用OLS法得到的估计模型通过统计检验后

1、 异方差用OLS法得到的估计模型通过统计检验后，还要检验摸型是否满足假定条件。由1.3 节知，只有模型的4个假定条件都满足时，用OLS法得到的估计量才具有最佳线性无偏特性。当一个或多个假定条件不成立时，OLS估计量将丧失上述特性。本节讨论当假定条件不成立时，对参数估计带来的影响以及相应的补救措施。以下讨论都是在某一个假定条件被违反，而其他假定条件都成立的情况下进行。分为5个步骤。（1） 回顾假定条件。（2） 假定条件不成立对模型参数估计带来的影响。（3） 定性分析假定条件是否成立。（4） 假定条件是否成立的检验（定量判断）。（5） 假定条件不成立时的补救措施。1.5.1 同方差假定模型的假定条

2、件 给出Var(u) 是一个对角矩阵， Var(u) = s 2I = s 2 (5.1)且u的方差协方差矩阵主对角线上的元素都是常数且相等，即每一误差项的方差都是有限的相同值（同方差假定）；且非主对角线上的元素为零（非自相关假定），当这个假定不成立时，Var(u) 不再是一个纯量对角矩阵。 Var(u) = s 2 W = s 2s 2 I. (5.2) 当误差向量u的方差协方差矩阵主对角线上的元素不相等时，称该随机误差系列存在异方差，即误差向量u中的元素ut 取自不同的分布总体。非主对角线上的元素表示误差项之间的协方差值。比如 W 中的 si j与s 2的乘积 ,（i j）表示与第i组和第

3、j组观测值相对应的ui与 uj的协方差。若 W 非主对角线上的部分或全部元素都不为零，误差项就是自相关的。本节讨论异方差。下一节讨论自相关问题。以两个变量为例，同方差假定如图5.1和5.2所示。对于每一个xt值，相应ut的分布方差都是相同的。 图5.1 同方差情形 图5.2 同方差情形1.5.2 异方差表现与来源异方差通常有三种表现形式，（1）递增型，（2）递减型，（3）条件自回归型。递增型异方差见图5.3和5.4。图5.5为递减型异方差。图5.6为条件自回归型异方差。 图5.3 递增型异方差情形 图5.4 递增型异方差 图5.5 递减型异方差 图5.6 复杂型异方差(1) 时间序列数据和截面

4、数据中都有可能存在异方差。(2) 经济时间序列中的异方差常为递增型异方差。金融时间序列中的异方差常表现为自回归条件异方差。无论是时间序列数据还是截面数据。递增型异方差的来源主要是因为随着解释变量值的增大，被解释变量取值的差异性增大。 1.5.3 异方差的后果下面以简单线性回归模型为例讨论异方差对参数估计的影响。对模型yt = b0 + b1 xt + ut 当Var(ut) = st 2，为异方差时（st 2是一个随时间或序数变化的量），回归参数估计量仍具有无偏性和一致性。以为例E()= b1 但是回归参数估计量不再具有有效性。仍以为例，Var () = 因此异方差条件下的失去有效性。另外回归

5、参数估计量方差的估计是真实方差的有偏估计量。例如E() Var () 1.5.4 异方差检验1.5.4.1 定性分析异方差 (1) 经济变量规模差别很大时容易出现异方差。如个人收入与支出关系，投入与产出关系。 (2) 利用散点图做初步判断。 (3) 利用残差图做初步判断。 1.5.4.2 异方差检验(1) White检验White检验由H. White 1980年提出（下面要解释的Goldfeld-Quandt 检验必须先把数据按解释变量的值从小到大排序，Glejser检验通常要试拟合多个回归式）。White检验不需要对观测值排序，也不依赖于随机误差项服从正态分布，它是通过一个辅助回归式构造

6、c2 统计量进行异方差检验。White检验的具体步骤如下。以二元回归模型为例：yt = b0 +b1 xt1 +b2 xt2 + ut (5.9)首先对上式进行OLS回归，求残差。做如下辅助回归式，= a0 +a1 xt1 +a2 xt2 + a3 xt12 +a4 xt22 + a5 xt1 xt2 + vt (5.10)即用对原回归式中的各解释变量、解释变量的平方项、交叉积项进行OLS回归。注意，上式中要保留常数项。求辅助回归式(5.10)的可决系数R2。White检验的零假设和备择假设是 H0: (5.9)式中的ut不存在异方差， H1: (5.9)式中的ut存在异方差在不存在异方差假设

