解这个方程组，得 a= ， b=1 ，c=0所以解析式为 y= x2+x （ 2 ）由 y= x2+x= （ x 1） 2 + ，可得抛物

2、线的对称轴为 x=1 ，并且对称轴垂直平分线段OBOM=BMOM+AM=BM+AM连接 AB 交直线 x=1 于 M 点，则此时 OM+AM最小过点 A 作 AN x 轴于点 N ，在 Rt ABN 中， AB=4，因此 OM+AM 最小值为方法提炼：已知一条直线上一动点M 和直线同侧两个固定点A、B，求 AM+BM 最小值的问题，我们只需做出点 A 关于这条直线的对称点A ，将点 B 与 A 连接起来交直线与点 M ，那么 A B 就是 AM+BM的最小值。 同理，我们也可以做出点B 关于这条直线的对称点B，将点 A 与 B连接起来交直线与点 M ，那么 AB 就是 AM+BM 的最小值。应

3、用的定理是：两点之间线段最短。AABBM或者MAB例 2 ：已知抛物线 C1 的函数解析式为 yax 2bx3a(b 0) ，若抛物线 C1 经过点 (0, 3) ，方程ax 2bx 3a 0 的两根为 x1 ， x2 ，且 x1x24 。（ 1 ）求抛物线 C1 的顶点坐标 .（ 2 ）已知实数 x 0 ，请证明： x1,并说明 x 为何值时才会有 x122 .xx（ 3 ）若抛物线先向上平移 4个单位，再向左平移1 个单位后得到抛物线C2 ，设 A(m,y 1)， B(n, y2 ) 是 C2上的两个不同点， 且满足：AOB900 ，m 0 ，n 0 .请你用含有 m 的表达式表示出AOB

4、 的面积 S ，;.并求出 S 的最小值及S 取最小值时一次函数OA 的函数解析式。解析：（ 1 ）抛物线过（ ,）点， 3 aax2 bx x2 bx = 的两根为x1 ,x2 且 x1 - x 2 x1x2(x1x2 )24x1 x2 且 b b x2 x（ x） 抛物线 的顶点坐标为（，）（ 2 ）x， x12 ( x1) 20xxx1x12, 显然当 x时，才有2,xx（ 3 ）方法一：由平移知识易得的解析式为：yx 2 (m ，m )， B（ n ， n ）AOB 为 RtOA +OB =AB m m n n （ m n ） （ m n ）化简得： m n AOB=1OAOB =1m

5、2m 4n 2n422m n AOB12 m 2n 21 2 m2122m2 1 (m1 ) 21 m11 2 12m2m2 AOB 的最小值为，此时m ,( , )直线 OA 的一次函数解析式为 x方法提炼：已知一元二次方程两个根x12,求 |x12|。因为12|=(x1x2 )24x1x2,x-x|x-x根据一元二次方程的求根公式 x1bb24ac ; x2bb24ac ; 可得到：b ; x xc .2a2axx21a12am12, (mo); 当 m 1时， m12，取得最小值。mm例 3：如图，已知抛物线经过点 A （ 1， 0）、 B（3 ，0）、C（ 0， 3）三点（ 1 ）求抛

6、物线的解析式（ 2 ）点 M 是线段 BC 上的点（不与B， C 重合），过 M 作 MN y 轴交抛物线于N ，若点 M 的横坐标为m ，请用 m 的代数式表示MN 的长;.（ 3 ）在（ 2 ）的条件下，连接NB 、 NC ，是否存在m ，使BNC 的面积最大？若存在，求m 的值；若不存在，说明理由解析：（ 1）设抛物线的解析式为：y=a （ x+1 ）（ x 3），则：a（ 0+1 ）（ 0 3 ） =3 ，a= 1 ；抛物线的解析式：y= （ x+1 ）（ x3 ） = x2 +2x+3 （ 2 ）设直线 BC 的解析式为： y=kx+b ，则有：，解得；故直线 BC 的解析式： y=

