河北省衡水中学2015届高三下学期三调(一模)考试数学试题及答案.

1、2014-2015学年度下学期高三年级三调考试数学试卷（理科）【试卷综述】试题试卷结构稳定，考点分布合理，语言简洁，设问坡度平缓，整体难度适中. 注重基础. 纵观全卷，选择题、填空题比较平和，立足课本，思维量和运算量适当.内容丰富，考查了重点内容,渗透课改，平稳过渡.针对所复习的内容进行考查，是优秀的阶段性测试卷.【题文】第卷【题文】一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共6分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）【题文】1、已知集合，则下列结论中正确的是（ ）A B C D 【知识点】集合的运算；集合的关系A1【答案】【解析】C 解析：因为，又因为，故易知，故选C.【思路

2、点拨】先求出集合B，再进行判断即可。【题文】2、复数的共轭复数是（ ）A B C D 【知识点】复数代数形式的乘除运算L1【答案】【解析】D 解析：复数=i所以复数的的共轭复数是：i故选D【思路点拨】复数的分母实数化，化简为a+bi的形式，然后求出它的共轭复数即可【题文】3、某工厂生产三种不同的型号的产品，产品数量之比依次为，现用分层抽样的方法抽出一个容量为120的样本，已知A种型号产品共抽取了24件，则C种型号产品抽取的件数为（ ）A24 B30 C36 D40【知识点】分层抽样方法I1【答案】【解析】C 解析：新产品数量之比依次为，由，解得k=2，则C种型号产品抽取的件数为120×

3、;，故选：C【思路点拨】根据分层抽样的定义求出k，即可得到结论【题文】4、如图给出的是计算的值的一个框图，其中菱形判断框内应填入的条件是（ ）A B C D 【知识点】程序框图L1【答案】【解析】C 解析：S=并由流程图中S=S+，故循环的初值为1，终值为10、步长为1，故经过10次循环才能算出S=的值，故i10，应不满足条件，继续循环应i10，应满足条件，退出循环，填入“i10”故选C.【思路点拨】由本程序的功能是计算的值，由S=S+，故我们知道最后一次进行循环时的条件为i=10，当i10应退出循环输出S的值，由此不难得到判断框中的条件【题文】5、将函数的图象向左平移个单位，若所得图象对应的

4、函数为偶函数，则的最小值是（ ）A B C D 【知识点】函数y=Asin（x+）的图象变换；正弦函数的奇偶性C3 C4【答案】【解析】A 解析：y=sinxcosx=2sin（x）然后向左平移m（m0）个单位后得到y=2sin（x+m）的图象为偶函数，关于y轴对称，2sin（x+m）=2sin（x+m）sinxcos（m）+cosxsin（m）=sinxcos（m）+cosxsin（m）sinxcos（m）=0cos（m）=0m=2k+，m=m的最小值为故选A【思路点拨】先根据左加右减的原则进行平移得到平移后的解析式，再由其关于y轴对称得到2sin（x+m）=2sin（x+m），再由两角和与

5、差的正弦公式展开后由三角函数的性质可求得m的值，从而得到最小值【题文】6、已知等比数列中，则的值为（ ）A2 B4 C8 D16【知识点】等比数列的性质D3【答案】【解析】B 解析：因为，所以，即，则，故选B.【思路点拨】结合已知条件得到，再利用等比数列的性质即可。【题文】7、已知身穿红、黄两种颜色衣服的各有两人，身穿蓝颜色衣服的有一人，现将这五人排成一行，要求穿相同颜色衣服的人不能相邻，则不同的排法共有（ ）A48种 B72种 C78种 D84种【知识点】排列、组合及简单计数问题J2【答案】【解析】A 解析：由题意知先使五个人的全排列，共有A55种结果去掉相同颜色衣服的人相邻的情况，穿蓝色相

6、邻和穿黄色相邻两种情况穿相同颜色衣服的人不能相邻的排法是A55A22A22A332A22A22A32=48，故选A【思路点拨】由题意知先使五个人的全排列，共有A55种结果，去掉相同颜色衣服的人相邻的情况，穿蓝色相邻和穿黄色相邻两种情况，得到结果【题文】8、已知点在椭圆上，点P满足(其中为坐标原点，为椭圆C的左焦点)，在点P的轨迹为（ ）A圆 B抛物线 C双曲线 D椭圆【知识点】椭圆的简单性质H5【答案】【解析】D 解析：因为点P满足=（+），所以P是线段QF1的中点，设P（a，b），由于F1为椭圆C：+=1的左焦点，则F1（，0），故Q（，），由点Q在椭圆C：+=1上，则点P的轨迹方程为，故点