7、条件下统计量 T R 2 c 2(5) (5.11)其中T表示样本容量，R2是辅助回归式(5.10)的OLS估计式的可决系数。自由度5表示辅助回归式(5.10)中解释变量项数（注意，不计算常数项）。T R 2属于LM统计量。判别规则是若 T R 2 c2a (5), 接受H0 （ut 具有同方差）若 T R 2 c2a (5), 拒绝H0 （ut 具有异方差） (2) Goldfeld-Quandt 检验 H0: ut 具有同方差， H1: ut 具有递增型异方差。构造F统计量。把原样本分成两个子样本。具体方法是把成对（组）的观测值按解释变量的大小顺序排列，略去m个处于中心位置的观测值（通常T

8、 30时，取m T / 4，余下的T- m个观测值自然分成容量相等，(T- m) / 2，的两个子样本。） x1, x2, , xi-1, xi, xi+1, , x T-1, xT n1 = (T-m) / 2 m = T / 4 n2 = (T-m) / 2 用两个子样本分别估计回归直线，并计算残差平方和。相对于n2 和n1 分别用SSE2 和SSE1表式。 F统计量是 F = = ，（k为模型中被估参数个数）在H0成立条件下，F F( n2 - k, n1 - k) 判别规则如下，若 F Fa (n2 - k, n1 - k) , 接受H0 （ut 具有同方差）若 F Fa (n2 -

9、k, n1 - k) , 拒绝H0 （递增型异方差）注意： 当摸型含有多个解释变量时，应以每一个解释变量为基准检验异方差。 此法只适用于递增型异方差。 对于截面样本，计算F统计量之前，必须先把数据按解释变量的值从小到大排序。（3）Glejser检验 检验 | 是否与解释变量xt存在函数关系。若有，则说明存在异方差；若无，则说明不存在异方差。通常应检验的几种形式是 | = a0 + a1 xt | = a0 + a1 xt2 | = a0 + a1, .Glejser检验的特点是：既可检验递增型异方差，也可检验递减型异方差。 一旦发现异方差，同时也就发现了异方差的具体表现形式。 计算量相对较大。

10、当原模型含有多个解释变量值时，可以把 | 拟合成多变量回归形式。(4) 自回归条件异方差（ARCH）检验 异方差的另一种检验方法称作自回归条件异方差 (ARCH) 检验。这种检验方法不是把原回归模型的随机误差项st 2 看作是xt 的函数，而是把st 2 看作误差滞后项ut-12 , ut-22 , 的函数。ARCH是误差项二阶矩的自回归过程。恩格尔（Engle 1982）针对ARCH过程提出LM检验法。辅助回归式定义为= a0 + a1 + + a n (5.12)LM统计量定义为 ARCH = T R 2 c 2(n) 其中R 2是辅助回归式（5.12）的可决系数。在H0：a1 = = a

11、n = 0 成立条件下，ARCH渐近服从 c 2(n) 分布。ARCH检验的最常用形式是一阶自回归模型（n = 1）， = a0 + a1 在这种情形下，ARCH渐近服从 c 2(1) 分布。 1.5.5. 克服异方差的方法克服异方差的矩阵描述。设模型为 Y = X b + u 其中E(u) = 0，Var(u) = E(u u) = s 2 W。W 已知，b 与k未知。因为 W I，违反了假定条件，所以应该对模型进行适当修正。 因为 W 是一个T 阶正定矩阵，所以必存在一个非退化TT 阶矩阵M使下式成立。 M W M = I TT从上式得 M M = W -1用M左乘上述回归模型两侧得 M

12、Y = M X b + M u取Y* = M Y, X * = M X, u* = M u , 上式变换为 Y* = X*b + u* 则 u* 的方差协方差矩阵为 Var(u*) = E(u* u* ) = E (M u u M ) = M s 2 W M = s 2 M W M = s 2 I变换后模型的Var(u*)是一个纯量对角矩阵。对变换后模型进行OLS估计，得到的是 b 的最佳线性无偏估计量。这种估计方法称作广义最小二乘法。b 的广义最小二乘 (GLS) 估计量定义为 (GLS) = (X* X*)-1 X* Y* = (X M M X ) -1 X M M Y = (X W -1

13、X) -1 X W -1Y （1）对模型 yt = b0 + b1 xt1 + b2 xt2 + ut (5.15)假定异方差形式是Var(ut) = (s xt1)2。（因为Var(ut) = E(ut)2，相当于认为 | = s xt）用xt1同除上式两侧得 yt / xt1 = / xt1 + b2 xt2 / xt1 + ut / xt1 , (5.16)因为Var(ut / xt1) = (1/ xt12 ) Var(ut) = (1/ xt12 ) s 2 xt12 = s 2， (5.16) 式中的随机项 (ut / xt) 是同方差的。对 (5.16) 式做OLS估计后，把回归

