江苏省苏北三市(连云港、徐州、宿迁)2017届高三数学第三次模拟考试试题(含解析)

1、江苏省苏北三市（连云港、徐州、宿迁）2017 届高三数学第三次模拟考试试题（含解析）参考公式：样本数据.的方差，其中.二.1 = 11n i = I1棱锥的体积，其中.是棱锥的底面积，是高一、填空题：本大题共 14 小题，每小题 5 分，共计 70 分请把答案填写在答题卡相应位置.上.1.已知集合-:-i巴，J .：.,；,则集合A U A 中元素的个数为_.【答案】【解析】由于 Ell；.h ,所以集合.二.I I 中元素的个数为 5.【点睛】根据集合的交、并、补定义：W:L、，二L -，匚,求出. I . I ,可得集合.； I 中元素的个数.2.设扛 b E R ,上二 a + bi （

2、i 为虚数单位），则 I的值为_ .l-i【答案】1【解析】由于.：- ：I，- * ,有一丨-.:，得I .-.3._在平面直角坐标系 xOy 中，双曲线二 1 的离心率是 _ .43【答案】【解析】! :.二.：；, I - - , .I.4. 现有三张识字卡片，分别写有“中”、“国”、“梦”这三个字.将这三张卡片随机排序，则能组成“中国梦”的概率是.【答案】【解析】把这三张卡片排序有“中” “国”“梦”，“中”“梦”“国”，“梦”“中”“梦”“中”“国”；“梦”“国”“中”；国”“中”“梦”； “国”【点睛】本题为古典概型，三个字排列可采用列举法，把所有情况按顺序一、一列举出来,共计 6

3、 种，能组成“中国梦”的只有 1 种，概率为-3 -写出基本事件种数，再找出符合要求的基本事件种数，再利用概率公式率值.5._ 如图是一个算法的流程图，则输出的的值为 _ .【答案】【解析】试题分析：由 I” 、.，#：得!.,再由题意知 I . .考点：算法流程图的识读和理解.6.已知一组数据，则该组数据的方差是【答案】（或.）【解析】X =6+9+B 4 4）=仏世=+（6-6）2+ （Df / + 的一）+（4-s/j = 7y 2,【答案】.；（或L）【解析】本题为线性规划，画出一元二次不等式组所表示的可行域，目标函数为斜率型目标函数，表示可行域内任一点与坐标原点.连线的斜率，得出最优

4、解为【点睛】线性规划问题为高考热点问题，线性规划考查方法有两种，一为直接考查，目标m-,则的取值范围是4 -J I _ ，求出概fl-4 -函数有截距型、斜率型、距离型（两点间距离和点到直线距离）等，二为线性规划的逆向思维型，给出最优解或最优解的个数反求参数的范围或参数的值8.若函数、：，“.：i I -:的图象过点，则函数| ：.在|上的单调减区间是_ .【答案】，匚二（或）圧7L12*【解析】函数 I I 的图象过点，则 代二恵（5巽、把*、*託、, , .I“；匕工 汨，：-*：,有于:.，s、在为减函数，所以：，解得. .- .Ed*占I &IE【点睛】根据函数图象过已知点，求出皿旳，

5、借助 e 的范围求岀出的值*求三角函数在某一区间上的最值及单调区间时，务必要注黑?范围优先原则”,根据兀的范围研究g +出的范围*有时还要关注A的符号，因此当自变暈有范围限制时,解题更要丿卜卜失误.9.在公比为且各项均为正数的等比数列 中， 为的前项和.若，且3S5= SE+ 2,则的值为【答案】5-12【解析】m2，” a十 Zq - ，1-1io.如图，在正三棱柱 m 中，已知- 一、点在棱上，则三棱锥的体积为_.-5 -B【答案】【解析】由已知一上,一三：厂-三,由于，平面， ，所以IL朋MVP-AI1 =VC-ARAL=VA（-ARC二3SAABCAA1=3T3 =T【点睛】求三棱锥的

