复变函数与积分变换第4章解析函数的级数表示ppt课件

1、第四章第四章 解析函数的级数表示解析函数的级数表示4.1 4.1 复数项级数复数项级数4.2 4.2 复变函数项级数复变函数项级数4.3 4.3 泰勒级数泰勒级数4.4 4.4 洛朗级数洛朗级数nnnnzzxiy定义 设为一列复数,其中,又设00,|nNnNzz在 自 然 数使 当时 ,总 有0nzz成立,则称复数列收敛于复数,记作00lim,().nnnzzzzn 或 nz否则称复数列发散。000zxiy为一确定的复数.0,若 任 意存4.1 复数项级数复数项级数1. 1. 复数序列的极限复数序列的极限0001,2)nnnzxiyzxiy n 设，(,则定定理理4 4. .1 10000|n

2、nnnxxzzxxyy证明：|000limlim,limnnnnnnzzxxyy的充要条件为.1211, 2)nnnnznzzzz设(为 一 复 数 序 列 ,则 称定定 义义为 复 数 项 无 穷 级 数 .若 它 的 部 分 和 序 列121, 2)nnSzzzn(11lim,nnnnnnSSzSz 有 极 限则 称 级 数 是的 ,否 则称 级 数,其 中称 为 级 数的 和 .收收 敛敛发发 散散2. 2. 复数项级数复数项级数0| 1nnzz当时,判断级数是否收敛？例例4.14.1211,(1)1nnnzSzzzzz 解解：1,lim0,lim,1| 1nnnnzSzz由于从而有当时

3、1| 1.nnzz即时级数收敛111.nnnnnnzxy 级数收敛的充要条件为级数和都收敛定定理理4.24.2定理2将复数项级数的审敛问题转化为实数项级数的审敛问题.111lim0lim0,lim0,lim0.nnnnnnnnnnnnnnxyxyzzz 而 由 实 数 项 级 数和收 敛 的 必 要 条 件和立 即 可 得从 而 推 出 复 数 项 级 数收 敛 的 必 要 条 件 是1limlim()0nnnnnnnzzxiy 级数收敛的为必必要要件件定定理理4 4. .3 3条条1111|nnnnnnnnzzzz 若级数收敛,则也收敛.且不等式成立定定理理4 4. .4 4,nn=1此时称

4、级数z 为非绝对收敛的收敛级数称绝对收敛条为件收敛.例4.2 判断下列级数是否收敛？是否绝对收敛？21111(1); (2);(3)2nnnnnniiinnn解 1) 因 发散 ; 收敛, 故原级数发散.111nnnan1112nnnnb111111111()(12)24635( 1)(21)1)2nnnnnniininn 1111( 1)( 1),.221nnnnnninnn因都收敛 故收敛111,nninnn又且级数发散1.nnin所以级数条件收敛222111,nninnn因为且级数3绝对收敛)21.nnin所以级数绝对收敛111)1;ninn例4.3 判断下列级数是否收敛？是否绝对收敛？

5、14);2nnin15);22nnnnin1( 1)13)2nnnin0(8 )2);!nnin(1)发散发散;(2)绝对收敛绝对收敛;(3)收敛收敛,条件收敛条件收敛;(4)绝对收敛绝对收敛;(5)绝对收敛绝对收敛.( )1,2)nfzn 设(为区域D内的函数,则称定定义义121( )( )( )( )nnnfzf zfzfzn复变函数项无穷级数为区域D内的.其前 项和为12( )( )( )( )1,2)nnSzf zfzfz n(4.2 4.2 复变函数项级数复变函数项级数1.1.复变函数项级数复变函数项级数1( )( )nnfzS z若级数在区域D内处处收敛,则其和为区域D内的一个函数

6、即称为和函数.00lim()nnSzz若不存在,则称级数在是发散的.000lim()(),nnzSzS z设为区域D内一点,若则称级00()S zz数在 是为它收敛的,的和，即001()()nnfzS z001010()()()nnnnnCzzCC zzCzz形如的级数为定义幂级数.011()nnnCzzz 若幂级数在点 收敛,定定理理4.54.5010| |zzzz则在圆域内绝对收敛.若在2020| |zzzzz点发散,则在内发散.2.2.幂级数幂级数(阿贝尔定理阿贝尔定理)001010|()| |()|nnnnnnzzCzzCzzMqzz10100(),lim()0,nnnnnnCzzCz

