导数的综合应用练习题及答案汇总

1、匕。导数应用练习题答案1. 下列函数在给定区间上是否满足罗尔定理的所有条件？如满足，请求出定理中的数值(1)f(x) =2x2 -X-3-1,1.5；1 f(x)"一2,2； f(x)0,3； f(x)=ex -11,1解：(1)f(x) =2x2-X-31,1-5该函数在给定闭区间上连续，其导数为f'(x)=4x-1，在开区间上可导，而且f(-1)=0,满足罗尔定理，至少有一点f (1.5)=0,使 f =4© _1 = 0,解出©"-1,1.5),J o41解：(2)f(x2乔7一2,2该函数在给定闭区间上连续,其导数为f'(x)-2

2、x1=一罕,在开区间上可导， 而且f (-2)=丄 (1 + x2)251,f(2)=-,5满足罗尔定理，至少有一点从(一2,2)，使 f 徉)=：2 2 =0，解出 E =0 O (1+©2)2解：(3)f(x)=xQx0,3该函数在给定闭区间上连续，其导数为f XxTx -一，在开区间上可导，而且2jx-3f(0)=0,f(3) =0,满足罗尔定理，至少有一点使 f I© =0，解出2严32解： f(x)=ex -11,1(1)f(x)=x30,a (a AO)； f(X)=1 nx1,2(3)f(x) =x3 -5x2 +x-2T,0解：(1)f(x)=x30,a (

3、a>0)该函数在给定闭区间上连续，其导数为f(x) =3x2，在开区间上可导，满足拉格朗日定理条件，至少有一点匕亡(0,a)，使 f(a)-f(0) =f 化)(a-0)，即 a3 0 =3©2(a 0)，解出 © =。73解：(2)f(x)=l nx1,21该函数在给定闭区间上连续，其导数为f'(X)=丄，即在开区间上可导，满足拉格朗日定理条件，至少有x1 1一点匕迂(1,2)，使 f(2) -f(1)= f 牡)(2 -1)，即 ln 2-l n1 =1(2-1)，解出 E =。匕ln 2解：(3) f(X)= X3-5x2 +X-21,0该函数在给定闭区

4、间上连续，其导数为f'(X)=3x2-10x + 1,即在开区间上可导，满足拉格朗日定理条件，至少有一点匕(1,0)，使f(0)-f(1) = f 徨)(0 +1)，乂5-743解出© = 一-一。32 且 F(x)=w +2(1 + x2)-2x ”2x _2(1 + x2)21+x2 石0即2 (9) =(3©2 -10匕 +1)(0 + 1)，3. 不求导数，判断函数f(x) =(x-1)(x-2)(x-3)(x-4)的导数有几个实根及根所在的范围。答案：有三个根，分别在 (1,2),(2,3),(3,4)2x4证明：当2时，恒等式2ar如宀-应"成

5、立2X证：设 F(x) =2arctanx+arcsin21+x2当X >1时，F(x)连续，当X >1时，F(x)可导JI JI即当 x31 时，F(x) wC，即 f(x) = F(1) = 2x+=兀42故当 X >1 时，2arctan x +arcsin1 +x5设f(x)在0,1上连续，在(0,1)内可导，且f(0)=0，证明在(0,1)内存在一点c， 使 cf'(c)+2f(c) =f'(c).证明：令F(x) =(x1)2f(x)，则F(x)在0,1上连续，在(0,1)内可导，且因f (0) =0，则F(0)=0 =F即F(x)在0,1上满足罗

6、尔定理的条件，则至少存在c(0,1)使F'(c)=0 又 F(x) =2(x 1)f(X)+(x1)2 f'(X)，即 2(c-1)f (c) +(c1)2f'(c) =0而 c 迂(0,1)，得 cf '(c) +2f(c) = f'(c)6.已知函数f (x)在0,1上连续，在(0,1)内可导，且f(0)=1,f(1) = 0,证明在(0,1)内至少存在一点t， 使得fW=fl.证明：令F(x)=xf(x)，则F(x)在0,1上连续，在(0,1)内可导，且F(0)=0 = F(1)即F(x)在0,1上满足罗尔定理的条件，则至少存在©岂0,1