6、体积要注意利用体积转化，以方便计算体积转化方法有平行转化法、比例转化法、对称转化法用上述方法交换顶点的位置，此外还经常利用底面的关系交换底 面，利用图形特点灵活转化，达到看图清楚，计算简单的目的11.如图，已知正方形 工 1：啲边长为，平行于轴，顶点，和分别在函数：- . 比=21 心&和和=1O 氐 A 1）的图象上，则实数的值为 _ .【答案】【解析】由于顶点，和分别在函数冷-匸乜.：、，乜 n 魯專和（:）的图象上，设 .i I . I ： ,:：、.宀： I H ：、 I ,由于时平行于轴，贝也：I : .： -有-A |：-：.-.、. _ 二，解得 ，又 HH：-.：- ：,、-二

7、则“二：二.二 J.【点睛】由于正方形三个顶点在对数函数图像上，且平行于轴，则轴，因此可以巧设出三点的坐标，利用两点纵坐标相等，横坐标之差的绝对值为边长 2,以及：.两点横坐标相等，纵坐标之差的绝对值为边长2,解答出本题.12.已知对于任意的:.、！ ： ： . 乜,都有-.：、：，则实数的取值范围是_.-6 -【答案】.（或）【解析】利用一元二次方程根的分布去解决，设当 | | ； :| |.，时，即| !时，；.；：对、.f 恒成立；当汁二 1 时，I：，不合题意；当. I 时，i；：l:符合题意；A 0a 4当时，;，即，即：f（5） 0a 5综上所述：实数的取值范围是.【点睛】有关一元

8、二次方程的根的分布问题，要结合一元二次方程和二次函数的图象去作，要求函数值在某区间为正，需要分别对判别式大于零、等于零和小于零进行分类研究，注意控制判别式、对称轴及特殊点的函数值的大小，列不等式组解题13.在平面直角坐标系中，圆 2 -若圆存在以为中点的弦：，且人 R 二 2G0 ,则实数的取值范围是 _【答案】一.，.（或一）【解析】由于圆存在以为中点的弦：，且住=门囂，所以 3 丨卅，如图，过点作圆的两条切线，切点分别为- I:,圆上要存在满足题意的点，只需i；I - ：.：,即/ .：,连接，：匕.:山，由于二 T_X：, 丨川 I -：.”|CE|赢Q 血 rr-:，解得七匚- 応.【

9、点睛】已知圆的圆心在直线上，半径为，若圆存在以为中点的弦：，且AR = 2G0，说明 0A 丄 OR,就是说圆上存在两点 A - R,使得 0A 丄 0B.过点作圆的两条切 线，切点分别为：:- 11,圆上要存在满足题意的点，只需山-,即.i：.j.-:则只需=列出不等式解出的范围-7 -14._ 已知 低三个内角，的对应边分别为，且 =,亡二 2 当丘-忌取得最大 值时，的值为-8 -【答案】【解析】设的外接圆半径为y.二.sinC 3hh.2. 恥用 .24谄AC - AB - -cosAsin( - AJ = -cosAt cosA + sinA) - 4cos A +s inAcosA

10、【点睛】已知三角形的一边及其所对的角，可以求出三角形外接圆的半径，利于应用正弦定理“边化角”“角化边”，也利于应用余弦定理具备这样的条件时要灵活选择解题路线,本题采用先“边化角”后减元的策略，化为关于角的三角函数式，根据角的范围研究三角函 数的最值，从角的角度去求最值，由于答案更加准确，所以成为一种通法，被更多的人采用二、解答题：本大题共 6 小题，共计 90 分请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字 说明、证明过程或计算步骤.15.如图，在中，已知点在边：上，沁-观册，嵌=?,：、 -,13(1) 求 M 戒的值;(2) 求的长.【答案】(1) (2)【解析】试题分析：根据平方关系由:：