7、z证明：因收敛 则10|() |nnMnCzzM则存在使对所有的 有001010| |,1,|zzzzzzqzz如果则而00.nnnnnMqc z由于收敛,故级数绝对收敛200200(),| |nnnCzzzzzz已知级数发散 且00,(),nnnczz用反证法 设级数反而收敛 则根据200(),nnnCzz前面的结论可导出收敛 与所设00.()nnnCzz矛盾 因此只能是发散.01()nnnCzz：幂级数的敛散性:注注(1)在复平面上每一点都收敛;0(2)除去z=z 外,在复平面上每一点都发散;00,|RzzR(3)存在使在圆内绝对收敛,在圆外发散.01()nnnCzzR其中称为幂级数的收敛

8、半径.22000,1 ()2 ()()nnzzzznzz如20002()(),1 ()2nnzzzzzzn如R求收敛半径 的常用方法：101(1)lim,()1;nnnnnnCCzzCR比值法：若则幂级数的收敛半径为01(2)lim |,()1;nnnnnCCzzR根值法：若则幂级数的收敛半径为00.RR :若，则；若，则规规定定2111;(3)nnnnnnzzznn 求级数(1)(2)的收敛半径，并讨论收敛圆周上的敛散性.例例4.34.31lim11nnnCRC：，故收敛半径都为解解1| 1lim;nnnnzzz在上由于0，故处处不收敛111nnzzzn 在处收敛,在处发散；21| 1nnz

9、zn在上绝对收敛，故处处收敛.11(1)(1),.nnnnnzznn例4.4求级数的收敛半径 4. 4. 幂级数的运算和性质幂级数的运算和性质 象实变幂级数一样象实变幂级数一样, , 复变幂级数也能进复变幂级数也能进行有理运算行有理运算. . 设设2010,)(,)(rRzbzgrRzazfnnnnnn000000101210()()(),|,()()()|.m in (,)nnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnfzgzazb zabzzRfzgzazb za baba bzzRRrr 00|,( ),|( )|( ) |,|,( )( ) .nnnnnnzrfza zzRg zg zrz

10、Rf g zag z(3)如 果 当时又 设 在内解 析 且 满 足则 当时这个代换运算, 在把函数展开成幂级数时, 有着广泛的应用.11(2)nnnCzz例4.5 把表示成形如的幂级数.3) f(z)在收敛圆内可以逐项积分, 即010( )d() d ,|( )d()1nnnCCznnanf zzczazCzaRcfzan或0( )|( )f zzzRf z泰勒展开 设函数在圆内解析定,则可展为幂级数理定定理理4 4. .6 6( () )( )000()( )() ,(0,1)!nnnnnfzf zCzzCnn其中( )f z上式称为的泰勒展式，其右边称为泰勒级数.00( )fzzz： 泰

11、 勒 定 理 说 明 函 数在 一 点解 析 的充 要 条 件 为 它 在的 邻 域 内 可 展 成 泰 勒 级 数 .注注4.3 4.3 泰勒级数泰勒级数 利用泰勒展开式, 我们可以直接通过计算系数:), 2 , 1 , 0()(!10)(nzfncnn把 f (z)在z0展开成幂级数, 这被称作直接展开法例如, 求 ez 在 z = 0处的泰勒展开式, 由于(ez)(n) = ez, (ez)(n)|z=0 = 1 (n=0,1,2,.) ， 故有2e1.2!nzzzzzn 因为ez在复平面内处处解析, 上式在复平面内处处成立, 收敛半径为+.同样, 可求得sin z与cos z在z=0的

