复化辛卜生公式在公路中线坐标计算中的应用

1、公式(1)n-1艺 cosa k+cosai)k=1n-1艺 sina k+sina i)k=1【摘 要】在现有公路中线坐标计算的公式中，对于直线、圆曲线、缓和曲线（或卵形曲线）等中桩坐标的计算需用切线支距公式等不同的公式。而用复化辛卜生公式不仅能解决不同线形的坐标计算所需多个公式问 题，而且计算的方向完全是可逆的，其计算精度也可根据需要自行判断决定。【关键词】辛卜生公式中线坐标计算应用在公路中线坐标计算中，我们通常采用切线支距公式等不同公式来计算直线或曲线上各点的坐标。但当 计算不同的线形时就需用不同的计算公式，这就为计算带来不便。尤其是在设有较小圆曲线半径（即相对于 半径越小而缓和曲线越长

2、时）的缓和曲线（或卵形曲线）上的坐标计算时，如公式选用不当或切线支距公式 所带项数较少时就会出现较大的计算误差，即便是能对切线支距公式进行多项展开，也会增加计算的难度。 而用复化辛卜生公式不仅能解决不同曲线线型和直线上的坐标计算问题，而且用复化辛卜生公式计算完全是可逆的（即：可顺前进方向也可逆向计算），尤其在计算第二缓和曲线和卵形曲线时显得尤为方便。用辛卜生公式计算坐标的精度可由人为或程序自行判断，其计算结果也完全能保证施工放样时坐标计算的精度要求。因此，可以说复化辛卜生公式是一个计算公路中线各种线形坐标的通用公式。下面笔者就该公 式在公路中线坐标计算中的具体应用进行实例解析（本文以卵形曲线坐

3、标的计算为例）、复化辛卜生公式n-1HX=XA+ 6 (cosa a+4 艺 cosa k+ 26k=0n-1Y=W+ H (sina a+4 艺 sina k+2 26k=0Ya 曲线元线元起点y坐标a a曲线曲线元起方点切线方位角a 村-mBmes角 玄卜曲线曲线元等分点求点处方位角方位角a i曲线元上待求点处切线方位角，可用如下3种方法计算:1 利用公式（3）求得曲率代入公式（2）计算2利用曲线元上已知推算起点和终点曲率用内插法求得曲率代入公式（2）计算3利用切线角公式计算 注1: 3a为推算起点的切线方位角，以实际推算方向为前进方向，而不是指路线设计的前进方向。 式中：H= Zi- Z

4、a 詡ai=aA 均0（ p + p）（Zi- Za） n（公式 2）注2:当桩号顺推算曲线元前进方向递增且为左转时取 -当桩号顺推算曲线元前进方向递增且为右转时取 +当桩号顺推算曲线元前进方向递减且为左转时取 +当桩号顺推算曲线元前进方向递减且为右转时取 -p= pA + （ pB- pa） （ZlZa） Zb-Za）（ 公式 3）Z i 待求点桩号Z a 曲线兀推算起点桩号Z b 曲线元终点桩号Pi 曲线元上待求点曲率PA 曲线兀推算起点曲率PB 曲线兀终点曲率二、算例例：已知雅（安）攀（枝花）高速公路西昌西宁立交A匝道一卵形曲线（相关参数见图一、图二、图三,其计算略。），相关设计数据见表

5、一。现用辛卜生公式来计算卵形曲线中桩坐标：00HZ AK0+444.032200 .Ao -C30554/ 02+&3342图一表一：卵形曲线相关设计数据主点坐标切线方位角桩号XYOZHAK0+0909987.40310059.378921726.2HY1AK0+1609968.98110125.3411322351.6YH1AK0+223.7159910.60310136.7912052433.6HY2AK0+271.8819880.43810100.9042512418.5YH2AK0+384.0329922.31610007.9093370454.2HZAK0+444.0329981.3

6、6310000.0000000012o1584%Hxz +彳耳 旧 QRI-7三图-（一）由+271.881推算Zi=+223.715的坐标（逆向），n取2等分用公式、公式（2）计算+247.798处曲线曲率及切线方位角p +247.798=1 75+(1 P0-1 T5) X (247.798-271.881)- (223.715-271.881)=0.016666667a+247.798=71 24 18.5 ” +90 X (0.016666667+1 - 75) X (247.798-271.881)- n=50 42 26.37 ”其它各点依次代入公式计算，结果见表二:O25O(25

7、IIZ.R葛5)(3.6 )、屛50 422S 377161 37 52.22J4 18 匚538 0. 96表二：曲率及切线方位角计算表桩号n等分点处曲线曲率n等分点处 切线方位角O)?2n等分点处曲线曲率2n等分点处 切线方位角O)?公式(3)计算内插法 计算公式(3)计算内插法 计算+271.8810.013333333=1/75712418.5+259.8400.0150.0156137 52.2+247.7980.0166666670.016666667504226.4+235.7570.0183333330.01833333333838 0.96+223.7150.02=1/502

8、52436切线方位角图示1将表中计算出的数据代入公式(1)求得+223.715中桩坐标如下:X=9880.438+(271.881-223.715)2 心(cos71 24 18.5” +4(cos61 3752.22” +COS38 38 0.96” )+2cos50 42 26.37” + cos25 24 35.99 ” )=9910.5975(设计值：9910.603)Y=10100.904+(271.881-223.715) 2 书兴(sin71 2 18.5” +4(sin61 37 52.22” +sin38 38 0.96” )+2sin50 42 26.37” + sin25

