动态几何教学与动态几何实验环境的设计

1、動態幾何教學與動態幾何實驗環境的設計* 本文發表於第二屆全國學科教學改革試驗研究經驗交流會 杭州 2002/10澳門培道中學 副校長 韋輝樑2002/09前言長期以來幾何學研究的圖形都是靜態的，數學也被視為純理論的科學，與理、生、化等自然科學不同，在基礎教育中數學也從沒有實驗課。作者在30多年教學經驗的基礎上，經過10年對動態幾何和幾何實驗環境的研究和實踐，運用資訊技術開發了適合於初中平面幾何實驗教學的平台Plane Geometrics Laboratory PG_Lab(平面實驗室)。在國際、國內或地區性的研討會上作者發表過多篇關於數學實驗教學和數學實驗環境的論文，受到了與會專家、學者的認

2、同與贊嘗。 最近，在2002年國際數學家大會”衛星會議 -21世紀數學課程與教學改革國際學術研討會上獲得了20分鐘發言機會；最近在吉隆坡舉行的APICTA(亞太ICT年獎)活動中也獲得了特別提名大獎。本文旨在介紹動態幾何的概念、數學實驗環境設計的指導思想和數學實驗教學的意義，最後以一些例子介紹PG_Lab的部分功能和動態幾何教學的過程。一. 從圖形的性質談起 _ 動態幾何教學幾何學研究的對象是: 圖形及其之間的關係。幾何教科書上常用性質一詞，例如等腰三角形的性質，平行四邊形的性質等等。何謂圖形的性質? 1. 圖形的定義² 圖形通常是劃分為類別的，幾何學中研究的圖形

3、通常是指某一圖形類別而不是弧立圖形。例如等腰三角形，這裡，等腰三角形是一種類別，而不是一個特定的弧立的三角形。² 圖形類別是由圖形定義來劃分的，例如，有兩邊相等的三角形是等腰三角形，由此定義了等腰三角形這種圖形類別。因此，在幾何學中，定義是圖形研究的起點。² 圖形類別的定義是從眾多同類圖形中經歸納抽象得來的。是從眾多同類圖形中考察它們的共同特徵，選出其中一種特徵作為這類圖形的定義。例如，畫出眾多等腰三角形，考察後經歸納而發現，這類三角形有一些特徵，例如:有兩邊相等、底角相等、兩腰上的中線相等、兩腰上的高相等、是一個軸對稱圖形，選出其中有兩邊相等這一特徵作為等腰三角形的定義:

4、有兩邊相等的三角形稱為等腰三角形。考察共同特徵就是這種歸納抽象的過程，即定義的來龍去脈。圖形的定義不是人腦的產物，而由是歸納得來，忽略了這一點，就有從定義出發，從理論到理論之嫌。傳統數學教學就常犯這種毛病。2. 圖形的性質在幾何學中，圖形的性質是指同類圖形所具有的共同特徵。例如，等腰三角形兩底角相等是等腰三角形的性質之一。如上所述，圖形的性質是由考察後經歸納而發現的，因此學習和研究圖形性質的方法是:² 作出同一類別的眾多圖形；² 考察這些圖形的共同特徵；² 發現圖形的某項性質，以數學語言表達；² 由於作圖的有限性和不精確性，對此發現尋求邏輯證明。

5、8; 應用於解決問題。作圖 觀察(思考、分析) 發現(猜想) 證明 應用，是學習和研究幾何圖形性質的基本方法和道路。粉筆、黑板式的傳統教學，難以作出眾多的同類圖形，通常只能作出一、兩個圖形，缺乏眾多便難以考察他們的共性，更無從發現圖形的性質，習慣性的一兩個圖形容易產生圖形定勢，例如等腰三角形總是畫成正立的，學生對斜的等腰三角形難以接受和理解。缺少了前三個學習步驟，證明成了無源之水，無本之木，學生總有從何而來的疑問。不明白從何而來的結果只能是死記，不利於幾何的學習。人們常說眼見為實，眼見為實反映了人腦的思維方式和接受新事物的方式，不經過親自觀察發現或經驗過的知識總有多少疑和抗拒，這是人腦的特性。

6、只有達到相當理性的腦袋才能接受看不到的也會是真，只要你能證明。但是初中學生的腦袋只有少數人能有這樣的理性水平。 3. 動態幾何教學真正能作出眾多的同類圖形，無論在時間或空間上都有很大的困難，在40分鐘的課堂時空限制下幾乎不可能實現。一個可行的辦法是利用動態圖形，動態幾何圖形是這樣的圖形：(1) 它可以隨時被操控，可以很方便地改變其形狀、大小、方位等等，這樣的動態圖形可以代表了眾多；(2) 在圖形動態變化過程中其幾何性質不變，這樣的動態圖形可以代表了同類。將幾何圖形或幾何問題置於一個動態環境下，從動的觀點、以動的方法進行動態考察，讓學生親自動手、動腦，主動獲取知識，這樣的教學方法，稱之為動態幾何

