函数单调性、极值B班讲义

1、标题：函数的单调性、极值与最值教学目标: 1.会利用导数判定函数的单调区间； 2.掌握极值的第一判定定理判定函数的极值； 3.了解极值的第二判定定理判定函数的极值；4.会求简单函数的最值。教学重点及难点：教学重点： 1.函数的单调区间的求法；2.函数极值的判定。教学难点：1.函数的极值的判定。教 学 内 容 （教 学 时 数： 4课时 ）1、 内容精讲一.函数的单调性如果函数在上单调增加（单调减少），那么它的图形是一条沿轴正向上升（下降）的曲线,如图a，这时曲线各点处的切线斜率是非负的（是非正的），即（或). 图a图形上升时切线斜率非负 图b图形下降时切线斜率非正定理1 设函数在上连续，在内可

2、导，则有:(1) 如果在内,，那么一函数在a.b上严格单调增加；(2) 如果在内，那么，函数在a.b上严格单调减少.其中，单调增加和单调减少的函数统称为单调函数，a,b 称为单调区间.备注： 例1. 讨论函数的单调性.解 函数的定义域为,且， 令得 在区间内，所以函数在内单调增加；又在区间内，所以函数在内单调减少.例2. 讨论函数的单调性.解 所给函数的定义域为(,)，列表如下（）（1,+）+-+由此可知，在内及内函数单调增加；在内函数单调减少. 例3. 讨论函数的单调性.解 函数的定义域是,故函数在其定义域内是单调增加的.说明：确定函数如的单调步骤是：(1)确定函数定义域，求出及不存在的点备

3、注：(2)用导数为零的点及不可导点分割的定义域(3)讨论每个分割区间上符号，根据的符号确定的单调性. 例4. 讨论函数的单调性。解 函数在上有定义，.令，得.因为在上，所以函数在单调增加；在上，所以函数在单调减少.例5. 确定函数的单调区间. 解 函数的定义域为(-¥, +¥). 函数的导数为，导数为零的点有两个: ， . 列表分析: (-¥, 11, 22, +¥)+-+函数在区间和内单调增加, 在区间1, 2上单调减少. 二、函数的极值定义1 设函数在的某邻域内有定义，若对该邻域内任一点恒有：（1）,则称是函数的极大值，并称为的极大值点；（2）,则称

4、是函数的极小值，并称为的极小值点.函数的极大值与极小值统称为函数的极值，极大值点和极小值点统称为极值点.备注：图c关于极值的概念，还需注意如下几点：（1）函数在同一区间上可能有几个极小值，如图c所示，均是的极小值，均是的极大值.（2）函数的极大值未必比极小值大，如图c,的极小值大于极大值.（3）函数的极值一定出现在区间内部，在区间端点不能取得极值.观察图c，我们可以发现，可导函数在取得极值处的切线是水平的，即极值点处必有，于是得出如下定理：定理2（极值的必要条件） 设在点处可导，且在点处取得极值，则必有.使导数等于零的点叫做函数的驻点.定理7可以简记为:可导的极值点必是驻点.关于定理7，需要注

5、意几点：（1） 驻点不一定是的极值点.如是函数的驻点，但不是极小值点；（2） 函数的极值点未必是驻点.如是函数的极小值点，但不存在.备注：定理3（极值的第一充分条件） 设在点连续,在点的某一邻域内可导，且（或不存在)，如果在该邻域内（1）当时，;当时，则为的极大值点；（2）当时，;当时，,则为的极小值点.如果在的两侧保持相同符合，则不是的极值点.如图5.4. 图5.4例1. 求的极值与极值点.解 函数的定义域为（）,令得函数的驻点，在（）内存在列表分析：（）01（1,+）0+0+极小值非极值为所给函数的极小值点，极小值.例2. 求的极值与极值点.解 函数的定义域为（），且,得到不可导点,列表分

6、析：（）0（）不存在+极小值所以为函数的极小值点，极小值.定理4（判定极值的第二充分条件） 设函数在点处是有二阶导数，且，则（1） 当时，为的极大值点；（2）当时, 为的极小值点.例3. 求函数=的极值.解 的定义域为（),= ，=,令=0得驻点，因, 故 为极大值；又因 故为极小值.例4. 求函数=的极值.解 的定义域为（） ，,令 得驻点, 所以 为极小值.三.函数的最值 求函数的最值问题也就是求函数在一定范围内的最大值或最小值问题.在生产实践中，为了提高经济效益，必须考虑在一定的条件下，怎样才能使用料最省，费用最低，收益最大等问题，这类问题都归结为最值问题.定义1 设函数=在闭区间上连续

7、，若存在,使对任意,均有（）成立，则称为函数在区间上的最大（小）值，点称为在区间上的最大（小）值点，最大值和最小值统称为最值.前面我们已经知道：闭区间上的连续函数一定存在着最大值和最小值，显然连续函数在闭区间上的最大值和最小值是能在区间内的极值点和区间端点处达到，因此可直接求一切可能的极值点，（包括驻点和不可导点）和端点处的函数值，比较这些函数值的大小，即可得出函数的最大值和最小值.例5. 求函数=在上的最大值和最小值.解 因为=在上连续，所以在上存在着最大值和最小值，又因为 =,令得驻点,由于比较各值可得函数的最大值为，最小值为. 例6.（利润问题） 某商品现在的售价为每件60元，每星期可卖出300件，市场调查反映：每涨价1元，每星期少卖10件，已知商品的进价为每件40元，如何定价才能使利润最大？解 设每件涨价元，利润为元，则，令驻点是,所以时，利润取得极大值，即最大值，即定价定为65元时，利润最大.三、同步练习：1.求下列函数的单调区间.（1） （2） （3） （4）