抗扭—材料力学第3章

1、1231 扭转的概念和实例扭转的概念和实例 32 外力偶矩的计算外力偶矩的计算 扭矩和扭矩图扭矩和扭矩图33 纯剪切纯剪切34 圆轴扭转时的应力圆轴扭转时的应力35 圆轴扭转时的变形圆轴扭转时的变形37 非圆截面杆扭转的概念非圆截面杆扭转的概念第三章第三章 扭扭 转转 3工工 程程 实实 例例31 扭转的概念和实例扭转的概念和实例 4变形特点：变形特点：杆件杆件各截面各截面绕轴线发生相对转动。绕轴线发生相对转动。mm轴：轴：工程中以扭转为主要变形的构件称为轴。工程中以扭转为主要变形的构件称为轴。 如：机器中的传动轴、石油钻机中的钻杆等。如：机器中的传动轴、石油钻机中的钻杆等。受力特点：受力特点

2、：在在垂直于杆件轴线的平面内垂直于杆件轴线的平面内作用有力偶。作用有力偶。 532 外力偶矩的计算外力偶矩的计算 扭矩和扭矩图扭矩和扭矩图mm已知：轴的传递功率P（kW）、转速n（rpm），求：外力偶矩m（Nm）一、传动轴的外力偶矩一、传动轴的外力偶矩6m)(N 9549nPm其中：P 功率，千瓦（kW） n 转速，转/分（rpm）7二、扭转时的内力二、扭转时的内力扭矩扭矩mmTmxmT构件受扭时，横截面上的内力为力偶构件受扭时，横截面上的内力为力偶，称为扭矩，记作称为扭矩，记作“T”。8扭矩的正负规定：扭矩的正负规定： 以右手螺旋法则，沿截面外法线方向为正，反之为负。以右手螺旋法则，沿截面外

3、法线方向为正，反之为负。, 0 xmTmx取左段：取右段：0 TmmTx0 mT, 0 xmmT mT 9三、扭矩图三、扭矩图10已知：一传动轴， n =300r/min，主动轮C输入P1=500kW，从动轮A、B、D输出 P2=P3=150kW，P4=200kW，试作扭矩图。解解:(1)计算外力偶矩计算外力偶矩nPm119549m)(kN 78. 432 mmm)(kN 37. 64mnA B C Dm2 m3 m1 m4例例3m)15.9(kN 3005009549m)(N1015.9 311112233(2)求扭矩求扭矩0 , 021mTmxA m2 T11-1截面：mkN78. 4 2

4、1 mT（扭矩按正方向假设）（扭矩按正方向假设）nA B C Dm2 m3 m1 m412 , 0 322mmT2-2截面：322 mmT)78. 478. 4(A B m2 m3 T2112233mkN56. 9 , 0 xmnA B C Dm2 m3 m1 m413 , 034Tm3-3截面：mkN37. 6 43mTDm4T3 , 0 xm112233nA B C Dm2 m3 m1 m414(3)绘制扭矩图绘制扭矩图mkN 569max .TBC段为危险截面：段为危险截面：xT4.789.566.37（kNm）112233nA B C Dm2 m3 m1 m415薄壁圆筒：薄壁圆筒：壁

5、厚0101rt （r0：为平均半径）观察变形：观察变形：1.加载前：加载前：纵向线为直线，周向线为圆；纵向线为直线，周向线为圆；33 纯剪切纯剪切2.加载后：加载后： 纵向线倾斜了一微小角度，纵向线倾斜了一微小角度， 变成斜直线；变成斜直线；一、薄壁圆管扭转应力分析一、薄壁圆管扭转应力分析m m 周向线仍是圆，圆周线的形状、大小和间距周向线仍是圆，圆周线的形状、大小和间距均未改均未改 变，只是绕轴线作了相对转动。变，只是绕轴线作了相对转动。16m m 应力分布规律：应力分布规律：横截面上无正应力，只存在剪应力横截面上无正应力，只存在剪应力 ；剪应力的方向与圆周相切，与内力剪应力的方向与圆周相切

