2012版高三数学一轮 8.2 直线与圆精品复习学案

1、2012版高三数学一轮精品复习学案：第八章 平面解析几何第二节 直线与圆【高考目标导航】一、圆的方程（一）考纲点击1、掌握确定圆的几何要素，掌握确定圆的标准方程与一般方程；2、初步了解用代数方法处理几何问题的思想。（二）热点提示1、圆的标准方程和一般方程以及圆的几何性质是高考考查的重点；2、多以选择、填空的形式出现，属中低档题目。二、直线、圆的位置关系（一）考纲点击1、能根据给定直线、圆的方程判断直线与圆的位置关系；能根据给定两个圆的方程判断两圆的位置关系；2、能用直线和圆的方程解决一些简单的问题；3、初步了解用代数方法处理几何问题的思想。（二）热点提示1、直线与圆，圆与圆的位置关系特别是直线

2、与圆相切一直是高考考查的重点和热点，主要考查：（1）方程中含有参数的直线与圆的位置关系的判断；（2）利用相切或相交的条件确定参数的值或取值范围；（3）利用相切或相交求圆的切线或弦长。2、本部分在高考试题中多为选择、填空题，有时在解答题中考查直线与圆位置关系的综合问题。【考纲知识梳理】一、圆的方程1圆的定义（1）在平面内，到定点的距离等于定长的点的集合叫做圆。（2）确定一个圆的要素是圆心和半径。2圆的方程圆的标准方程圆的一般方程方程圆心坐标（a,b）半径r注：方程表示圆的充要条件是3点与圆的位置关系已知圆的方程为，点。则：（1）点在圆上：；（2）点在圆外：；（3）点在圆内：。4确定圆的方程方法和

3、步骤确定圆的方程主要方法是待定系数法，大致步骤为：（1）根据题意，选择标准方程或一般方程；（2）根据条件列出关于a,b,r或D、E、F的方程组；（3）解出a,b,r或D、E、F代入标准方程或一般方程。注：用待定系数法求圆的方程时，如何根据已知条件选择圆的方程？（当条件中给出的是圆上几点坐标，较适合用一般方程，通过解三元方程组求相应系数；当条件中给出的是圆心坐标或圆心在某条直线上、圆的切线方程、圆弦长等条件，适合用标准方程。对于有些题，设哪种形式都可以，这就要求根据条件具体问题具体分析。）二、直线、圆的位置关系1直线与圆的位置关系位置关系相离相切相交公共点个数0个1个2个几何特征（圆心到直线的距

4、离，半径）代数特征（直线与圆的方程组成的方程组）无实数解有两组相同实数解有两组不同实数解注：在求过一定点的圆的切线方程时，应首先判断这点与圆的位置关系，若点在圆台上，则该点为切点，切线只有一条；若点在圆外，切线应有两条，谨防漏解。2圆与圆的位置关系位置关系外离外切相交内切内含公共点个数01210几何特征（圆心距，两圆半径，）代数特征（两个圆的方程组成的方程组）无实数解一组实数解两组实数解一组实数解无实数解【要点名师透析】一、圆的方程（一）圆的方程的求法相关链接1确定圆的方程的主要方法是待定系数法。如果选择标准方程，即列出关于a、b、r的方程组，求a、b、r或直接求出圆心（a,b）和半径r.2如

5、果已知条件中圆心的位置不能确定，则选择圆的一般方程。圆的一般方程也含有三个独立的参数，因此，必须具备三个独立的条件，才能确定圆的一般方程，其方法仍采用待定系数法。设所求圆的方程为：由三个条件得到关于D、E、F的一个三元一次方程组，解方程组确定D、E、F的值。3以为直径的两端点的圆的方程为注：在求圆的方程时，常用到圆的以下必修性质：（1）圆心在过切点且与切线垂直的直线上；（2）圆心在任一弦的中垂直上；（3）两圆心或外切时，切点与两圆圆心三点共线。例题解析例求与x轴相切，圆心在直线3x-y=0上，且被直线x-y=0截得的弦长为的圆的方程。思路解析：由条件可设圆的标准方程求解，也可设圆的一般方程，但