9、 2 35.99” )=10136.7945 (设计值：10136.791)注2:图示中括号内方位角为设计给定值(二)由+223.715推算Zi=+271.881的坐标(顺向)，n取2等分用公式计算+247.798处曲线曲率及方位角：p +247.798=1 0-(1 叼5-1 为0) X (247.798-223.715)十271.881-223.715)=0.0166666667a+247.798=205 24 33.6” +90 X (0.016666667+1 越0) X (247.798-223.715)玄=230 42 23.98”勺71524 18其它各点依次代入公式计算，结果见

10、表三：桩号n等分点处曲线曲率n等分点处 切线方位角O)?2n等分点处曲线曲率2 n等分点处 切线方位角O)?公式(3)计算内插法 计算公式(3)计算内插法 计算+223.7150.02=1/5020524 33.6+235.7570.0183333330.01833333332183758.6+247.7980.0166666660.01666666623042 24.0+259.8400.0150.0152413749.8+271.8810.013333333=1/752512418.5表三：曲率及切线方位角计算表2416. 111(374 9. 830*(251 6才251 2433 23

11、 0 4% 23.98205-57241 。37 58. 57218 37切线方位角图示2X=9910.603+(271.881-223.715)2 书兴(cos205 24 33.6”+4(cos218 37 58.87” +cos241 37 49.83 ” )+2cos230 42 23.98” + cos251 24 16.11” )=9880.4431(设计值：9880.438)Y=10136.791+(271.881-223.715) 2书兴(sin205 24 33.6” +4(sin218 37 58.87” +sin241 37 49.83”)+2sin230 42 23.9

12、8” + sin251 24 16.11” )=10100.9008 (设计值：10100.904)由上可知，利用复化辛卜生公式计算路线坐标时可顺向或逆向计算。(三)前面正、反向的计算均是从卵形曲线部分推算的，现在我们以卵形曲线所在完整缓和曲线的推算起点HZ =+368.213点来推算终点+223.715和中间点+271.881的坐标缓和曲线切线角计算公式：p=90L2玄tRLs)公式则有方位角：ai=aA 3= aA 0L2 + tRLs)其中：R=50Ls=368.213-223.715=144.498注3 :公式(4)中号判断法则见注21.计算Zi=+223.715中桩坐标7187.09

13、22416”旳 01 44.0230 09.9799 00 05.6 93 4938.4 210301050134. 5854 02.9702.1表四：曲线元上等分点曲率及切线方位角计算表(n取4等分)n 等分点处n等分点处 切线方位角2n等分点处曲线2n等分点处 切线方位角桩号曲线曲率O曲率O公式(3)计算内插法 计算公式(2)计算公式(4)计算公式(3)计算内插法 计算公式(2)计算公式(4)计算+368.2130 (直线上)108 12 02.1+350.1510.00250.0025106 54 25.16106 54 25.22+332.0890.0050.005103 01 34.

14、33103 01 34.58+314.0260.00750.007596 33 28.8396 33 28.64+295.9640.010.0187 30 09.9787 30 9.97+277.9020.01250.012575 51 37.2275 51 37.54+259.8400.0150.01561 37 50.5861 37 51.35+241.7770.01750.017544 48 48.2544 48 47.8+223.7150.02=1/5025 24 33.5825 24 33.58益5切线方位角图示3X=9890.293+(368.213-223.715)4 书兴(co

15、s108 12 02.1 ” +4 X (cos106 54 25.22” +cos96 33 28.64”+ COS75 51 37.54” + cos44 48 47.8” )+2 X (cos103 01 34.58” + cos87 30 9.97” +cos61 37 51.35” )+ COS25 24 33.58 ”)=9910.5963(设计值：9910.603)丫=10006.838+ (368.213-223.715) 4为冷(sin108 1 02.1 ” +4 X (sin 106 54 25.22” +sin96 33 28.64”+ sin75 51 37.54”

16、+ sin44 48 47.8 )+2 X (sin103 01 34.58” + sin87 30 9.97 +sin61 37 51.35”) + sin25 24 33.58” )=10136.7925(设计值：10136.791)2.计算zi=+271.881中桩坐标表五：曲线元上等分点曲率及切线方位角计算表(n取4等分)桩号n 等分点处 曲线 曲率n等分点处 切线方位角O)?2n等分点处曲线 曲率2n等分点处 切线方位角O)?内插法 计算公式(2)计算公式(4)计算内插法 计算公式(2)计算公式(4)计算+368.2130108 12 02.1+356.1720.0016666671

17、07 37 32.49+344.1300.003333333105 54 02.97+332.0890.005103 01 34.58+320.0470.00666666799 00 05.6+308.0060.00833333393 49 38.42+295.9640.0187 30 09.97+283.9230.01166666780 01 44.02+271.8810.013333333=1/7571 24 16.09+223.7150.02=1/5025 24 33.5825 24 33.58” 30 09. 9799 00 05.6 87 3殳.1 .93 49 38.42 44.0

18、2105 54103 0134. 58: 02.971O7 3732. 49108 12切线方位角图示4X=9890.293+(368.213-271.881)4 书兴(cos108 12 2.1” +4(cos107 37 32.49” +cos103 01 34.58”+ cos93 49 38.42” + cos80 01 44.02” )+2(cos105 54 02.97” + cos99 00 05.6 +cos87 30 09.97” )+ cos71 24 16.09”)=9880.4416(设计值：9880.438)Y=10006.838+ (368.213-271.881)4为冷(sin108 12 2.1” +4(sin 107 37 32.49” +sin103 01 34.58”+ sin93 49 38.42” + sin80 01 44.02”)+2(sin 105 54 02.97” + sin99 00 05.6” +sin87 30 09.97”)+ sin71 24 16.09” )=10100.9008(设计值：10100.904)由此我们不难看出，利用复化辛卜生公式计算公路中桩坐标不仅顺逆向很方便，而且可从中任取一段进