6、，与内力T一致；一致；剪应力沿壁厚方向的数值不变；剪应力沿壁厚方向的数值不变；沿圆周剪应力的大小也不变。沿圆周剪应力的大小也不变。T17T0d rATAAAr Td 0trT 2 20trr00 2tAT 20 式中A0为中线所围面积 dAdA计算剪应力的大小：18二、剪应力互等定理二、剪应力互等定理 m m dxdx dx dytzxy 19上式称为剪应力互等定理为剪应力互等定理。, 0zm 0 dxtdydytdx, 0X0 dxtdxt dx dytzxy 该定理表明：在两个相互垂直的面上，剪应力必然成对出在两个相互垂直的面上，剪应力必然成对出现，且数值相等，两者都垂直于两平面的交线，其

7、方向为现，且数值相等，两者都垂直于两平面的交线，其方向为共同指向或共同背离该交线。共同指向或共同背离该交线。20三、剪切胡克定律：三、剪切胡克定律： 剪应变(无量纲量) m m 21 剪切胡克定律：剪切胡克定律：当剪应力不超过材料的剪切比例极限当剪应力不超过材料的剪切比例极限时（时（ )，剪应力与剪应变成正比关系。，剪应力与剪应变成正比关系。 p当当 时时pG 剪切胡克定律剪切胡克定律 22 剪切弹性模量G、弹性模量E和泊松比是表明材料弹性性质的三个常数。对各向同性材料，这三个弹性常数之间存在下列关系（推导详见后面章节）： 可见，在三个弹性常数中，只要知道任意两个，第三个量就可以推算出来。)1

8、 (2EGG是材料的一个弹性常数，称为剪切弹性模量，因 无量纲，故G的量纲与 相同，不同材料的G值可通过实验确定，钢材的G值约为80GPa。23一、横截面上的应力一、横截面上的应力34 圆轴扭转时的应力圆轴扭转时的应力观察变形：观察变形：Rldxm m 纵向线倾斜了一微小角度，纵向线倾斜了一微小角度， 变成斜直线；变成斜直线；周向线仍是圆，圆周线的形状、大小和间距均未改周向线仍是圆，圆周线的形状、大小和间距均未改 变，只是绕轴线作了相对转动。变，只是绕轴线作了相对转动。24平面假设平面假设：横截面：横截面 变形后仍为平面；变形后仍为平面；1. 变形几何关系：变形几何关系：ldxm m ACBD

9、dxBADCOdR25ABCCDREFGHdxOODGHddxBADCOd26tgxddACCCxRddxdd 扭转角 沿长度方向变化率。ABCCDREFGHdxOODGHdtgEGGGxdd27DCCDREF G2. 物理关系：物理关系：虎克定律：GxGdd28xGdd 剪应力在横截面上的分布293. 静力学关系：静力学关系：)d(ATAAIApd2记xGI Tpdd pGITx dd 即：代入物理关系式 xGdd OTAxGAddd 2AxGAddd 2pIT得：Ip横截面的极惯性矩xGdd 代入Ad304、 应力分布应力分布（实心截面）（空心截面）pIT31最大剪应力：最大剪应力： ,

10、2 时当dRpIdT2 maxtWTmaxWt 称为抗扭截面系数，几何量，单位：mm3 或 m3。2 dIWpt记：2maxdITp或：max32AIApd2（1）实心圆截面：CdxyddAAddIp220203ddd2032dd324dIpdddA二、极惯性矩和抗扭截面系数的计算：二、极惯性矩和抗扭截面系数的计算：02442d33(2)空心圆截面：)(DdDxyCd20223ddDd2232Ddd323244dD)1(3244DIpAIApd222442dD)1(32444DdD3416 3dWt)1 (1643DWt实心圆截面：空心圆截面：2 dIWpt2324ddWt2)1(3244DD

11、Wt抗扭截面系数抗扭截面系数Wt35三、扭转破坏试验三、扭转破坏试验36低碳钢试件：沿横截面断开。铸铁试件：沿与轴线约成45的螺旋线断开。3738强度条件：强度条件：maxmaxmaxtWT( 称为许用剪应力。)四、圆轴扭转时的强度计算四、圆轴扭转时的强度计算nbns塑性材料脆性材料39d1=120mm，d2=100mm， mA=22kNm，mB=36kNm，mC=14kNm， 许用剪应力 =80M Pa, 试校核强度。解:(1)画扭矩图此轴满足强度要求。111maxtWT 例例33T22x14(kNm)+mAmBmCd1d2ABCMPa65（2）AB段的强度16120102236（3）BC段