6、计算较繁琐。解答：（方法一） 设所求的圆的方程是，则圆心(a,b)到直线x-y=0的距离为，,即由于所求的圆与x轴相切，又因为所求圆心在直线3x-y=0上，3a-b=0联立，解得a=1,b=3,=9或a=-1,b=-3, =9.故所求的圆的方程是：（方法二）设所求的圆的方程是x2+y2+Dx+Ey+F=0，圆心为，半径为令y=0，得x2+ Dx+ F =0，由圆与x轴相切，得=0，即D2-4F又圆心到直线x-y=0的距离为,由已知，得,即=又圆心在直线3x-y=0上，3D-E=0联立，解得D=-1，E=-6，F=1或D=2，E=6，F=1。故所求圆的方程是=0或（二）与圆有关的最值问题相关链接

7、1求与圆有关的最值问题多采用几何法，就是利用一些代数式的几何意义进行转化。如（1）形如m=的最值问题，可转化为动直线斜率的最值问题；（2）形如t=ax+by的最值问题，可转化为直线在y轴上的截距的最值问题；（3）形如m=的最值问题，可转化为两点间的距离平方的最值问题。2特别要记住下面两个代数式的几何意义：表示点(x,y)与原点（0，0）连线的直线斜率，表示点（x,y）与原点的距离。例题解析例已知实数、满足方程。（1）求的最大值和最小值；（2）求-的最大值和最小值；（3）求的最大值和最小值。思路解析：化，满足的关系为理解，-，的几何意义根据几何意义分别求之。解答：（1）原方程可化为，表示以（2，

8、0）为圆心，为半径的圆，的几何意义是圆上一点与原点连线的斜率，所以设=，即。当直线与圆相切时，斜率取最大值或最小值，此时，解得=±。所以的最大值为，最小值为（2）-可看作是直线y=x+b在y轴上的截距，当直线y=x+b与圆相切时，纵截距b取得最大值或最小值，此时，解得。所以-的最大值为，最小值为。（3）表示圆上的一点与原点距离的平方，由平面几何知识知，在原点与圆心连线与圆的两个交点处取得最大值和最小值。又圆心到原点的距离为，所以的最大值是，的最小值是。（三）与圆有关的轨迹问题相关链接1解决轨迹问题，应注意以下几点：（1）求方程前必须建立平面直角坐标系（若题目中有点的坐标，就无需建系）

9、，否则曲线就不可转化为方程。（2）一般地，设点时，将动点坐标设为（x,y），其他与此相关的点设为等。（3）求轨迹与求轨迹方程是不同的，求轨迹方程得出方程即可，而求轨迹在得出方程后还要指出方程的曲线是什么图形。2求轨迹方程的一般步骤：（1）建系：设动点坐标为（x,y）；（2）列出几何等式；（3）用坐标表示得到方程；（4）化简方程；（5）除去不合题意的点，作答。例题解析例设定点M（-3，4），动点N在圆上运动，以OM、ON为两边作平行四边形MONP，求点P的轨迹。思路解析：先设出P点、N点坐标，根据平行四边形对角线互相平分，用P点坐标表示N点坐标，代入圆的方程可求。解答：如图所示，设P（x,y），

10、N，则线段OP的中点坐标为，线段MN的中点坐标为。因为平行四边形的对角线互相平分，故。N（x+3,y-4）在圆上，故。因此所求轨迹为圆：，担应除去两点：（点P在OM所在的直线上时的情况）。（四）有关圆的实际应用例有一种大型商品，A、B两地都有出售，有价格相同，某地居民从两地之一购得商品后运回的费用是：A地每公里的运费是B地每公里运费的3倍。已知A、B两地距离为10公里，顾客选择A地或B地购买这件商品的标准是：包括运费和价格的总费用较低。求P地居民选择A地或B地购物总费用相等时，点P所在曲线的形状，并指出曲线上、曲线内、曲线外的居民应如何选择购物地点？思路解析：根据条件，建立适当坐标系，求出点P

11、的轨迹方程，进而解决相关问题。解答：如图，以A、B所在的直线为x轴，线段AB的中点为原点建立直角坐标系，|AB=10，A（-5，0），B（5，0）。设P（x,y）,P到A、B两地购物的运费分别是3a、a（元/公里）。当由P地到A、B两地购物总费用相等时，有：价格+A地运费=价格+B地运费，3a·=a·.化简整理，得（1）当P点在以（-，0）为圆心、为半径的圆上时，居民到A地或B地购物总费用相等。（2）当P点在上述圆内时，当P点在上述圆外时，注：在解决实际问题时，关键要明确题意，掌握建立数学基本模型的方法将实际问题转化为数学问题解决。二、直线、圆的位置关系（一）直线和圆的位置