7、 x+3 已知点 M 的横坐标为 m ，则 M （ m ， m+3）、 N （m ， m 2+2m+3）；故 MN= m 2+2m+3（ m+3 ） = m 2 +3m（ 0 m 3 ）（ 3 ）如图；S=SMNC+SMNB= MN （OD+DB ）=MN ×OB，BNCS=2+3m2+（ 0 m 3 ）；（ m）×3= （ m ）BNC当 m=时，BNC 的面积最大，最大值为方法提炼：因为 BNC 的面积不好直接求，将BNC 的面积分解为 MNC 和MNB的面积和。然后将 BNC 的面积表示出来，得到一个关于m 的二次函数。此题利用的就是二次函数求最值的思想，当二次函数的

8、开口向下时，在顶点处取得最大值；当二次函数的开口向上时，在顶点处取得最小值。题型二：二次函数与三角形的综合问题例 4 ：如图，已知：直线yx3 交 x 轴于点 A ，交 y 轴于点 B，抛物线 y=ax 2+bx+c经过 A 、B、 C（ 1 ，0）三点 .（ 1 ）求抛物线的解析式 ;（ 2 ）若点 D 的坐标为（ -1 ， 0），在直线 y x 3 上有一点 P,使 ABO 与 ADP 相似，求出点 P 的坐标；（ 3 ）在（ 2 ）的条件下，在x 轴下方的抛物线上，是否存在点E，使ADE 的面积等于四边形APCE的面积？如果存在，请求出点E 的坐标；如果不存在，请说明理由解：（ 1）：由

9、题意得，A（ 3，0 ）， B（ 0， 3）抛物线经过 A 、B、C 三点，把 A（ 3，0 ），B（ 0 ，3）， C（ 1 ，0 ）三点分别代入 y = ax 2 + bx + c 得方程组9a3bc0c3abc0;.a1解得： b4c3抛物线的解析式为y = x2 - 4x + 3（ 2 ）由题意可得：为ABO等腰三角形 ,如图所示，若 ABO1DAP，则AOOBADDP11, DP=AD=41P (- 1,4)若 ABO ADP，过点 P作 PMx 轴于 M ， AD=4,222 ABO为等腰三角形,是ADP等腰三角形 ,由三线合一可得： DM=AM=2= P2M ，2即点 M 与点

10、C重合P2（ 1， 2）（ 3 ）如图设点 E ( x, y) ，则S ADE1 AD| y | 2 | y |2当 P (-1,4) 时，1S 四边形 AP1CE =S ACP1 +S ACE112 | y |2422= 4 + y2 y = 4 + y y = 4点 E 在 x 轴下方y = - 4代入得：x2 - 4x + 3 = - 4 ,即x24x70=(-4) 2 -4 ×7=-12<0此方程无解当 P2（ 1 ， 2 ）时， S 四边形 AP2CE =S 三角形 ACP2 +S 三角形 ACE =2 + y2 y = 2 + y y = 2点 E 在 x 轴下方y

11、 = - 2代入得： x2 -4x + 3 = - 2即x 24x50 ，=(-4) 2 -4 ×5=-4<0此方程无解综上所述，在x 轴下方的抛物线上不存在这样的点E。方法提炼：求一点使两个三角形相似的问题，我们可以先找出可能相似的三角形，一般是有几种情况，需要分类讨论，然后根据两个三角形相似的边长相似比来求点的坐标。要求一个动点使两个图形面积相等，我们一般是设出这个动点的坐标，然后根据两个图形面积相等来求这个动点的坐标。如果图形面积直接求不好求的时候，我们要考虑将图形面积分割成几个容易求解的图形。例 5 ：如图，点 A 在 x 轴上， OA=4 ，将线段 OA 绕点 O 顺