7、)使F牡)=0又 F(x) = f(x)+ xf (x)，即 f(r)+Uf 牡)=0，故.17.证明不等式:sin X2 sin x, < x? 为证明：设函数f(x)=sinx , VXi,X2忘R，不妨设x, ex?,该函数在区间Xi,X2上连续，在(Xi,X2)上可导，由拉格朗日中值定理有f(X2) f(xj= f'(©)(X2x)，(X,V 匕 <屜)即 sin屜一sinx =cos©(X2-xj，故 sin x2 -sinx, = cosr(X2 -xj，由于 cost <1，所以有 sin X2 -sinx, < x2 -x,8

8、.证明不等式：nb2(a-b) ca" -bn c nan°(a -b) (n >1,a >b >0)证明：设函数f(x)=xn，在b, a上连续，在(b,a)内可导，满足拉格朗日定理条件，故an -bn = nrn°(a -b)，其中 0 cb <E <a，nfr in tn_In_1因此b <：<a有nbUa -b) c门严仗-b) c门玄心心-b)所以 n-b) C ab naa-b)9.利用洛必达法则求下列极限:X e -eX-XX -X的e -ee +e解：lim X-0X=lim= 2XT 1(2) ixmPm

9、："X3 -3x2 +2忸 x3-x2-x+1X3 -3x2 +2解：匹 x3x2x+1lim 3孑-6x 虫心 3x2 -2x-1 lim+l2(im ；嗨十tan X解:兀ln (x-2)lim 2-X援十tan X兀x -21cos2 x2COS xlim+2cosx5x)=0 2(5)nXlim卞eax(a :>0,n为正整数)解:n i X lim - X 十 eaxn 二nx=lim a-5c a e=lim 一 J從an!axe=0 lmX ln(m a0)；解：lim ,xm lnx xt0十ln x=xim+xm_m_J-mxlim. m1鸣x解：lim( 一

10、 xX-0 X e -1x /e -1 -x1)=|卄 x，"'=limxTx®1)Tx .e -1x . , xe -1 +xeX . X , x e +e +xe= lim =1T2 + x 21(8)lim1 +sinxf ；1解：lim1 +sin x)lim(1 +sin x)1 si nxsinxx =e/c isinx(9) lim仝0lim sinxlnxlim解：limyinx =exT 千=eTX_0十lnx .sin 丄x=1 二心nxcosx. sin2x.lim lim -cos XX=eT= eTsinx sin x-cosx 0.=e

11、= 1In (1 +kx)10.设函数 f(x) = XI1-1X H 0，若f(X)在点x = 0处可导，求X =0k与f '(0)的值。解：由于函数在x=0处可导,ln (1 +kx)因此函数在该点连续，由连续的概念有xmo=lim 丛=k = f (0) = T，即 k = -1x按导数定义有“3 =x-0limx 屮In (x) 1= limln(1xxX7X2-1 +1= lim 7 2x1"2"1 -cosx11.设函数f(X)=/X =0，当k为何值时,f(X)在点x = 0处连续。1e -1X c0解：函数连续定义，l_f (x)翊+f(x) = f

12、(0)，lim f(X)= lim(1 -j) = lim 八=lim xTx e -1 T一x(e -1) TX / e -1X . X .Xe +e +xe_ 121 _ cos X 11lim +f(X)= lim 2= 一，而 f (0) = k = lim f (x)=-X Vx P X 2x P21即当k =5时，函数f (X)在x=0点连续。12. 求下列函数的单调增减区间:(1)y =3x2 +6x +5 ； 解：y'=6x+6= 0,有驻点 x=1，由于当X c -1时，/，此时函数单调减少;由于当X-1时，/ >0，此时函数单调增加;(3)y =x4 -2x2

13、 +2 ； 解：y = 4x1 +x -4x = 4x(x y=1 -1)，令 y' = 0 ,有 x=0, x=1,x=T,当X c -1时，y 'v。，此时函数单调较少；当 当0<:x<1时，y'<0，此时函数单调较少；当-1 C X V 0时，y' > 0，此时函数单调增加;X A 1时，y A 0，此时函数单调增加解:八 2x(1+x)-x2(1+x)2=啤，令y，=0，有(1+x)2X = 0, X = -2，此外有原函数知X H -1，2cx1时，y'c0，此时函数单调减少; t X >0时，y':>

14、;0，此时函数单调增加；当X c -2时，/ >0，此时函数单调增加；当 当-1 <x<:0时，y'<0，此时函数单调减少；当13. 证明函数y=x-ln(1+x2)单调增加。证明：八去二譽"，等号仅在X =1成立，所以函数y =x-ln(1+x2)在定义区间上为单调增加。14. 证明函数y=sinx-x单调减少。解：y 丄COSX1<0，等号仅在孤立点x=2 n;i(n= 0,±1,±2|川ID成立，所以函数 y=si nx-x在定义域内为单调减少。115. 证明不等式：2仮>3- (x>0,xK1)X1x7X_

