复习专题：导数Word版

1、导数导数一、导数公式一、导数公式（1） 、几种常见的导数 ； ；C ()x ()R = ； ；()xa()xe = ；(log)ax ； ； (ln )x(sin )x(cos )x（2） 、导数运算规则： ； ；( )k f x ( )( )f xg x ； ； ( )( )f xg x( )( )f xg x练习：1、函数的导数为_ ；sin xyx2、若,则 2( )lnf xxx( )fx 3、若,则 ( )sincosf xx( )f二、函数的单调性二、函数的单调性在区间 A 单调递增在 A 恒成立( ),( )f xC f x( )0fx在区间 A 单调递减在 A 恒成立 ( ),

2、( )f xC f x( )0fx作用：可求单调区间作用：可求单调区间解不等式；或判定函数在某区间单调；解不等式；或判定函数在某区间单调；常识：看到单调，就想到导数大于等于（或小于等于）常识：看到单调，就想到导数大于等于（或小于等于）0 0 在给定区间恒成立在给定区间恒成立练习：1、已知在 R 上是减函数，则的取值范围是 13)(23xxaxxfa2、设是函数的导函数，的图象如图（1）所示，则的图象最( )fx( )f x( )yfx( )yf x有可能为（ ）3、已知函数, 的导函数的图象如下图，那么, 的图( )yf x( )yg x( )yf x( )yg x象可能是（ ）4、已知对任意

3、实数，有，且时，x()( )()( )fxf xgxg x ，0 x ，则时（ ）( )0( )0fxg x，0 x A B ( )0( )0fxg x，( )0( )0fxg x，C D( )0( )0fxg x，( )0( )0fxg x，5、若在（1，4）内为减函数，在（6，+）上为增函数，1) 1(2131)(23xaaxxxf则的范围是 a三、极值和极值点三、极值和极值点（1 1） 、极值点的判别法、极值点的判别法-函数草图中的转折点或导数草图中与函数草图中的转折点或导数草图中与轴的交点轴的交点x函数的草图 导数的草图注意点：如图，是边界点不是极值点；，是转折点，才11( ,()xf

4、 x22(,()xf x33(,()xf x是极值点，其中极大值点，极小值点，22(,()xf x33(,()xf x是极大值，极小值；-极大值、极小值统称极值-是函数值2()f x3()f x由于极值点由横坐标决定，因此，常称为极大值点，极小值点；所以求极值点-求2x3x横坐标（即的解）( )0fx导数的草图需画轴；轴上方，导数大于 0，函数单调递增；下方导数小于 0，函数单调xx递减-画2O1轴x（2 2） 、求函数、求函数的极值的方法：的极值的方法：( )yf x求出的根；利用导数草图判定是极大值点还是极小值点；求出( ) 0fxixix极值（3 3）求最值的方法）求最值的方法求出的根；

5、作出导数草图；作出函数草图；计算比较得到最值( ) 0fxix练习：1、已知函数在区间上的最大值为，则 .3( )128f xxx 3,3MM 在的值域是 2( )2f xxx （，）2、已知。如图，的图象过点（1，0） ， （2，0） ，则下列32( )f xxbxcx( )yfx说法中：不正确的有时，函数取到极小值； 32x ( )yf x函数有两个极值点；( )yf x； 6c 时，函数取到极大值；1x ( )yf x3、设，函数的图像可能是（ ）ab2() ()yxaxbAobayxBobayxCobayxDobayx4、若函数在处取极值，则 2( )1xaf xx1x a 四、切线：

6、四、切线：曲线在处切线的斜率，切点，从而切线方( )yf x0 xx0()kfx00(,()xf x程为 -求切线方程求切线方程-关键在求切点的横坐标关键在求切点的横坐标000()()()yf xfxxx练习：1、设点是上一点，则在点处的斜率取值范围是 ( , )P x y3yxxP 2、曲线在点（0,1）处的切线方程为 21xyxex3、已知曲线的一条切线的斜率为，则切点的横坐标为 23ln4xyx12 4、设 P 为曲线 C：上的点，且曲线 C 在点 P 处切线倾斜角的取值范围223yxx为，则点 P 横坐标的取值范围为 04， 5、在曲线的切线中，则斜率最小的切线方程是 323610yx

7、xx6、若曲线 y=在点（0，b）处的切线方程式=0，则 ，2xaxb1xya b 7、若曲线存在垂直于轴的切线，则实数的取值范围是 2f xaxInxya解答题解答题1、已知函数的图象过点 P（0，2） ，且在点 M（1，f（1） ）处daxbxxxf23)(的切线方程为.076 yx（）求函数的解析式；（）求函数的单调区间.)(xfy )(xfy 2、已知是二次函数，不等式的解集是且在区间上的最大( )f x( )0f x (0,5),( )f x1,4值是 12。（I）求的解析式；（II）是否存在自然数使得方程在区间( )f x,m37( )0f xx内有且只有两个不等的实数根？若存在，