12、时针旋转 120 °至OB 的位置（ 1 ）求点 B 的坐标；（ 2 ）求经过点 A O 、 B 的抛物线的解析式；;.（ 3 ）在此抛物线的对称轴上， 是否存在点 P，使得以点 P、O 、B 为顶点的三角形是等腰三角形？若存在，求点 P 的坐标；若不存在，说明理由解析：（ 1）如图，过B 点作 BCx轴，垂足为C，则BCO=90 °，AOB=120 °，BOC=60 °，又OA=OB=4 ， OC= OB=× 4=2 ， BC=OB?sin60° =4 ×=2，点 B 的坐标为（2， 2）；（ 2 ）抛物线过原点 O 和点

13、 A B，可设抛物线解析式为 y=ax 2+bx ，将 A（4，0），B（ 2 2）代入，得，解得，此抛物线的解析式为y= x2+x（ 3 ）存在，如图，抛物线的对称轴是 x=2 ，直线 x=2 与 x 轴的交点为 D ，设点 P 的坐标为（ 2 ，y ），若 OB=OP ，则 2 2+|y| 2 =4 2 ，解得 y= ±2 ，当 y=2时，在 Rt POD中， PDO=90 °， sin POD= ，POD=60 °，POB= POD+ AOB=60 ° +120 ° =180 °，即 P、 O、 B 三点在同一直线上， y=2

14、不符合题意，舍去，点 P 的坐标为（ 2， 2）若 OB=PB ，则 4 2 +|y+2|2=4 2，解得 y= 2，故点 P 的坐标为（ 2 ， 2），若 OP=BP ，则 22 +|y| 2=4 2+|y+2|2，解得 y= 2，故点 P 的坐标为（ 2 ， 2），综上所述，符合条件的点P 只有一个，其坐标为（2， 2），;.方法提炼：求一动点使三角形成为等腰三角形成立的条件，这种题型要用分类讨论的思想。因为要使一个三角形成为等腰三角形，只要三角形的任意两个边相等就可以，所以应该分三种情况来讨论。题型三：二次函数与四边形的综合问题例 6 ：综合与实践：如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=

15、x 2+2x+3与 x 轴交于 A B 两点，与y 轴交于点 C，点 D 是该抛物线的顶点（ 1 ）求直线 AC 的解析式及B，D 两点的坐标；（ 2 ）点 P 是 x 轴上一个动点，过P 作直线 l AC交抛物线于点Q ，试探究：随着P 点的运动，在抛物线上是否存在点Q ，使以点 AP、Q、C 为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请直接写出符合条件的点Q 的坐标；若不存在，请说明理由（ 3 ）请在直线AC 上找一点M ，使BDM的周长最小，求出M 点的坐标解析：（ 1）当 y=0时， x2 +2x+3=0，解得 x1 = 1 ，x 2 =3 点 A 在点 B 的左侧，A B 的坐标分别为（1

16、，0 ），（ 3， 0）当 x=0 时， y=3 C 点的坐标为（ 0 ， 3 ）设直线 AC 的解析式为y=k 1 x+b 1 （ k1 0 ），则，解得，直线 AC 的解析式为y=3x+3y= x 2+2x+3=（ x 1 ）2 +4 ，顶点 D 的坐标为（ 1 ， 4）（ 2 ）抛物线上有三个这样的点Q，当点 Q 在 Q 1 位置时， Q 1 的纵坐标为 3，代入抛物线可得点 Q 1 的坐标为（ 2 ，3 ）；当点 Q 在点 Q 2 位置时，点 Q 2 的纵坐标为 3 ，代入抛物线可得点 Q 2 坐标为（ 1+ ， 3）；当点 Q 在 Q 3 位置时，点Q3 的纵坐标为3 ，代入抛物线解