11、述或求出- ： ，利用，：. II：求出 iJI. I，根据三角形内角和关系利用和角公式求出，利用正弦定理求出：，根据曲-；述监，计算，最后 利用余弦定理求出：工.AC ABbccosA =2bcosA= 2-T-sinBcosA=2(1 + cos2A) + sin2A二sinSA + 2cos2A + 2UL?(|sin2A +cos2A).，i;取得最大值为，此时.A.v 中，i -33ST .即Jb7 3T-9 -试题解析：(1)在二辽込:中，：“-,;.(：1；门A所以: -.: :同理可得，:L J所以. I-:=sinAi?in2CACR - cosAros.ZACB312451

12、6-n - - x =.5135IB65BC13 L2(2)在中，由正弦定理得，二二 二二心5又总:：i 制恶，所以- If -匚4在中，由余弦定理得，(；-V：JJ 22二|5+ 13- 2X5K13X = 9屁.【点睛】凑角求值是高考常见题型，凑角求知要“先备料”后代入求值，第二步利用正弦定 理和余弦定理解三角形问题，要灵活使用正、余弦定理，有时还要用到面积公式，注意边角 互化16.如图，在四棱锥m 处中，底面汕:I是矩形，点在棱上(异于点，)，平面与棱小交于占J八、(1)求证： II(2)若平面I，.平面汇炉，求证：.11【答案】(1) (2)【解析】试题分析：禾 U 用线面平行的判定定

13、理由 汕说明农.打平面，再由线面平行的性质定理，说明线线平行；由面面垂直的性质定理，平面内一条直线垂直交线，说明线面垂直，利用线面垂直的判定定理说明线面垂直(1)因为是矩形，所以|又因为 .平面I.C,平面 Hi.,所以厂|平面.又因为平面如二，平面 磁汪 ji 平面.订匸 II所以- II(2)因为 是矩形，所以：_ :二-10 -又因为平面_平面.-.I,: IJ,平面平面，平面沁辽，所以叮 I 平面片 I: 又.1 -平面八，所以：I .紀又由（1）知；.11 ,所以：.|【点睛】证明垂直问题时，从线线垂直入手，进而达到线面垂直，最终证明面面垂直，而面 面垂直的性质定理显得更加重要，使用

14、面面垂直的性质定理时，一定要抓住交线，面面垂直 性质定理的使用非常重要，要引起重视 .17.如图，在平面直角坐标系中，已知椭圆.丄：一的左、右顶点分别为，过右焦点43的直线与椭圆交于，两点（点在轴上方）（1） 若逼 II，求直线的方程;（2） 设直线：，-的斜率分别为，.是否存在常数，使得； ?若存在，求出 的值；若不存在，请说明理由.【答案】（1） （2）【解析】试题分析：设直线的方程，联立方程组，利用向量关系找出两交点的纵坐标关系,解方程求出直线方程；利用第一步的根与系数关系，借助已知的斜率关系求出的值试题解析：（1）因为，所以 -.,所以的坐标为丨.；“，设，直线的方程为注 I代入椭圆方

15、程，得；-+ nT 3m-时+flih ，兀二4 + 3md+ 3ITI3mi -+-3n+ 聞心，4 +4 *解得，故直线的方程为-U-&n- 9(2)由(知，,所以:一】-. I -4 +3m v则.- J)九啊+3)-11 -所以却叫+氏)-打+ y3) + 3ya-12 -故存在常数. ，使得=二;，.3丄 活【点睛】求直线方程首先要设出方程，根据题目所提供的坐标关系，求出直线方程中的待定系数，得出直线方程；第二步存在性问题解题思路是首先假设.存在，利用所求的，结合已知条件！= -，得出坐标关系，再把 r *，刊可代入求出符合题意，则存在， 否则不存在18.某景区修建一栋复古建筑，其窗