12、关系相关链接直线和圆的位置关系的判定有两种方法（1）第一种方法是方程的观点，即把圆的方程和直线的方程联立组成方程组，转化为一元二次方程，再利用判别式来讨论位置关系，即>0直线与圆相交;=0直线与圆相切;<0直线与圆相离.（2）第二种方法是几何的观点，即将圆心到直线的距离d与半径r比较来判断，即d<r直线与圆相交；d>r直线与圆相切；d=r直线与圆相离。例题解析例已知圆（1）求证：不论m为何值，圆心在同一直线上；（2）与平行的直线中，哪些与圆相交、相切、相离；（3）求证：任何一条平行于且与圆相交的直线被各圆截得的弦长相等。思路解析：用配方法将圆的一般方程配成标准方程，求出

13、圆心坐标，消去m就得关于圆心的坐标间的关系，就是圆心的轨迹方程；判断直线与圆相交、相切、相离，只需比较圆心到直线的距离d与圆半径的大小即可；证明弦长相等时，可用几何法计算弦长。解答：（1）配方得：设圆心为(x,y)，则，消去m得则圆心恒在直线。（2）设与平行的直线是：，（3）对于任一条平行于且与圆相交的直线：，由于圆心到直线的距离（与m无关）。弦长=任何一条平行于且与圆相交的直线被各圆截得的弦长相等。（二）圆与圆的位置关系相关链接1判断两圆的位置关系常用几何法，即用两圆圆心距与两圆半径和与差之间的关系，一般不采用代数法；2若两圆相交，则两圆公式弦所在直线的方程可由两圆的方程作差消去项即可得到；

14、3两圆公切线的条数（如下图）（1）两圆内含时，公切线条数为0；（2）两圆内切时，公切线条数为1；（3）两圆相交时，公切线条数为2；（4）两圆外切时，公切线条数为3；（5）两圆相离时，公切线条数为4。因此求两圆的公切线条数主要是判断两圆的位置关系，反过来知道两圆公切线的条数，也可以判断出两圆的位置关系。例题解析例求经过两圆和的交点，且圆心在直线xy4=0上的圆的方程思路解析：根据已知，可通过解方程组得圆上两点，由圆心在直线xy4=0上，三个独立条件，用待定系数法求出圆的方程；也可根据已知，设所求圆的方程为，再由圆心在直线xy4=0上，定出参数，得圆方程解答：因为所求的圆经过两圆（x+3）2+y2

15、=13和x2+（y+3）2=37的交点，所以设所求圆的方程为展开、配方、整理，得+=+圆心为，代入方程xy4=0，得=7故所求圆的方程为注：圆C1：x2+y2+D1x+E1y+F1=0，圆C2：x2+y2+D2x+E2y+F2=0，若圆C1、C2相交，那么过两圆公共点的圆系方程为（x2+y2+D1x+E1y+F1）+（x2+y2+D2x+E2y+F2）=0（R且1）它表示除圆C2以外的所有经过两圆C1、C2公共点的圆 （三）圆的切线及弦长问题相关链接1求圆的切线的方法（1）求圆的切线方程一般有两种方法：代数法：设切线方程为与圆的方程组成方程组，消元后得到一个一元二次方程，然后令判别式=0进而求

16、得k。几何法：设切线方程为利用点到直线的距离公式表示出圆心到切线的距离d，然后令d=r，进而求出k。两种方法，一般来说几何法较为简洁，可作为首选。注：在利用点斜式求切线方程时，不要漏掉垂直于x轴的切线，即斜率不存在时的情况。（2）若点在圆上，则M点的圆的切线方程为。2圆的弦长的求法（1）几何法：设圆的半径为r，弦心距为d，弦长为L，则。（2）代数法：设直线与圆相交于两点，解方程组消y后得关于x的一元二次方程，从而求得则弦长为。（四）直线、圆位置关系的综合应用例如图，矩形的两条对角线相交于点，边所在直线的方程为, 点在边所在直线上（I）求边所在直线的方程；（II）求矩形外接圆的方程； （III）

17、若动圆过点，且与矩形的外接圆外切，求动圆的圆心的方程解答：（I）因为边所在直线的方程为，且与垂直，所以直线的斜率为又因为点在直线上，所以边所在直线的方程为-3分（II）由解得点的坐标为， -4分因为矩形两条对角线的交点为所以为矩形外接圆的圆心 -6分又从而矩形外接圆的方程为-9分（III）因为动圆过点，所以是该圆的半径，又因为动圆与圆外切，所以，即-11分故点的轨迹是以为焦点，实轴长为的双曲线的左支因为实半轴长，半焦距所以虚半轴长从而动圆的圆心的轨迹方程为 -14分【感悟高考真题】1（2011·安徽高考文科·4）若直线过圆的圆心，则的值为（） （A）-1 （B） 1 （C）