8、求出的值；若不存在，说明理由。( ,1)m mm3、设函数22( )21(0)f xtxt xtxt R，（）求的最小值；（）若对恒成立，求实数的取( )f x( )h t( )2h ttm (0 2)t，m值范围4、已知函数的图象过点（1，6） ，且函数的32( )2f xxmxnx( )( )6g xfxx图象关于y轴对称.()求m、n的值及函数y=f(x)的单调区间；()若a0，求函数y=f(x)在区间（a-1,a+1）内的极值.5、已知函数 f（x）=的图像在点 P（0,f(0)）处的切线方程为 y=3x-23213xxaxb()求实数 a,b 的值；()设 g（x）=f(x)+是上的

9、增函数。1mx2, （i）求实数 m 的最大值； (ii)当 m 取最大值时，是否存在点 Q，使得过点 Q 的直线若能与曲线 y=g(x)围成两个封闭图形，则这两个封闭图形的面积总相等?若存在，求出点 Q 的坐标；若不存在，说明理由。6、已知函数1( )ln1()af xxaxaRx（I）当时，求曲线在点处的切线方程；（II）当时，讨论1a ( )yf x(2,(2)f12a 的单调性( )f x7、已知函数，常数讨论函数的奇偶性，并说明理0()(2xxaxxf)aR)(xf由；若函数在上为增函数，求的取值范围)(xf2)x ，a8、已知函数求曲线在点处的切线方程；设，3( )f xxx( )

10、yf x( )M tf t，0a 如果过点可作曲线的三条切线，证明：()ab，( )yf x( )abf a 9、已知函数42( )32(31)4f xaxaxx（I）当时，求的极值;（II）若在上是增函数，求的取值范围16a ( )f x( )f x1,1a二阶导数的意义二阶导数的意义二阶导数就是对一阶导数再求导一次， 意义如下： （1）斜线斜率变化的速度，表示的是一阶导数的变化率（2）函数的凹凸性。 （3）判断极大值极小值。结合一阶、二阶导数可以求函数的极值。当一阶导数等于零，而二阶导数大于零时，为极小值点；当一阶导数等于零，而二阶导数小于零时，为极大值点；当一阶导数、二阶导数都等于零时，

11、为驻点。一、用二阶导数判断极大值或极小值定理一、用二阶导数判断极大值或极小值定理设设在在二阶可导，且二阶可导，且)(xf0 x0)(, 0)(00 xfxf(1)(1) 若若，则，则在在取得极大值；取得极大值；0)(0 xf)(xf0 x(2)(2) 若若，则，则在在取得极小值取得极小值0)(0 xf)(xf0 x例例 试问为何值时，函数在处取得极值？它取得极值？它axxaxf3sin31sin)(3x是极大值还是极小值？求此极值是极大值还是极小值？求此极值解解 xxaxf3coscos)(由假设知，从而有，即0)3(f012a2a又当时，且2axxxf3sin3sin2)( ，所以在处取得极

12、03)3( fxxxf3sin31sin2)(3x大值，且极大值3)3(f例例 求函数的极大值与极小值593)(23xxxxf解解 在上连续，可导令)(xf4 , 2 ，0)3)(1(3963)(2xxxxxf得 和，1x3x思考： 在取得极大还是极小值？在取得极大还是极小值？)(xf1x3x( )66fxx-1 代入二阶导数表达式为-12，在取得极大值)(xf1x 3 代入二阶导数表达式 12，在取得极小值3x三、函数图像凹凸定理三、函数图像凹凸定理 若在内二阶可导，)(xf),(baooxxyy则曲线在内的图像是凹曲线的充要条件是，)(xfy ),(ba0)( xf),(bax曲线在内的图

13、像是凸曲线的充要条件是，。)(xfy ),(ba0)( xf),(bax几何的直观解释：如果如果一个函数 f(x)在某个区间 I 上有恒成立，那么在区间( )0fx I 上 f(x)的图象上的任意两点连出的一条线段，这两点之间的函数图象都在该线段的下方，反之在该线段的上方。. 曲线的凸性曲线的凸性对函数的单调性、极值、最大值与最小值进行了讨论，使我们知道了函数变化的大致情况但这还不够，因为同属单增的两个可导函数的图形，虽然从左到右曲线都在上升，但它们的弯曲方向却可以不同如图 11 中的曲线为向下凸，而图 12 中的曲线为向上凸 图 11 图 121212()()()22f xf xxxf定义定义 4.5.14.5.1 设在内可导，若曲线位于其每点处切线的上方，)(xfy ),(ba)(xfy 则称它为在内下凸(或上凹)；若曲线位于其每点处切线的下方，则称它在),(ba)(xfy 内上凸(或下凹)相应地，也称函数分别为内的下凸函数和上凸函数),(ba)(xfy ),(ba(通常把下凸函数称为凸函数)从图 11 和图 12 明显看出，