14、参数的估计值代入原模型 (5.15)。对 (5.16) 式应用OLS法估计参数，求 S (ut / xt1) 2 最小。其实际意义是在求 S (ut / xt1)2 最小的过程中给相应误差项分布方差小的观测值以更大的权数。所以此法亦称为加权最小二乘法，是GLS估计法的一个特例。以异方差形式Var(ut) = s 2 xt2为例，用矩阵形式介绍克服异方差。s 2 W = s 2定义 M = 从而使Var(M u) = E (M u u M ) = M s 2 W M = s 2 M W M = s 2= s 2 I TT 即对于 (5.16) 式来说误差项已消除了异方差。 （2）利用Glejse

15、r检验结果消除异方差假设Glejser检验结果是 | = +xt说明异方差形式是Var(ut) = (+xt)2s2。用 (+xt) 除原模型 (5.15) 各项, = b0 + b1 + (5.17)则 Var() = Var(ut) = (+xt)2s2 = s2说明消除了异方差。对 (5.17) 式做OLS估计，把回归参数的估计值代入原模型 (5.15)。（3）通过对数据取对数消除异方差。 中国进出口贸易额差（1953-1998），文件名：pap1 对数的中国进出口贸易额之差（4）当模型中存在自回归条件异方差时，可以采用极大似然估计法，通过建立自回归条件异方差辅助方程的形式估计原回归模型

16、。（超出课程范围）案例1 取1986年中国29个省市自治区农作物种植业产值yt（亿元）和农作物播种面积xt（万亩）数据（file:hete01，hete02）研究二者之间的关系。得估计的线性模型如下， yt = -5.6610 + 0.0123 xt (5.18) (12.4) R2 = 0.85, F = 155.0, T = 29 图5.7 农作物产值yt和播种面积xt (file:hete01) 图5.8 残差图(file:hete02)无论是从yt和xt观测值的散点图（见图5.7）还是模型的残差图（见图5.8）都可以发现数据中存在异方差。（1）用White方法检验是否存在异方差。在上式

17、回归的基础上，做White检验。得,注意：输出结果中的概率是指c2 (2)统计量取值大于8.02的概率为0.018。示意如下图。 因为TR2 = 8.02 c2a (2) = 6，所以存在异方差。（2）用Goldfeld-Quandt方法检验是否存在异方差。首先以xt为基准对成对样本数据（yt，xt）按取值大小排序。去掉中间7个数据，按xt取值大小分成样本容量各为11的两个子样本。用两个子样本各自回归得结果如下， yt = 2.7202 + 0.0106 xt , (t = 1, , 11) (5.19) (5.8) R2 = 0.80, F = 33.8, SSE = 1266, yt =

18、5.8892 + 0.0118 xt , (t = 19, , 29) (5.20) (3.0) R2 = 0.50, F = 9.1, SSE = 14174 F = = 11.2,因为F = 11.2 F0.05 (9, 9) = 3.18，所以存在异方差。下面克服异方差。（1）对yt和xt同取对数。得两个新变量Lnyt 和Lnxt（见图5.9）。用Lnyt 对Lnxt 回归，得 Lnyt = - 4.1801 + 0.9625 Lnxt . (5.21) (16.9) R2 = 0.91, F = 285.6, (t = 1, , 29) 图5.9 Ln yt和 Ln xt 图5.10

19、残差图经White检验不存在异方差。因为TR2 = 2.58 c20.05 (2) = 6.0，所以不存在异方差。 (文件：Statis) Goldfeld-Quandt检验异方差。去掉中间7个观测值，仍按xt大小分成两个T = 7的子样本，并回归（结果略）得SSE1 = 1.17，SSE2 = 0.65，经Goldfeld-Quandt检验，有 F = = 0.56, 因为0.56小于F0.05 (9, 9) = 3.18，所以取对数后，模型中不存在递增型异方差（残差见图5.10）。 用Glejser法检验异方差用 (5.18) 式, yt = -5.6610 + 0.0123 xt, 的残差的绝对值对xt回归 | = 0.0024 xt (8.0) R2 = 0.22可见误差项的异方差形式是Var(ut) = E(ut)2 = 5.7610-6 xt2。克服异方差的方法是用xt分别除(5.18) 式两侧，得变换变量yt* = yt / xt，xt* = 1 / xt。用yt* 对xt* 回归（见图5.11），得 yt* = 0.0113 + 0.8239 xt* (5.22) (13.8) (0.8) R2 = 0.63, F = 46.1 图5.11 yt* 和 xt* 图5.12 残