7、P的轨迹为椭圆故选：D【思路点拨】由=（+）可以推出P是线段F1Q的中点，由Q在椭圆上，F1为椭圆C的左焦点，即可得到点P满足的关系式，进而得到答案【题文】9、已知一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（ ）A B C D 【知识点】柱体、椎体的体积G2【答案】【解析】B 解析：由几何体的三视图可知原几何体可以看成是底面是梯形的四棱柱挖去了半个圆柱，所以体积为，故选B.【思路点拨】由几何体的三视图可知原几何体可以看成是底面是梯形的四棱柱挖去了半个圆柱，再利用体积公式计算即可。【题文】10、三棱锥中，平面，则该三棱锥外接球的表面积为（ ）A B C D 【知识点】球的体积和表面积G8【答

8、案】【解析】A 解析：取PC的中点O，连结OA、OBPA平面ABC，AC平面ABC，PAAC，可得RtAPC中，中线OA=PC又PABC，ABBC，PA、AB是平PSAB内的相交直线BC平面PAB，可得BCPB，因此RtBSC中，中线OB=PC，O是三棱锥PABC的外接球心，RtPCA中，AC=，PA=PC=，可得外接球半径R=PC=，外接球的表面积S=4R2=5故选A【思路点拨】根据题意，证出BC平面SAB，可得BCPB，得RtBPC的中线OB=PC，同理得到OA=PC，因此O是三棱锥SABC的外接球心利用勾股定理结合题中数据算出PC=，得外接球半径R=，从而得到所求外接球的表面积。【题文】

9、11、已知不等式组表示区域，过区域中任意一点作圆的两条切线且切点分别为，当最大时，（ ）A B C D 【知识点】简单线性规划E5【答案】【解析】B 解析：作出不等式组对应的平面区域如图，要使APB最大，则P到圆心的距离最小即可，由图象可知当OP垂直直线3x+4y10=0，此时|OP|=，|OA|=1，设APB=，则，即sin=，此时cos=12sin2=12×（）2=1=，即cosAPB=故选：B【思路点拨】作出不等式组对应的平面区域，根据数形结合求确定当最小时，P的位置，利用余弦函数的倍角公式，即可得到结论【题文】12、若函数，函数，则的最小值为（ ）A B C D 【知识点】利

10、用导数研究曲线上某点切线方程；利用导数求闭区间上函数的最值B11 B12【答案】【解析】B 解析：设z=（x1x2）2+（y1y2）2，则z的几何意义是两条曲线上动点之间的距离的平方，求函数y=sin2x（x0，）的导数，f（x）=2cos2x，直线y=x+3的斜率k=1，由f（x）=2cos2x=1，即cos2x=，即2x=，解得x=，此时y=six2x=0，即函数在（，0）处的切线和直线y=x+3平行，则最短距离d=，（x1x2）2+（y1y2）2的最小值d2=（）2=，故选：B【思路点拨】根据平移切线法，求出和直线y=x+3平行的切线方程或切点，利用点到直线的距离公式即可得到结论【题文】

11、第卷二、填空题：本大题共4题，每小题5分，共20，把答案填在答题卷的横线上。.13、已知函数的最大值为3，的图象与轴的交点坐标为，其相邻两条对称轴间的距离为2，则 【知识点】二倍角的余弦；余弦函数的图象C3 C6【答案】【解析】4030 解析：函数f（x）=Acos2（x+）+1=A+1 =cos（2x+2）+1+ （A0，0，0）的最大值为3，+1+=3，A=2根据函数图象相邻两条对称轴间的距离为2，可得函数的最小正周期为4，即=4，=再根据f（x）的图象与y轴的交点坐标为（0，2），可得 cos（2）+1+1=2，cos2=0，2=，=故函数的解析式为 f（x）=cos（x+）+2=sin

12、x+2，f（1）+f（2）+f（2014）+f（2015）=（sin+sin+sin+sin+sin）+2×2015=503×0sinsinsin+4030=0+4030=4030，故答案为：4030【思路点拨】由条件利用二倍角的余弦公式可得f（x）=cos（2x+2）+1+，由函数的最值求出A，由周期求出，由特殊点的坐标求出的值，可得函数的解析式，再利用函数的周期性求得所求式子的值【题文】14、设的三边分别为，若，则的最大值是 【知识点】基本不等式在最值问题中的应用；正弦定理；余弦定理的应用C8 E6【答案】【解析】 解析：an+1=an，an=a1，bn+1=，cn+1

13、=，bn+1+cn+1=an+=a1+，bn+1+cn+12a1=（bn+cn2a1），又b1+c1=2a1，当n=1时，b2+c22a1=（b1+c1+2a1）=0，当n=2时，b3+c32a1=（b2+c2+2a1）=0，bn+cn2a1=0，即bn+cn=2a1为常数，则由基本不等式可得bn+cn=2a12，bncn，由余弦定理可得=（bn+cn）22bncn2bncncosAn，即（a1）2=（2a1）22bncn（1+cosAn），即2bncn（1+cosAn）=3（a1）22（a1）2（1+cosAn），即32（1+cosAn），解得cosAn，0An，即An的最大值是，故答案为：