16、户设计如图所示.圆的圆心与矩形|：ii对角线的交点重合，且圆与矩形上下两边相切(为上切点)，与左右两边相交(，为其中两个交点)，图中阴影 部分为不透光区域，其余部分为透光区域已知圆的半径为im 且设，AD 2透光区域的面积为.(1)求关于的函数关系式，并求出定义域；(2)根据设计要求，透光区域与矩形窗面的面积比值越大越好当该比值最大时，求边： 的 长度.&【答案】(1) (2)【解析】试题分析：根据题意表示出所需的线段长度，再分别求三角形和扇形面积，从而表示出总面积，再根据题意要求求出函数的定义域；根据题意表示出“透光比”函数，借助求导，研究函数单调性求出最大值.试题解析:(1)过点作 X 我

17、：于点，则/?1 :I-所以：!. - II.:- -I-:-.所以-,因为-，所以，所以定义域为I .(2)矩形窗面的面积为飞-汕心一上X H；? -则透光区域与矩形窗面的面积比值为10 分 2s me设“，.32“ 壬亠、1- simi? -0 sinO - cos & - sin &sin (? cos & - cos &-13 -则 I2sin &2sin&cos (sin2 - & )2siti 9因为，所以-沐心： 0,冃即川电2, -码 0,即 % (2 - d) * d - 1 =ii , .所以，得证.证法二:设拣的公差为，假设存在自1 然数5 A 2,使得则 i :1)2

18、b(+ (nm.即- | - .! | 0 恒成立.这与“对任意的，都有 J.,矛盾!所以 i；-：.、.一： -(3)由（1）知,因为为等比数列，且 -）1:”厂號所以 是以为首项，为公比的等比数列.所以 .则一- - - -因为 j E 讯_，所以：+26n - 2n + 2-,片* 2Tn所以1而，所以，即: .，时，（* ）式成立;当时，设| ： J!,-f(n) - 3nn+ |)2+1) = 2(3n-16 -故满足条件的的值为和.【点睛】等差数列和等比数列是高考的重点，要掌握等差数列和等比数列的通项公式与前项和公式，另外注意利用这个公式，从到，从 至，转化20.已知函数宀| ;

19、i：L(1) 当 .时，求函数| ： .的单调增区间；(2)设函数:?,若函数:.-I-I/.-门的最小值是子，求的值；(3)若函数.，的定义域都是.，对于函数|：.的图象上的任意一点，在函数的图象上都存在一点，使得，其中是自然对数的底数，为坐标原点.求的取值范围.【答案】(1) (2)【解析】试题分析：求函数的单调区间可利用求导完成，求函数的最值可通过求导研究函数的单调性求出极值，并与区间端点函数值比较得出最值；解决C：/- I ?：:问题，先求出 斜率的取值范围，根据垂直关系得出：斜率的取值范围，转化为恒成立问题，借助恒成立思想解题.试题解析：(1)当 II. - I 时，U 二.-JH,

20、 I :I .X IxX因为：在:-上单调增，且,所以当 .时二；当时，旷心.所以函数 I:.的单调增区间是(2). . -/：,则 I -】11_1，令：?二狀得：一，XX*当时，,函数在:、匚上单调减；当时，函数.：.在 y - ?=上单调增.所以 I ：八订).， 当：“1 ，即时，函数-i：m：，的最小值-芒；-,7.1|：-沙，-17 -即 Il I-：，解得 J I 或. I -.(舍)，所以：-* ；当-!：, | ； ；，即时，VHy函数 - 的最小值一 I ,:,解得.I -.(舍). 综上所述，的值为.(3)由题意知，匸”-丄， .K70盂考虑函数，因为厂：二：“ 在| I

21、 , | 上恒成立，XK所以函数.；一在.上单调增，故 二一 - -I所以.，即在.上恒成立，X即. , .|:. .、I ,:在 I I ,上恒成立.设- I .-,则一 J 一 |仆-在 11 .-I 上恒成立，所以 在 上单调减，所以：设:;,贝 U |：I ：、：-. I ： I ： :在 | i,； | 上恒成立，所以U 在 I 1. 、I 上单调增，所以：ii T- 1 - 综上所述，的取值范围为|.【点睛】求函数的单调区间、极值和最值是高考常见基础题，求函数的单调区间可利用求导 完成，求函数的最值可通过求导研究函数的单调性求出极值，并与区间端点函数值比较得出 最值；恒成立为题为高