17、析式可得，点Q3 的坐标为（ 1， 3）；综上可得满足题意的点Q 有三个，分别为：Q 1（2 ，3 ），Q 2（1+， 3），Q 3（1， 3）（ 3 ）点 B 作 BB AC 于点 F，使 BF=BF ，则 B为点B 关于直线 AC 的对称点连接 BD 交直线 AC 与点 M ，则点 M 为所求，过点 B作BE x 轴于点 E 1 和2 都是3 的余角， 1= 2Rt AOC Rt AFB ，;.，由 A（ 1，0），B（3 ，0），C（0，3 ）得 OA=1 ，OB=3 ，OC=3 ，AC=， AB=4 ，BF=，BB=2BF=，由1= 2 可得 Rt AOC Rt BEB，即BE=， B

18、E=，OE=BE OB= 3=B点的坐标为（ ，）设直线 BD 的解析式为y=k 2x+b 2 （ k2 0 ），解得，直线 B'D 的解析式为： y=x+，联立 B'D 与 AC 的直线解析式可得：，解得，M 点的坐标为（，）方法提炼：求一动点使四边形成为平行四边形成立的条件，这种题型要用分类讨论的思想，一般需要分三种情况来讨论。;.题型四：二次函数与圆的综合问题例 7 ：如图，半径为 2 的C 与 x 轴的正半轴交于点A ，与 y 轴的正半轴交于点B，点 C 的坐标为（ 1，0 ）若抛物线 y3 x2 bx c 过 A 、 B 两点3（ 1 ）求抛物线的解析式；（ 2 ）在

19、抛物线上是否存在点P，使得PBO= POB？若存在，求出点P 的坐标；若不存在说明理由；（ 3 ）若点 M 是抛物线（在第一象限内的部分）上一点，的面积为MABS，求 S 的最大（小）值解析：（ 1）如答图1 ，连接 OB BC=2 ，OC=1OB=413B（0，3）将 A （ 3， 0）， B（ 0，3 ）代入二次函数的表达式3 93bc 0b23得3，解得：3，c3c3 y3 x223 x3 3 3（ 2 ）存在如答图 2 ，作线段OB 的垂直平分线l，与抛物线的交点即为点P B（0，3 ），O（0，0），直线 l 的表达式为 y3代入抛物线的表达式，2得 y3 x22 3 x33 ；33

20、2解得 x10，12 P（110， 3 ）2 2（ 3 ）如答图 3 ，作 MHx 轴于点 H 设 M （ xm， ym），;.则 S MAB=S 梯形 MBOH +S MHAS OAB=1 （ MH+OB） ?OH+1HA?MH 1OA?OB222= 1 ( ym3) xm1 (3 xm ) ym1 33222=3 xm3 ym33222 ym3 xm2 2 3 xm3 ，33S MAB3 xm3 (3 xm22 3 xm3)3 322332=3 xm 23 3 xm3 ( xm3)2 9322228当 xm3时， S MAB 取得最大值，最大值为93 28题型五：二次函数中的证明问题例 8

21、：如图11 ，已知二次函数y12)(axb) 的图像过点 A(-4 ，3 ）， B(4 ， 4).(x48（ 1 ）求二次函数的解析式：（ 2 ）求证： ACB 是直角三角形；（ 3 ）若点 P 在第二象限，且是抛物线上的一动点，过点P 作 PH 垂直 x 轴于点 H ，是否存在以P、H、D 、为顶点的三角形与 ABC 相似？若存在，求出点P 的坐标；若不存在，请说明理由。解：（ 1）将 A(-4，3 ）， B(4 ，4) 代人 y1 ( x2)(axb) 中，整理得：484a - b72解得a134ab 32b-20二次函数的解析式为：y1 (x2)(13x - 20)，48整理得：y13

22、x21 x - 5488620（ 2）由13 x21 x -50整理13x 26 x - 40 0x12, x213488620C （-2，0） D（ ，0）13从而有： AC 2=4+9BC 2=36+16AC 2 + BC 2=13+52=65AB 2=64+1=65 AC 2+ BC 2=AB 2故ACB 是直角三角形13x215（X<0 ）（3 ）设 p( x，8x - )486PH=13 x 21 x - 5HD=20 - xAC=13 BC= 213488613PHHD当PHD ACB 时有：BCAC;.13 x21 x - 520 - x13 x 25 x - 125即：