15、12X11证明：设 f(x) =2jX-3+,在 x=1 时，f(1)=0，且 f'(x)=TXVx当X >1时，f (X)A0，函数单调增加，因此f(X)> f(1) = 0 ；当0<x<1时，f(x)<0，函数单调减少，因此 f(x)Af(1)=0 ；所以对一切 X ：>0，且 X h1，都有 f(X);>0，艮卩 2jX A3 -丄(X > 0,x H 1)X16.证明：当 X HO 时，ex >1 +x 解：设 f(X)=eX -1 xf(X)=eX -1，当 X >0, f '(X)>0二 f(X),所

16、以 X aO, f(X)> f (0) = 0所以 X :>0,eX aI +x当 X <0, f (x) <0= f(X)J,所以 X <0, f(X)> f (0) =0所以 x<0,eX:>1+x/. X H0,eX >1 +x.17.证明：当X A0 时,In (1 +x)X>1 +x解：设f(X)=l n(1 +x)X1+x1+x (1+x)X 2(1+x)，当 X >0, f'(X)0= f(x),所以 X ：>0, f(X)A f (0)=0，即18.证明方程X3-3x +1 = 0在(0,1)内只有

17、一个实根。证明：令f (x)由零点定理存在= x3-3x+1, f (X)在0,1上连续，且 f (0) =1,f (1) = -1,红(0,1)，使f(5 =0,所以巴是方程X33x+1=0在(0,1)内的一个根。又因为 f（X）=3x2-3=3（X 亠-1），当 X（O,1）时 f，（x）wO，函数单调递减,当X > ©时，f（x） C f （ = 0 ,当X ©时，f（X）> f（E） =0，所以在（0,1）内只有©个实根 或用罗尔定理证明只有一个实根。19.求下列函数的极值:(1)y =xy=xe ； 解：y' = xer2-x)，驻点

18、为 x=0,x=2，二阶导数为 y、r（x2-4x +2），24显然y "（0） =2, y "（2）=，函数在x = 0点取极小值0，在x = 2处取极大值 。ee -3x2 +7 ； 解：y' = 3x2 -6x=3x(x-2)，令 y = 3x2-6x =3x(x-2) = 0，解出驻点为 x = 0;x = 2，函数在定义域内的单调性与极值见图表所示:(亠,0)(0, 2)(2严)f(X)f(X)单调增加极大7单调减小极小3单调增加XX(3-1)-1(-1,1)1（1严）（X）极小+极大f(x)单调减小-1单调增加1单调减少2 2(1+x )解：y = Nb

19、xXJ-x），驻点为X = 1,x = 1，函数的单调性与极值见表 y=3-g(x-2)；2解：y = 一2一，函数在X = 2处不可导，以此点为界划分区间并给出函数单调性与极值。3（x-2）3x(严2)2(2, P)（X）+不存在f(x)单调增加极大3单调减少xy=(x-1)V7 ；5x 22解：函数导数为 y'= ，解出驻点为X=，不可导点为X=0，函数在各个区间的单调性见表格所 '53x3(30)f (x)不存在(0,5)5(1严)5f(x)单调增加极大0单调减少极小单调增加示。X3解：y =（；）3），驻点为x=0,x=3，不可导点为x=1，划分区间并判断增减性与极值X

20、(30)0(0,1)(1,3)3(3,P)f'（X）十0+0+f(x)单调增加无极 值单调增加单调减少极小27单调增加4f(x)x20.设y=ln(1+x2)，求函数的极值，曲线的拐点。2 x解：y' = =o，解出 x=0, xvO,ytO,yJ1 +xxaO, y'>O,y ，极小值 f(0)=0y 2(1-x ) =0，解出 x = ±1，(1+x2)2x(T-1)-1(-1,1)1(1严)y0+0y凸ln2凹ln2凸拐点(1,ln 2), (1,1 n2)21.利用二阶导数，判断下列函数的极值:(1)y =(x-3)2(x-2)；解：y'