22、考热点，已经连续命题许多年，必须重视本题包括 21、22、23、24 四小题，请选定其中两题，并在相应的答题区域内作答.若多做, 则按作答的前两题评分.解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤.21.如图，圆的弦 ，:交于点，且为弧的中点，点在弧 上.若，求 的 度数.【答案】45【解析】试题分析：同弧或等弧所对的圆周角相等，利用等量代换，借助角与角的关系 求出所求的角试题解析：连结汕，】;.-18 -因为为弧.的中点，所以 用：厶肿而.；I: _-.1: ,所以：.- . -,即、一U：,又因为 小 mi:所以 -I：；. _：.ur, - . 一,、：故O二匸【点睛】平面几何选讲部分要注意

23、与圆有关的定理，特别是涉及到角的关系的定理，寻求角的相等，边与边的关系，大多利用全等三角形或相似三角形解题.22.已知矩阵 ，若.- l-，求矩阵的特征值.【答案】矩阵的特征值为，,.【解析】试题分析：根据矩阵运算解出.-，写出矩阵的特征多项式，计算后令宁”求出特征值试题解析：因为 I. .：, I .,所以解得|所以:和所以矩阵的特征多项式为- : , - : / ： . - / : .,令:二；.二，解得矩阵的特征值为-，.【点睛】矩阵为选修内容，根据矩阵运算解出.-，写出矩阵的特征多项式，计算后令仲）=0,求出特征值 A .23.在极坐标系中，已知点；;巴拧；，点在直线 I.-上.当线段

24、 最短时，求点的极坐标.【答案】点的极坐标为；.4v【解析】试题分析：利用极坐标与直角坐标互化公式-:-，把化-19 -为直角坐标，再把的方程化为直角坐标方程，要使：述最短，过点作直线的垂线，垂足为，写出垂线方程，解方程组求出交点坐标，再化为极坐标试题解析：以极点为原点，极轴为轴正半轴，建立平面直角坐标系，则点/.-.i.-:的直角坐标为；/；：,直线的直角坐标方程为辽十-二.浊最短时，点为直线:- -与直线的交占八、解得所以点的直角坐标为- f 汇所以点的极坐标为：. 4【点睛】极坐标为选修内容，掌握极坐标与直角坐标互化公式，掌握点和方程的互化，结合 解析几何知识解题.24.已知，为正实数，

25、且.求证：.【答案】详见解析【解析】试题分析：根据|实施等转不等，得出，再根据三个正数的算术平均数不小于几何平均数，证明出结论试题解析：因为：- .: . ,所以 J.r ,所以 I. -： il当且仅当.:. :时，取“”.【点睛】不等式选讲为选修内容，注意利用均值不等式、柯西不等式、排序不等式进行证明，另外注意选用证明方法，如综合法、分析法、反证法，与正整数有关的命题有时还采用数学 归纳法【必做题】第 25 题、第 26 题，每题 10 分，共计 20 分请在答题卡指定区域.内作答，解答 时应写出文字说明、证明过程或演算步骤.25.在平面直角坐标系中，点，直线与动直线的交点为，线段：的中垂线与动直线|：的交点为.(1) 求动点的轨迹的方程；(2)过动点作曲线的两条切线，切点分别为， ， 求证： 厶毗门的大小为定值.-20 -=1a*F*扫【答案】(1)曲线的方程为( 2 )详见解析【解析】 试题分析： 根据题意动点到定点距离等于到定直线距离,符合拋物线定义,写出 拋物线方程.第二步设出育线方程,联立方程组，根据根与系数关系可得k泊=-1,可知ZAMB =90“为定值.试题解析：(1