23、488 613整理0132132443950x220y135x1 -（舍去）此时，13131350 35 p1 (- ， ）13 13当DHP ACB 时有：DHPHACBC20- x13x21x -513 x217 x - 305即： 1348286整理0131348878x1122x220y128413-1313（舍去）此时，122284p2 (-，）13135035122284p2综上所述，满足条件的点有两个即p1 (-， ）(-，）13131313例 9 ： 在平面直角坐标系xOy 中，点 P 是抛物线： y=x 2 上的动点（点在第一象限内）连接OP ，过点 0作 OP 的垂线交抛物

24、线于另一点 Q 连接 PQ ，交 y 轴于点 M 作 PA 丄 x 轴于点 A ，QB 丄 x 轴于点 B设点 P 的横坐标为 m （ 1 ）如图 1 ，当 m=时，求线段 OP 的长和 tan POM的值；在 y 轴上找一点C，使OCQ是以 OQ 为腰的等腰三角形，求点C 的坐标；（ 2 ）如图 2 ，连接 AM 、BM ，分别与 OP 、 OQ 相交于点 D 、 E用含 m 的代数式表示点 Q 的坐标；求证：四边形 ODME 是矩形解析：（ 1）把 x=代入y=x 2 ，得 y=2 ，P（， 2 ），OP= PA丄 x 轴，PA MOtan P0M=tan 0PA= 设Q（ n， n 2

25、），tan QOB=tan POM，n=Q（，），OQ=当 OQ=OC时，则 C1（0 ，）， C2（ 0，）；当 OQ=CQ 时，则 C3 （ 0， 1）（ 2 ）Pm（， m 2），设Q （ n ， n 2 ），APOBOQ，得 n=，Q（，）;.设直线 PO 的解析式为： y=kx+b，把 P（ m ， m 2 ）、 Q（，）代入，得：解得 b=1 ，M（0， 1），QBO= MOA=90 °，QBOMOAMAO= QOB， QO MA同理可证：EM OD又 EOD=90 °，四边形 ODME 是矩形题型六：自变量取值范围问题例 10 ：如图，在平面直角坐标系xOy中

26、，四边形 ABCD 是菱形， 顶点 A CD 均在坐标轴上， 且 AB=5 ，sinB= （ 1）求过 A C D 三点的抛物线的解析式；（ 2）记直线 AB 的解析式为 y1=mx+n，（ 1 ）中抛物线的解析式为 y 2=ax 2+bx+c ，求当 y1 y2 时，自变量 x 的取值范围；（ 3）设直线 AB 与（ 1 ）中抛物线的另一个交点为E，P 点为抛物线上A E 两点之间的一个动点，当 P点在何处时，的PAE面积最大？并求出面积的最大值解析：（ 1）四边形 ABCD 是菱形， AB=AD=CD=BC=5， sinB=sinD=；Rt OCD中，OC=CD?sinD=4，OD=3 ；

27、OA=AD OD=2 ，即：A（ 2， 0）、B（ 5 ，4 ）、C（0，4）、D（3，0）；设抛物线的解析式为：y=a （x+2 ）（ x 3 ），得：2 ×（3 ） a=4 ， a= ；抛物线： y= x2 +x+4 （ 2 ）由 A （ 2 ，0 ）、 B（ 5 ， 4 ）得直线 AB ： y1= x ；由（ 1 ）得： y2= x2+ x+4 ，则：，;.解得：，；由图可知：当y1 y 2 时， 2 x5 （ 3 ）S APE= AE?h ，当 P 到直线 AB 的距离最远时， S最大； ABC若设直线 L AB，则直线 L 与抛物线有且只有一个交点时，该交点为点P；设直线 L： y= x+b ，当直线 L 与抛物线有且只有一个交点时， x+b= x2 + x+4 ，且=0