线性代数第二章习题部分答案（本）-

1、第二章向量组的线性相关性§2-1 §2-2 维向量,线性相关与线性无关(一一、填空题1.设, 其中, 则. 2.设 则线性组合.3.设矩阵,设为矩阵的第个列向量, 则.二、试确定下列向量组的线性相关性 1.解:设则即 ,线性无关。 2.线性相关 三、设有向量组,问取何值时该向量组线性相关。解:设则即 所以, 线性相关; , 线性无关 四、设线性无关,线性相关,求向量用线性表示的表示式。解:因为线性相关,所以存在不全为零的, 使得即+b=.又 因为线性无关,所以+,于是, b=.五、已知向量组,令 ,求证向量组线性相关。解:因为,所以,向量组线性相关。§2-2线性相

2、关与线性无关(二一、设线性相关,线性相关,问是否一定线性相关?并举例说明之。 解:取,. 线性相关。 取,. 线性无关。二、举例说明下列各命题是错误的:1.若向量组是线性相关的,则可由线性表示。解:取.2.若有不全为0的数,使 成立,则是线性相关,是线性相关. 解:取,.3.若只有当全为0时,等式 才能成立,则是线性无关,是线性无关。 解:取,.4.若是线性相关,是线性相关,则 有不全为0的数,使 同时成立。 解:取,.三、设向量组线性相关,且,证明存在某个向量,使能由线性表示。证明:因为向量组线性相关,所以存在不全为零的, ,使得。设,中 最后一个不为零的数是,即,又 因为,所以,。即有,使

3、得 ,于是, ,命题得证。四、已知,证明:(1能由线性表示。(2不能由线性表示。 证明:(1因为,所以线性无关,由定 理1知也线性无关;又因为,所以, 线性相关,由定理3得能由线性表示。 (2反证法。假设能由线性表示。再利用(1的结果,可推出能由线性表示,由定理2得线性相关,与矛盾。所以,不能由线性表示。 五、设,且向量线性无关,证明向量组线性无关。 证明:设,则 而向量线性无关,所以, 所以,向量组线性无关。§2-3 极大无关组(一一、证明n阶单位矩阵的秩为n.证明:n阶单位矩阵的列向量组为 , 设, 则 所以,线性无关,秩为n,则n阶单位矩阵的秩为n. 二、设矩阵其中 则.证明:

4、设矩阵的列向量组为 设, 则 所以,线性无关,秩为n,则.三、求下列向量组的秩 1.R=3 2. 解:A=(= 所以,R (=2, 为极大无关组。 四、设是一组维向量,已知维单位坐标向量 能由它们线性表示,证明线性无关。证明:因为维单位坐标向量能由线性表 示,所以,而 ,所以, 于是,线性无关。五、设是一组维向量,证明它们线性无关的充分 必要条件是:任一维向量都可由它们线性表示。证明:充分性:如果任一维向量都可由线性表示, 则维单位坐标向量能由线性表示,利用 上一题的结果,线性无关。必要性:如果线性无关,对于任一维向量. 如果,则,所以,向量能由 线性表示。 如果,则这n+1个n维向量线性相关

5、,而线性无关,由定理3得向量能由 线性表示。 (另证:如果线性无关,而的维数是n,所以 为的一组基,所以中的一维向量都可由它们线 性表示。§2-3 极大无关组(二一、设为同阶矩阵,求证 。证明:设A的列向量组为,极大无关组为 ;B的列向量组为,极大无关组 为. 则A+B的列向量组为能由(A,B的列向量组线性表示, 所以,. 又(A,B的列向量组能由 线性表示,所以,. 二、设向量组能由向量组线性表示 其中为矩阵,且线性无关。证明线性无关的充分必要条件是矩阵的秩为.证明:必要性. 已知线性无关. 则, 设矩阵矩阵,则B=AK,所以,r=,得. 充分性. 已知,则K的列向量组线性无关。设

6、 线性无关。三、设证明:向量组与向量组等价。证明:因为所以,向量组可以由向量组线性表示。把各式相加后得 可得所以,向量组可以由向量组线性表示。由上,向量组与向量组等价。四、已知3阶矩阵与3维列向量满足,且向 量组线性无关,记,求3阶矩阵使 . 解:设, A 由向量组线性无关得.§2-4§2-5 向量空间,内积与标准正交基一、设, , ,问是不是向量空间,为什么?答:是,不是,是 二、验证:为的 一个基, 并把用这个基线性表示.解:(= 所以， . 三、 证明 中不存在 n+1 个线性无关的向量，从而 中不存 在 n+1 个两两正交的非零向量。 证明：因为 向量。 又因为两两正交的非零向量必是线性无关的，所以， 不存在 n+1 个两两正交的非零向量。 中 的维数是 n，所以 中不存在 n+1 个线性无关的 四、 把下列向量组规范正交化 解： ; ; ; 所以， . 六、证明下列各题 (1 为