18、3 （D）-3【思路点拨】将圆的方程化为标准形式，得到圆心坐标，代入直线方程求出.【精讲精析】选B.圆的方程可变形为，所以圆心坐标为（-1,2），代入直线方程得.2（2011·江西高考理科·9）若曲线：2=0与曲线:有四个不同的交点，则实数m的取值范围是 （ ）(，） B. （，0）（0，）C. ， D.( , )(,+)【思路点拨】先根据方程y(y-mx-m)=0,得出y=0或y-mx-m=0，再根据直线与圆的位置关系，易得m的取值范围.【精讲精析】选B.3（2011·江苏高考·14）设集合, , 若 则实数m的取值范围是_【思路点拨】本题考查的是直线

19、与圆的位置关系，解题的关键是找出集合所代表的几何意义，然后结合直线与圆的位置关系，求得实数m的取值范围.【精讲精析】答案：由得，所以或.当时，且，又，所以集合A表示的区域和集合B表示的区域无公共部分；当时，只要或解得或，所以，实数的取值范围是.4（2011·新课标全国高考文科·20）在平面直角坐标系xOy中，曲线与坐标轴的交点都在圆C上（）求圆C的方程；（）若圆C与直线交于A，B两点，且，求a的值.【思路点拨】第（1）问，求出曲线与坐标轴的3个交点，然后通过3个点的坐标建立方程或方程组求得圆C的方程;第（2）圆，设，利用直线方程与圆的方程联立，化简，最后利用待定系数法求得的

20、值.【精讲精析】（）曲线与坐标轴的交点为（0,1）（3故可设圆的圆心坐标为（3， t）则有+解得t=1,则圆的半径为.所以圆的方程为.（）设A( B(其坐标满足方程组消去y得到方程由已知可得判别式=56-16a-4>0由韦达定理可得， 由可得又.所以2 由可得a=-1,满足>0，故a=-1.【考点精题精练】一、选择题1已知圆与轴的两个交点为、，若圆内的动点使、成等比数列，则的取值范围为-（ ）（A） （B） （C） （D）答案:B2已知圆C与圆(x1)2y21关于直线yx对称，则圆C的方程为（ ）A.(x1)2y21 B.x2y21C.x2(y1)21 D.x2(y1)21答案:C

21、3直线与圆相切，则的值为（ ）A. 0 B. C.2 D. 答案:A4已知为圆的两条互相垂直的弦，交于点，则四边形面积的最大值为-（ ）A 4 B 5 C 6 D 7答案:B5两圆的位置关系是（ ）A内切B外切C相离D内含答案:B 6直线x+y+1=0与圆的位置关系是 （ ） A.相交 B.相离 C.相切 D.不能确定答案：C提示：圆心，7已知圆的方程为，设圆中过点的最长弦与最短弦分别为、，则直线与的斜率之和为（ ）(A) (B) (C) (D) 答案:B8经过圆的圆心且斜率为1的直线方程为（ ）A B C. D答案:A9若直线ykx1与圆x2y21相交于P、Q两点，且POQ120°

22、(其中O为原点)，则k的值为（ ）A、± B、± C、± D、±答案:A10已知点P（x，y）是直线kx + y + 4 = 0（k > 0）上一动点，PA、PB是圆C：的两条切线，A、B是切点，若四边形PACB的最小面积是2，则k的值为（ ）A3BCD2答案：D11已知圆的半径为2，圆心在x轴的正半轴上，且与直线相切，则圆的方程是（ ）ABCD答案:A12如图，点P(3，4)为圆上的一点，点E，F为y轴上的两点，PEF是以点P为顶点的等腰三角形，直线PE，PF交圆于D，C两点，直线CD交y轴于点A，则sinDAO的值为 ( )A B C D答案:A二、填空题13如图，点A、B、C是圆O上的点，且AB=4，则圆O的面积等于答案: 14圆C: （为参数）的圆心坐标是 ；若直线与圆C相切，则的值为 .答案: 015已知直线与圆相交于、两点，则·= 答案: 16已知实数成等差数列，点在