定积分的简单应用ppt课件

1、 badxxfA)( badxxfxfA)()(121.1.平面图形的面积平面图形的面积: :( )( )|( )( )bbaaf x dxF xF bF a其中其中F (x)=f(x)xyo)(xfy abA Axyo)(1xfy )(2xfy abA A2.微积分基本定理微积分基本定理:一、复习一、复习Ox yab yf (x) x=a、x=b与 x轴所围成的曲边梯形的面积。 当 f(x)0 时，积分dxxfba)(在几何上表示由 y=f (x)、 当f(x)0时积分baf (x)dx 在几何上表示 由yf (x)、xa、xb与 x 轴所围成的曲边梯形面积的负值x yOab yf (x)b

2、af (x)dx f (x)dxf (x)dx。 Sbaf (x)dx f (x)dxf (x)dx。 =s3.定积分定积分 的几何意义的几何意义:( )baf x dx321SSSdxxfba )(1S2S3S1( )baAf x dx 221( )( )baAfxfx dx 考虑考虑:试用定积分表示下面各平面图形的面积值试用定积分表示下面各平面图形的面积值:( )yf x ab图图1.1.曲边梯形曲边梯形xyo)(1xfy )(2xfy ab图图2.2.如图如图xyo图图4.4.如图如图)(1xfy )(2xfy ab0 xy图图3.3.如图如图)(xfy ab0yx3( )baAf x

3、dx 421( )( )baAfxf x dx1.7定积分的简单应用定积分的简单应用定积分在几何中的应用定积分在几何中的应用 几种典型的平面图形面积的计算：几种典型的平面图形面积的计算：类型类型1.1.求由一条曲线求由一条曲线y=f(x)y=f(x)和直线和直线x=a,x=b(ab)x=a,x=b(ab)及及x x轴所围成平面图形的面积轴所围成平面图形的面积S SbccabccadxxfdxxfdxxfdxxfS)()()(|)(| )3(badxxfS)( ) 1 (badxxfS)( )2(2)xyoabc)(xfy (3)(1)xyo)( xfy ab练习练习. . 求抛物线求抛物线y=

4、x2-1y=x2-1，直线，直线x=2x=2，y=0y=0所围成的所围成的 图形的面积。图形的面积。y解：如图：由解：如图：由x2-1=0 x2-1=0得到抛物线与得到抛物线与x x轴轴的交点坐标是的交点坐标是(-1,0)(-1,0)，(1,0).(1,0).所求面积所求面积如图阴影所示：如图阴影所示：所以：所以：112212) 1() 1(dxxdxxS38)3()3(113123xxxx由一条曲线和直线所围成平面图形的面积的求解由一条曲线和直线所围成平面图形的面积的求解类型类型2 2：由两条曲线：由两条曲线y=f(x)y=f(x)和和y=g(x)y=g(x)，直线，直线x=a,x=b(ab

5、)x=a,x=b(ab)所围成平面图形的面积所围成平面图形的面积S Syxoba)(xfy )(xgy (2)(xfy )(xgy (1) baf xg x dx注：例例1 1. . 计计 算算 由由 两两 条条 抛抛 物物 线线xy 2和和2xy 围围 成成 图图 形形 的的 面面 积积 . . 解解: :作出作出y2=x,y=x2y2=x,y=x2的图象如图所示的图象如图所示: :即两曲线的交点为即两曲线的交点为(0,0),(1,1)(0,0),(1,1)1 12 20 0S S = =( ( x x - -x x ) )d dx x323102()|33xx.31 边边曲梯形OABC曲梯

6、形OABDS= S-Soxy2yx2yx2xy yxABCDO11200 xdxx dx11002yxyxxyxy或解方程组 两曲线围成的平面图形的面积的计算两曲线围成的平面图形的面积的计算方法小结方法小结求在直角坐标系下平面图形的面积步骤求在直角坐标系下平面图形的面积步骤: :1. 作图象作图象;2. 求交点的横坐标求交点的横坐标,定出积分上、下限定出积分上、下限;3. 确定被积函数，用定积分表示所求的面积，确定被积函数，用定积分表示所求的面积，特别注意分清被积函数的上、下位置特别注意分清被积函数的上、下位置;4. 用牛顿莱布尼茨公式求定积分用牛顿莱布尼茨公式求定积分.解解:两曲线的交点两曲

7、线的交点(0,0), (8,4).24yxyx直线与直线与x轴交点为轴交点为(4,0)2yx 4yx880424()xdxxdxS1S248812044224()SSSxdxxdxxdx488044224()()xdxxdxxdx38282042 21404323|()|xxx802124842()sxdx 法法 ：38202 283|x2 24016 28334201432()syy dy法法 ： 234011426()|yyy2311404 444263 212xy4xy解解:两曲线的交点两曲线的交点).4 , 8(),2, 2( 422xyxyxy22 4 xy12280222224()

8、SSSxdxxxdx1S1S2S2yx3322822022 22 2124332|()|xxxx 练习练习16642618333212xy4xy4221422()syy dy法法 ：234211426()|yyy18解解:求两曲线的交点求两曲线的交点:(0,0),( 2,4),(3,9). 236xyxxy32012)6(xAdxxx23320(6 )xAxx dx2xy xxy63 于是所求面积于是所求面积21AAA dxxxxA)6(2023 dxxxx)6(3230 .12253 说明：说明：注意各积分区间上被积函数的形式注意各积分区间上被积函数的形式2xy xxy63 1A2A 解法2

9、：若选积分变量为y，则三个函数分别为 xy2，x2y，x3y. 因为它们的交点分别为(1,1)，(0,0)，(3，1) 求由曲线xy1及直线yx，y2所围成的平面图形的面积 答案C 解析yx3与yx为奇函数且x0时，交于(0,0)和(1,1)定积分在物理中的应用定积分在物理中的应用Oab( )vv ttv设做变速直线运动的物体运动的速度设做变速直线运动的物体运动的速度v=v(t)0v=v(t)0，则此物体在时间区间则此物体在时间区间a, ba, b内运动的距离内运动的距离s s为为( )basv t dt1、变速直线运动的路程、变速直线运动的路程:1.73.1min.例一辆汽车的 速度时间曲

10、线 如图所示 求汽车在这行驶的路程o102030405060102030CBAs/ ts/m/v37.1图图o102030405060102030CBAs/ ts/m/v37. 1图图:时间曲线可知由速度解.60t40,90t5. 1;40t10,30;10t0, t3 tv:min1程是行驶的路因此汽车在这dt90t5.1dt30tdt3S60404010100 .m1350t90t43t30t236040240101002.m1350min1行驶的路程是汽车在这答 法二：由定积分的几何意义，直观的可以得出路程即为如图所示的梯形的面积，即30 6030 13502s2.变力做功.FsWF),m:(sF,N:F所作的功为则力单位相同的方向移动了果物体沿着与力如的作用下做直线运动单位一物体在恒力变力所做的功：变力所做的功：物体在变力物体在变力x x的作用下做直线运动，并的作用下做直线运动，并且物体沿着与且物体沿着与x x相同的方向从相同的方向从x=ax=a移动到移动到x=bx=babab），那么变力），那么变力x x所作的功所作的功( )baWF x dxOab( )yF xxFlQF47.1图图11.74,.lm例 ： 如图在弹性限度内 将一弹簧从平衡位置拉到离平衡位置处 求弹