12、的强度222maxtWTMPa711610010143640有一根轴，T=1.5kNm，=50M Pa, 按两种方案确定轴截面尺寸，并比较重量：（1）实心轴；（2）=0.9的空心轴。解：（1 1）实心轴）实心轴tWTmax例例163dT316 Td)mm(5 .53（2 2）空心轴）空心轴tWTmax)1 (16431DT41341)(116 TD)mm(76119 . 0Dd （3 3）比较重量）比较重量实空AA4422121ddD）（22121ddD 385. 0实实心轴的心轴的重量是重量是空空心轴的心轴的3 3倍。倍。)mm(7 .6842实心截面实心截面空心截面空心截面53.568.7

13、76.343一、扭转时的变形一、扭转时的变形pGITx dd d35 圆轴扭转时的变形圆轴扭转时的变形m m dxlGIp反映了截面抵抗扭转变形的能力，称为截面的截面的抗扭刚度抗扭刚度。xGIT pd d lpxGIT0d pIGlT即：（rad）lpxGIT0d pGIlT 44 piiiIGlT即：当轴上作用有多个力偶时，进行分段计算，代数相加：45m2m1m3lABlACABC 已知：m1=1592N m，m2=995N m，m3=637N m，lAB=300mm，lAC=500mm，d=70mm，G=80GPa。试求截面C对B的扭转角。解：12mN995 21m TmN637 32 m

14、 T32 421dI IPP3270 446mm1035. 2 piiiCBIGlT 222111ppIGlTIGlT例例346 CB 222111ppIGlTIGlT 10.352 100830010995633 10.352 100850010637633 10)69. 152. 1 (3 (rad) 1017. 03 (rad)m3m2m1lABlACABC47二、刚度条件二、刚度条件 /m)( 180 maxpGIT(rad/m) pGITl /m)( 180 pGIT 或：刚度条件：刚度条件：单位长度扭转角单位长度扭转角 ： 称为许可单位长度扭转角，取0.150.30/m。 48 某

15、传动轴设计要求转速n = 500 r / min，输入功率P1 = 368 kW， 输出功率分别 P2 = 147 kW及 P3 = 221 kW ，已知：G=80GPa ， =70M Pa， =1()/m ，试确定： 500400m1m3m2ACB 例例33 （1）AB 段直径 d1和 BC 段直径 d2 ；（2）若全轴选同一直径，应为多少？（3）主动轮与从动轮如何安排合理？ 49解：由功率和转速计算外力偶矩 500400m1m3m2ACB(kNm) Tx7.024 4.21扭矩图如图所示， m)7024(N954911nPmm)(N2814954922nPmm)(N4210954933nP

16、m5016 31111maxdTWTtmm80由刚度条件得：由强度条件得：31116Td (1) AB段：段： 18011pGIT 18032411dGT4211 180 32GTd即：mm84所以所以AB 段直径段直径 d184mm Tx7.0244.21(kNm)43326101108014. 318010024. 7325116 32222maxdTWTtmm4 .67由刚度条件得：由强度条件得：32216Td (1)BC段：段： 18022pGIT 18032422dGT4222 180 32GTd即：mm4 .74所以所以AB 段直径段直径 d275mm Tx7.0244.21(kN

17、m)43326101108014. 31801021. 43252(2)全轴选同一直径时全轴选同一直径时mm84 d (3)(3)轴上的扭矩轴上的扭矩绝对值越小越绝对值越小越合理，所以，合理，所以，1轮和轮和2轮应该换位。轮应该换位。换位后换位后, ,轴的扭矩如图所示轴的扭矩如图所示, ,此时此时, ,轴的最大直径为轴的最大直径为 75 75mm。500400m1m3m2ACB500400m1m3m2ACB Tx7.024 4.21(kNm)Tx4.21(kNm)2.814+53非圆截面杆：非圆截面杆：平面假设不成立。平面假设不成立。即各截面发生翘曲不保持平面。因此，由等直圆杆扭转时推出的应力、变形公式不适用，须由由等直圆杆扭转时推出的应力、变形公式不适用，须由弹性力学方法求解。弹性力学方法求解。37 非圆截面