北京邮电大学高等数学-第08章-6节 重积分的应用ppt课件

1、8.4 重积分的应用重积分的应用 在前面几节中我们已经介绍了利用重积在前面几节中我们已经介绍了利用重积分可以求空间立体体积以及空间物体的质量，分可以求空间立体体积以及空间物体的质量，本节再介绍重积分在几何和物理方面的几个本节再介绍重积分在几何和物理方面的几个应用。应用。例例如如 曲曲顶顶柱柱体体的的体体积积平平面面薄薄片片的的质质量量D平平面面区区域域 的的面面积积( , )DVf x y d ( , )Dmx y d DAd 空空间间物物体体的的质质量量( , , )mx y z dv 空空间间区区域域 的的体体积积Vdv 例例1 求半径为求半径为a的且过原点的球面与半顶角为的且过原点的球面

2、与半顶角为 的内接锥面所围成的立体如图的体积。的内接锥面所围成的立体如图的体积。 解解 球心在球心在 z 轴上，又内轴上，又内接锥面的顶点在原点接锥面的顶点在原点O，其轴与其轴与 z 轴重合，轴重合，,20 ,0 ,cos20 ar立体所占有的空间闭区域立体所占有的空间闭区域可用不等式表示可用不等式表示: Oxyz球面方程为球面方程为 r = 2acos，锥面方程为锥面方程为 = 。所以所以 dvV ddrdr sin2 cos2020sin2adrr 033sincos316da。)cos1(3443 a 20cos2020sinadrrddOxyz 解解 立立体体的的图图形形为为1, （设

3、设为为在在第第一一卦卦限限内内的的部部分分 利利用用对对称称性性） 110202)sin(cos4rdzrrdrd 102220)1()sin(cos4drrrd dvzyxM),( 1)(4dvyx。1516 221,2,zxyzxy 一一立立体体由由抛抛物物面面及及平平面面所所围围成成 密密度度例例求求其其质质量量。yzxo1 dvyx)(8.4.1 微元法元素法）微元法元素法） 如果要求的量如果要求的量U(2) 在在D内任取一直径很小的闭区域内任取一直径很小的闭区域d，相应，相应的部分量可近似地表示为的部分量可近似地表示为( , ) Uf x y ddU(1) U 对于有界闭区域对于有界

4、闭区域D具有可加性；具有可加性；量量U的元素微元）的元素微元） DdyxfU ),(是较是较d高阶的无穷小高阶的无穷小,(f (x,y)连续时成立连续时成立)那么那么( , )( , )Uf x y dx yd8.4.2 曲面的面积曲面的面积 设曲面设曲面S：z =f(x,y),(x,y)D,f 在在D上一阶偏导连续。上一阶偏导连续。(1) S的面积的面积A对于对于D具具有可加性有可加性(2)在在D内任取一直径很内任取一直径很小的区域小的区域d，在，在d上上任取一点任取一点P(x,y,0)对应于对应于S上一点上一点M(x,y,f(x,y) 。 d( , ,0)P x y( , , ( , )M

5、 x y f x ys xyzo显然显然(3) 过点过点M(x,y,f(x,y)，作，作S的切平面的切平面。 d( , ,0)P x y( , , ( , )M x y f x ys xyzo(4)以以d的边界为准线作的边界为准线作母线平行于母线平行于z轴的柱面，轴的柱面，该柱面在曲面该柱面在曲面S上截下一上截下一小片曲面小片曲面A，在切平面，在切平面上截下来一小片平面上截下来一小片平面dA。dAA 再看再看dA与与d之间的关系之间的关系 由于由于d直径很小直径很小,fx,fy连续，有连续，有AdA。,1 ,yxffn 1 ,1122yxyxffffn 曲面曲面S：z =f(x,y),(x,y

6、)D,cos dAd ,11cos22yxff ,cos dAd 又又cos,cos,cos 曲面曲面S：z =f(x,y),(x,y)D cosddA dffyx221 1 ,1122yxyxffffn 曲面曲面S的面积元素的面积元素 d( , ,0)P x y( , , ( , )M x y f x ys xyzodAA dffdAyx221 曲面面积计算公式曲面面积计算公式曲面方程曲面方程: z =f(x ,y) (x,y)Dxy dxdyyzxzAxyD 22)()(1曲面方程曲面方程: x=g(y,z) (y,z)DyzdydzzxyxAyzD 22)()(1221yzdAgg d

7、dzdxxyzyAzxD 22)()(1曲面方程曲面方程: y=h(z,x) (z,x)Dzx221zxdAhh d 例例3 求半径为求半径为a的球的表面积。的球的表面积。 222,0zaxyz 解解 取取222zxxaxy 222221()()zzaxyaxy 222zyyaxy xyzoa222:ayxDxy ayxo 因为这函数在闭区域因为这函数在闭区域D上无界，上无界，我们不能直接应用曲面面积公式。我们不能直接应用曲面面积公式。222adAdxdyaxy dxdyyxaaAD 12221 rdrdraaD 122 brardrda02220 取区域取区域D1：x2+y2b2(0b0)处

8、的单位质量的质处的单位质量的质点的引力。点的引力。 ,zyxFFF F FP(x,y,0)xyozxyF F (0,0,a),1),(2rdyxGd F F 0, ,FrM Px ya 的的方方向向与与一一致致。 raryrxF,0 ,cos,cos,cos )(222ayxr xyozxyF F (0,0,a)P(x,y,0),xyzdFdF dF dF 333( , )( , )( , ),x ydx ydx y dGGGrrxyar |cos,|cos,|cos ,dFdFdF ,xyzFFFF 333( , )( , )( , ),DDDx y xx y yax yGdGdGdrrr

9、0000,( , , )( , , ),(,)x y zx y zP xyz 类类似似地地 设设有有物物体体占占有有空空间间有有界界闭闭区区域域在在点点处处的的体体密密度度为为是是上上的的连连续续连连续续函函数数 则则该该物物体体对对物物体体外外一一点点处处的的单单位位质质量量的的质质点点的的引引力力是是,xyzFFFF 000333( , , )()( , , )()( , , )(),x y z xxx y z yyx y z z zGdvGdvGdvrrr 例例10 求半径为求半径为R的匀质球：的匀质球：x2+y2+z2 R2对于对于位于点位于点M0(0,0,a)(a R)处的单位质量的

10、质点的引处的单位质量的质点的引力。力。 ,xyzFF F F 我我们们应应用用元元素素法法来来求求解解引引力力(,dvdv在在球球内内任任取取一一直直径径很很小小的的闭闭区区域域这这闭闭区区域域的的体体积积也也记记为为( , , )x y zdv是是上上的的一一个个点点。zxyoa( , , )dvdvx y z 把把球球体体中中相相应应于于的的质质量量近近似似在在看看作作集集中中在在点点处处。( , , )M x y z0(0,0, )Ma222() ,rxyzaG其其中中为为引引力力常常数数。2,dvGr 于于是是按按两两质质点点间间的的引引力力近近似似为为 , ,x y za 引引力力的的方方向向与与一一致致,:xyzF F F于于是是球球体体对对该该质质点点的的引引力力在在三三个个坐坐标标轴轴上上的的投投影影的的元元素素3xxdvdFGr 3yydvdFGr 3()zza dvdFGr 。zxyoa( , , )M x y z0(0,0, )Ma由球体的对称性易知由球体的对称性易知Fx=Fy=0222 3/2()() zGzaFdvxyza 222232222()() RRxyRzdxdyGza dzxyza 22222 3/200()() RRzRrGza dzddrrza RRdzaazRzaazG22211)(2 zxyoa( , , )M x y z0(0,0,