7、教學，動態幾何教學是一種幾何教與學的全新的方法或模式。二.幾何實驗環境和幾何實驗教學1. 幾何實驗環境作者在數學實驗環境的設計*數學實驗環境的設計 韋輝樑 粵港澳信息技術教育研討會 (2001/4 香港)一文中提出數學實驗環境應該具備如下一些要素:² 數學實驗環境應能清晰地表達所研究的數學問題, 這種表達要符合數學的有關約定。² 數學實驗環境應能迅速地提供大量有關數學概念和規則的正例, 以幫助學生形成概念和掌握規則。² 數學實驗環境對所研究的數學元素應能進行動態操控和動態測量, 具有實時反饋或同步互動的功能。² 數學實驗環境允許在實驗過程中隨時添加某些可

8、操控的數學元素, 以幫助解決問題的探究。² 數學實驗強調要由學生直接操作，而不是眼看手勿動只能觀看的。本人創作的PG_Lab就是這樣的一個幾何實驗環境。2. 動態幾何實驗教學動態幾何實驗教學是在一特定的動態幾何實驗環境下進行的教學，在動態幾何實驗的環境中，學生可以方便地作出要學習的幾何圖形，這些圖形可以隨時被操控，在動態變化的過程中，圖形的幾何性質保持不變，這時圖形的性質就表現為圖形在動態變化過程中的不變性。通過在動態過程中進行觀察和思考，集中注意力於發現圖形的不變性，從而探究和發現圖形的性質。3. 動態幾何教學的意義² 動態幾何教學是一種全新的教學模式，幾何實驗教學大大改

9、變了傳統的幾何教學模式，對於傳統的教學模式是一種創新。² 動態幾何教學使幾何學習更符合幾何科學研究的規律, 有利於解決學生從何而來的疑問和無從著手的困難, 促進從知識的學習轉向方法的學習的轉變。² 動態幾何教學是建構主義學習理論的真實體現，真正體現教師主導、學生主動的教學理念，有利於提升學生的學習能力、提升學生的數學素質，培養學生的創思能力。* 數學實驗的教學環境和學習方法 韋輝樑 第四屆全球華人計算機教育應用大會(2000/04, 新加坡)² 動態幾何教學為數學課程改革、數學教材改革注入了新的素材。* 幾何實驗教學和數學課程改革 韋輝樑 國際數學家大會2002

10、, 重慶衛星會議 2002/08, 重慶)三. 數學實驗環境的設計1. 數學實驗環境設計的原則² 理論性原則建構主義學習理論是數學實驗環境設計的理論基礎，探究式、發現式學習法是數學實驗教學的基本方法，教師主導、學生主動是基本的教學理念。² 實用性原則配合教材，涵蓋教材內容，符號、名詞、述語貼近教科書，功能夠用而不過多，實用就可以了。正如作力學實驗時不必將電學實驗的設備擺出來一樣，一個包羅萬有的萬用實驗系統未必有利，根據不同的數學問題作成小系統，對於電腦技術掌握不多的中小學教師和學生更為適合，過於追求功能的完美和強大，勢必使系統複雜，學習費時，最終可能會使學生或教師卻步。&#

11、178; 先進性原則數學實驗環境的設計，在原理上，要以先進的教育理論為指導，在技術上，要吸收國內外已有數學軟件的優點，考慮技術進步的因素，結合本地教學的實際和資深教師的經驗，使設計的數學實驗環境達到先進。² 興趣性原則數學實驗環境的主要用戶是學生，數學實驗環境要能引發學生的興趣，要配合教材，考慮學生的年齡特徵和學習水平，適當地超越教材，使學習變得有趣味，有利於學生變被動學習轉向主動學習。² 易學易用原則實驗環境的設計必須考慮易學易用的原則我們不能要求一般學生和一般教師有很高的技術水平，數學實驗系統必須要有友好的用戶界面和面向用戶的操作說明以及足夠的示例。實驗過程採用一人一機

12、，強調學生親自動手操作。以作者經驗，無論對教師或學生操作學習不要超過5小時，否則實驗教學難以推廣。2. 為輔助教師教與輔助學生學的實驗平台現有的一些幾何實驗平台，多是以幫助教師教為設計的目標，這樣的平台，以向學生演示為主，圖形的製作、操控、實驗結論等均由教師課前準備好，學生是眼看手勿動只能觀看的。數學實驗教學強調學生親自動手操作，通過觀察、分析、思考、歸納而獲得猜想。所以，為幫助學生學而設計的數學實驗平台，以學生一人一機自己操控為學習環境，實驗結論由學生自己獲取。資訊技術的發明和發展本來是以代替人腦為目標，但是資訊技術用於教學上要以訓練人腦為目標，切忌以電腦代替人腦，教育界的人士對此要有十分清