21、 = (3x7)(x3)，y 2(3x8)，驻点：x = 7，x=3，374yL二=-2 vO，因此在X =-点函数取极大值；P327y1xm=2A0，因此在x=3点函数取极小值0 ； y =2ex2e2x -1解:八2，八2ex +,由于yLjln2 =2j2>o，因此在x2In Q_=-处函数取得极小值 2/2 。222.曲线y =ax' +bx2 +cx + d过原点，在点(1,1)处有水平切线，且点(1,1)是该曲线的拐点，求 a,b,c,d解：因为曲线 y =ax' +bx2 +cx + d过原点，有d =0 ,在点(1,1)处有水平切线，点(1,1)是该曲线的

22、拐点，又因为点(1,1)在曲线上，联立方程组解出 a =1,b =；,c=3,d =0f (1)=3a +2b+ c = 0,f”(x)=6ax +2b，f”(1) = 6a + 2b=0, a +b +c +d =123.求下列函数在给定区间上的最大值与最小值:y =x4-2x2+5-2,2；解：y'=4x3 -4x=4x(x +1)(x-1)，令 y'=0,得驻点为 x = 0,x=1,x = 1，计算出驻点处和区间端点处所有的函数值为比较上述函数值，知最大值为y(2) = y(2) =13 ；y(2) =13, y(1)=4,y(0) =5,y(1) = 4, y(2)

23、=13，最小值为 y(-1) = y(1) = 4。y=ln(x2+1)-1,2；2x解：/=牛，令y'=0，得驻点为x=0， x2 +1y(1)=ln2, y(0) =0,y(2) =ln5，比较上述函数值,计算出驻点处和区间端点处所有的函数值为知最大值为y(2) =1 n 5 ；最小值为y(0) = 02y十1 +x1匕,1；解：y' = (x+ 2)x，令 才=0，得驻点为X=0,x = -2，计算出驻点处和区间端点处所有的函数值为(x+1)2111y(2) = V,y(0) =0,y(丄)=丄，y(1) =丄，比较上述函数值,2221= y(1)=；最小值为 y(0)

24、=0。2知最大值为y1)2(4) y = X + Vx0,4277+1解：y丄 2广 >0 ,函数单调增加，计算端点处函数值为y(0) = 0, y(4) = 6，知最大值为y=6 ；最小值为y(0) =024.已知函数f(X)=ax3-6ax2+b (a>0)，在区间1,2上的最大值为3，最小值为-29，求a,b的值。解：f (x) =3ax2 - 12ax，令 f (x) =3ax2 -12ax =3ax(x -4) =0 ,解出驻点为 x = 0,x = 4(舍)，且 f(-1)=b-7a， f(0)=b， f(2)=b-16a因为 a。，所以 f(0) A f(1)Af (

25、2)故 f (0) =b =3为最大值，f(2) =b -16a为最小值，即 f (2) = b-16a =-29，解出 a = 2。25.欲做一个底为正方形，容积为 108m3的长方体开口容器，怎样做所用材料最省?2解：设底面正方形的边长为 x，高为h，则表面积为S=x +4xh，2V又体积为V =x2h，有h = px+432x得S =x2 +理x即取底面边长为=x2d =2432 =0，解出 x=6，h=3 dxx高为3时，做成的容器表面积最大。26.欲用围墙围成面积为 选取多大的尺寸，才能使所用建筑材料最省?216m2的一块矩形土地，并在正中间一堵墙将其隔成两块，问这块土地的长和宽解：

26、所用的建筑材料为 L =3x +2y，其中面积xy =216，因此有L=3x +僅x生=3-警 =0,解出x=12，即当取宽为x=12米，长为dxxy =18米时所用建筑材料最省。27.某厂生产某种商品，其年销量为100万件，每批生产需增加准备费如果年销售率是均匀的，且上批销售完成后，立即再生产下一批（此时商品库存数为批量的一半） 分几批生产，能使生产准备费及库存费之和最小？解：设100万件分x批生产，生产准备费及库存费之和为y，则“CC 丄 1 000 000 5" “CC 丄 25 000y =1000x+X0.05 =1000x+，2xx,25 000y =1000 2=0，解

27、出 X =5，x问5批生产，能使生产准备费及库存费之和最小。1000元，而每件的库存费为0.05元,，问应28.确定下列曲线的凹向与拐点:y=x2-X3 ；1解：y' = 2x-3x2, y" =2-6x，令 y" = 0,x = -3(2)y =1 n(1+x2)；x1（严3）131丄（厂）口X）+02f(x)凹27凸小解：y'= 2X 、，”2 一2X1 +x2,yx(严-1)-1(-1,1)1（1严）f "（X）0+0f(x)凸In 2拐点凹In 2 拐点凸令 y” = O,x = ±1(1+x2)2(3)y =x3 ；1解:八3x