12、泰勒展开式:3521242sin( 1)3!5!(21)!cos1( 1)2!4!(2 )!nnnnzzzzzznzzzzzn 除直接法外, 也可以借助一些已知函数的展开式, 利用幂级数的运算性质和分析性质, 以唯一性为依据来得出一个函数的泰勒展开式, 此方法称为间接展开法. 例如sin z在z=0的泰勒展开式也可以用间接展开法得出:2100011()()sin(ee)( 1)22!(21)!nnniziznnnnizizzzziinnn 解 由于函数有一奇点z=-1, 而在|z|1内处处解析, 所以 可在|z|1内展开成z的幂级数. 由于 211( 1),| 1.1nnzzzzz 例例1 1

13、 把函数把函数 展开成展开成z z的幂级数的幂级数. . 21 1z将上式两边求导得 21121123( 1),| 1.(1)nnzznzzz 例例2 求对数函数的主值求对数函数的主值ln(1+z)在在z=0处的幂级数展开式处的幂级数展开式.解 ln(1+z)在从-1向左沿负实轴剪开的平面内是解析的, -1是它的奇点, 所以可在|z|1展开为z的幂级数.1OR=1xy01ln(1)1( 1),nnnzzz因为逐项积分得0001dd1( 1)d,zzznnz231ln(1)( 1)| 1.231nnzzzzzzn 即000( )( )f zzf zzzz函数在 解析在 的某邻域内可展开为的幂级数

14、0( )( )f zDf zDzz函数在区域 解析在 内任一点处可展开为的幂级数推论推论1:推论推论2 2： 解析，在区域设函数Dzf)(),(,00DzdistRDz00( )f zzzRz则在内可展开为 的幂级数推论推论3:3:幂级数的和函数在其收敛圆周上至少有一个幂级数的和函数在其收敛圆周上至少有一个奇点奇点.(.(即使幂级数在其收敛圆周上处处收敛即使幂级数在其收敛圆周上处处收敛) )推论推论4：展开式：解析，且有在设函数Taylor)(0zzf最近的一个奇点，的距是0)(zzf为其收敛半径。则0zR例如：,61)(02nnnzCzzzf; 2R则其收敛半径,)(61)(02nnnizC

15、zzzf5.R 则其收敛半径211z它有两个奇点i, 而这两个奇点都在此函数的展开式的收敛圆周上, 所以这个级数的收敛半径只能等于1. 因此, 即使我们只关心z的实数值, 但复平面上的奇点形成了限制.1-z2+z4-如复变函数0z 求下列函数在处的泰勒展式.练练习习21(1) ( )21f zz(2) ( );1zef zz(4) ( )sin ;zf zez2(3) ( )ln(3).f zz1( )12f zzz 例4.7求函数在处的泰勒展式.21( )(1)f zziz例4.8求函数在处的泰勒展式.( )ln(1)1.f zzz 在的泰勒展式练练习习102( )|( )f zzzRf z

16、设函数在圆环域R内解析,则在圆环域内可展成洛朗定理定定理理4 4. .7 7( () )010( )() ,1( ), (0,1,2)2()nnnnnCf zCzzfCdniz其中0.Cz为圆环域内绕的任意简单闭曲线( )f z洛朗展式上式称为的，其右边称为洛朗级数.4.4 洛朗级数 一个在某圆环域内解析的函数展开为含有正,负幂项的级数是唯一的, 这个级数就是 f (z)的洛朗级数. 根据由正负整次幂项组成的级数的唯一性,一般可以用代数运算, 代换, 求导和积分等方法去展开, 以求得洛朗级数的展开式.R1R2zrK1RK2z0解：解： 函数函数 f (z) 在圆环域在圆环域 i) 0 |z|

17、1; ii) 1| z| 2; iii) 2 |z| + 内是处处解析的内是处处解析的, 应把应把 f (z)在在 这些区域内展开成洛朗级数这些区域内展开成洛朗级数. 112f zzz把在复平面上展开为z的幂级数。例1xyO1xyO12xyO2先把 f (z)用部分分式表示:11( ).12f zzz2222111( )1212i)01137(1)1.222248| 1f zzzzzzzzzz:在内ii) 在1 |z| 2内：111111( )1122112f zzzzzz iii) 在2|z|+内:111111( )121211f zzzzzzz 22234111124(1)(1)137.zzzzzzzzz222211111(1)1