13、醒的認識。以幫助教師教為設計目標與以幫助學生學為設計目標的數學實驗平台可以作如下簡單的比較:以幫助教師教為設計目標的實驗平台以幫助學生學為設計目標的實驗平台功能力求功能強大，越多越好，能集中數學各科內容最好。夠用即可，分科(函數、平幾、立幾、解幾等)作成小平台。學習與培訓教師需要相當時間進行培訓和學習。簡單易學，不需太多學習時間，1-2小時即可入門。實驗/演示前的準備通常要事前製作，而製作時間可能比教師寫備課筆記還長得多。多數可即興演示，也可事前製作。教學模式以演示為主，目的是幫助教師講解得更清楚。課堂上主要還是由教師講解。完全由學生操作，在操作過程中進行探究式和發現式學習。課堂上主要由生操作

14、，教師很少說話，只是作個別指導。作者創作的Plane Geometric Laboratory - PG_Lab，平面實驗室就是一個以幫助學生學為設計目標的幾何實驗環境。四. 動態幾何教學舉例例1. 已知: 如圖，AE=DE，AEDE，ABBC，DCBC，原命題: 求證: AB+DC=BC。新命題: 探究: AB、DC與BC的大小關係。(傳統教學採原命題，幾何實驗教學採新命題)作圖步驟:(1) 用工具作正方形ABCD；(2) 連結對角線AC；(3) 隱藏DA、CD，取消D點名稱，隱藏D點，改點B為E，改點C為D；(4) 過E作直線EK，(5) 用工具，過A作ABEK，過D作DCEK；(6) 用

15、工具，將ABE和ECD填色。觀察與分析(1) 稍為移動A點，目測觀察ABE和ECD，猜想到ABE _ ECD(2) AE=ED，AEDE (已知)(3) BEA _CDE (同角CED的餘角)(4) RtABE_RtECD ( _ )(5) AB_EC，DC_BE(6) BC = AB+DC² 原命題到此已完成，教學也到此為止。但用動態幾何的方法進行探究式學習，還可以繼續進行:實驗設計(1) 移動A點可分別得如下圖形。分析與發現(1) 當A、D在EK同側時，BC等於AB、DC之_；(和)(2) 當A、D在EK異側時，BC等於AB、DC之_；(差)後記(1) 按已知條件，原題只給出一種

16、圖形，結論只有一個: AB、CD之和等於BC；(2) 在PG_Lab上用動態幾何的方法進行探究式學習，發現原題可以有多種圖形，它們可分為兩類，一類圖形的結論是: AB、CD之和等於BC；而另一類圖形的結論是: AB、CD之差等於BC。(3) 將題目由原命題改為新命題，是一種開放式命題，實為探究式和發現式教學法。新命題沒有結論性語句，結論由學生進行探究後發現。有利於培養學生學會研究問題的方法，提高解決問題的能力，真正提高學生的數學素質。但是如果沒有幾何實驗平台的支持，這種命題方式只有增加教學的難度，學生更感無從著手，教學效果因拔苗助長而走向反面。(4) 學生由探究中發現了新結果，比原命題的學習更

17、為活潑生動、印象深刻、有趣樂學，而且比原命題學得更多和更好。有利於提高學生的學習能力和創新能力。例2. 等腰三角形的性質傳統教科書關於等腰三角形有3條性質定理，3條判定定理，需時4課時。在動態幾何實驗環境中學習的過程可以如下:實驗步驟1. 作任意ABC；2. 作AD為ABC的高；3. 作AE為ABC 頂角A的平分線；4. 作AF為ABC底邊BC上的中線；5. 測量AB和AC的長度；觀察與發現1. 移動A點向中間靠攏，發現: 高、角平分線與中線(三線)也_ (靠攏)_；2. 移動A點，當測量值AB=AC時，這時圖形有 (三線重合) 。猜想:如果ABC是等腰三角形。則ABC (三線重合) 。換句話

18、說:換句話說:² 如果ABC是等腰三角形，則 (底邊上的高平分頂角) (高與頂角平分線重合)。² 如果ABC是等腰三角形，則 (底邊上的高平分底邊) (高與中線重合)。² 如果ABC是等腰三角形，則 (頂角平分線平分底邊) (角平分線與中線重合)。3. 移動A點，當三線重疊時停止，這時測量值有 (AB = AC) ；猜想:如果三線重合，則ABC是 (等腰三角形) 。換句話說:² 如果ABC底邊上的高平分頂角(高與頂角平分線重合)，則ABC是(等腰三角形) 。 ² 如果ABC底邊上的高平分底邊(高與中線重合)，則ABC是 (等腰三角形) 。² 如果ABC頂角平分線平分底邊(角平分線與中線重合)，則ABC是(等腰三角形) 。後記1. 在實驗教學下，由學生自己發現關於等腰三角形的3條性質定理和3條判定定理(猜想)。而在傳統教學下，學生是靠背誦和記憶的。2. 學習效率的提高使教師有時間引導學生在自己探究和發現的基礎上，學習用數學語言表達6個定理。使學