28、3，ypp-2x93_, 令y不存在点，x = o 7x5X(亠,0)0（0,址）f 7x)+不存在f(x)凹0拐点凸八半1 +x解：y，=24x(x2 -3)(1+x2)2'八(1+x2)3令 y" =0,x =0,x = ±73X（亠,妁-爲（-屁）0(0,轴73（73严）f '(X)0+00+f(x)凸竈2 拐点凹0拐点凸近2 拐点凹(5)y =xex ； 解：y' = eX(1+x), y"=eX(2+x), 令 y" = 0,x=2X(3-2)-2（-2，邑）口X）0+f(x)凸_2_-2 e拐点凹解：y' =

29、_e-,y=e-aO , 所以y =e»在 (=,母)内是凹的，无拐点。29.某化工厂日产能力最高为 1000吨，每天的生产总成本 C (单位：元)是日产量 x (单位：吨)的函数:C =C(x) =1000+7x +50仮X 可0,1000(1)求当日产量为100吨时的边际成本；(2)求当日产量为100吨时的平均单位成本。2525解：(1)边际成本 c(x)=7+上二,C'(100) =7+仝=9.5 長10(2)平均单位成本, AC(100) = C(100) = 1000 +7 + 50 =22x xVx1001001030 .生产x单位某产品的总成本 C为x的函数：C

30、 =C(x)=1100 +x2, 1200成本和平均单位成本；(2)生产900单位到1000单位时的总成本的平均变化率; 单位时的边际成本。求(1)生产900单位时的总(3)生产900单位和10001 2解：(1) C(900) =1100 +9002 =1775 , 1200C(900)J775 “ 97900900(2) C(1000)-C(900)=1 581000 -900x(3)边际成本为C(x600C (900 900 =1.5, C(1000)二1000 =1.67600 60031.设生产x单位某产品，总收益 R为x的函数：R = R(x) =200x-0.01x2，求：生产5

31、0单位产品时的总收益、平均收益和边际收益。解：总收益 R(50) =200x50-0.01x2500 =9975,平均收益 = 200 0.01X , R(50) = 200 0.01 X 50 = 199.5 , x50边际收益 R'(x) =200 -0.02X ,R'(50) =200-0.02x50 =19932.生产x单位某种商品的利润是x的函数：L(x)=5000+ x-0.00001x2，问生产多少单位时获得的利润最大？解：L'(X)=1 -0.000 02x=0，解出 x=50 000所以生产50 000个单位时，获得的利润最大？33.某厂每批生产某种商

32、品 x单位的费用为C(x)=5x + 200,得到的收益是 R(x)=10x-0.01x2，问每批生产多少单位时才能使利润最大?解：L(x) =R(x) -C(x) =5x -0.01X2 -200,令 L（X）=5 -0.02x二0 ,解出 X =250所以每批生产250个单位时才能使利润最大。34.某商品的价格P与需求量Q的关系为P= 10-Q，求（1）求需求量为20及30时的总收益R、平均5收益R及边际收益R' （2） Q为多少时总收益最大?解：总收益函数 R(Q) = PQ =(10-Q)Q=10Q5平均收益函数边际收益函数(1)R(20)R(Q)=10 -经,5400900=

33、 200 = 120,R(30) =300 = 120 ,55R(20) = RM = 10 - 20=6, R(30R(30) 130=4 ,205305,40,60R (20)=10 -=2,R (30)=10 -=-2,55,2Q(2) R (Q)=10 -亠=0,解出Q=25时总收益最大。535.某工厂生产某产品，日总成本为C元，其中固定成本为200元，每多生产一单位产品,该商品的需求函数为 Q =50-2P，求Q为多少时，工厂日总利润L最大？解：成本函数 C =C(Q) =200 + 10Q ,成本增加10元。L(Q) =PQ -C(Q) =5Q-(200 +10Q) =15Q -Q-200,2 2令 L（Q） =15-Q二0 ,解得 Q=15 ,所以Q=15，总利润L最大。高二数学（文）选修1-1导数及其应用回扣练习选择题1.下列求导运算正确的是（A、 (x+丄)-1 x2)1 x31、盹2x)FC (x2 cosx)色-2xsinx(3x)fe 3xlog3e 22、已知函数f（x）二ax + c,且（1）=2,则a的值为（A . 0B .罷 C . 13.函数y= x3+x