14、【思路点拨】根据数列的递推关系得到bn+cn=2a1为常数，然后利用余弦定理以及基本不等式即可得到结论【题文】15、已知双曲线上一点，过双曲线中心的直线交双曲线于A、B两点，记直线AC、BC的斜率分别为，当最小时，双曲线离心率为 【知识点】双曲线的简单性质H6【答案】【解析】 解析：设A（x1，y1），C（x2，y2），由题意知点A，B为过原点的直线与双曲线的交点，由双曲线的对称性得A，B关于原点对称，B（x1，y1），k1k2=，点A，C都在双曲线上，=1，=1，两式相减，可得：k1k2=0，对于=+ln|k1k2|，函数y=+lnx（x0），由y=+=0，得x=0（舍）或x=2，x2时，y

15、0，0x2时，y0，当x=2时，函数y=+lnx（x0）取得最小值，当+ln（k1k2）最小时，k1k2=2，e=故答案为：【思路点拨】设A（x1，y1），C（x2，y2），由双曲线的对称性得B（x1，y1），从而得到k1k2=，再由构造法利用导数性质能求出双曲线的离心率【题文】16、定义在R上的函数f（x）满足f（x）+f（x+5）=16，当x（-1，4时，f（x）=x2-2x，则函数f（x）在0，2013上的零点个数是_【知识点】根的存在性及根的个数判断；函数的零点B11 【答案解析】604 解析：y=x2 与 y=2x 的函数曲线在区间（0，4有两个交点，在区间（1，0区间有一个交点，但

16、当x（1，4时，f（x）=x22x=16无根即当x（1，4时，f（x）=x22x有3个零点，由f（x）+f（x+5）=16，即当x（6，1时，f（x）=x22x无零点又f（x+5）+f（x+10）=f（x）+f（x+5）=16，f（x+10）=f（x），即f（x）是周期为10的周期函数，在x0，2013，分为三段x0，4，x（4，2004，x（2004，2013在x0，4函数有两个零点，在x（4，2004有200个完整周期，即有600个零点，在x（2004，2013共有两个零点，综上函数f（x）在0，2013上的零点个数是604故答案为：604【思路点拨】根据y=x2 与 y=2x 的函数曲线

17、在区间（0，4有两个交点，在区间（1，0区间有一个交点，f（x）=x22x=16无根，可得x（1，4时，f（x）=x22x有3个零点，且x（6，1时，f（x）=x22x无零点，进而分析出函数的周期性，分段讨论后，综合讨论结果可得答案【题文】三、解答题：本大题共6小题，满分70，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤【题文】17、（本小题满分12分） 设函数的前n项和为，且首项。（1）求证：是等比数列； （2）若为递增数列，求的取值范围。【知识点】等比数列的性质；等比关系的确定；数列递推式D1 D2【答案】【解析】（1）见解析；（2）a19 解析：（1）an+1=Sn+3n（nN*），Sn+1=

18、2Sn+3n，Sn+13n+1=2（Sn3n）a13，数列Sn3n是公比为2，首项为a13的等比数列；（2）由（1）得Sn3n=（a13）×2n1，Sn=（a13）×2n1+3n，n2时，an=SnSn1=（a13）×2n2+2×3n1，an为递增数列，n2时，（a13）×2n1+2×3n（a13）×2n2+2×3n1，n2时，a19，a2=a1+3a1，a1的取值范围是a19【思路点拨】（1）由an+1=Sn+3n（nN*），可得数列Sn3n是公比为2，首项为a13的等比数列；（2）n2时，an=SnSn1=（a

19、13）×2n2+2×3n1，利用an为递增数列，即可求a1的取值范围【题文】18、（本小题满分12分） 为了影响学校“学科文化节”活动，数学组举办了一场数学知识竞赛，共分为甲乙两组，其中甲组得满分的有1个女生和3个男生，乙组得满分的有2个女生和4个男生，现从得满分的学生中，每组个任选2个学生，作为数学组的活动代言人。（1）求选出的4个学生中恰有1个女生的概率； （2）设X的选出的4人学生中女生的人数，求X的分布列和数学期望。【知识点】离散型随机变量的期望与方差；离散型随机变量及其分布列K6【答案】【解析】（1）；（2）见解析 解析：（1）设“从甲组内选出的2个同学均为男同学

20、；从乙组内选出的2个同学中，1个是男同学，1个为女同学”为事件A，“从乙组内选出的2个同学均为男同学；从甲组内选出的2个同学中1个是男同学，1个为女同学”为事件B，由于事件AB互斥，且P（A）=，P（B）=，选出的4个同学中恰有1个女生的概率为 P（A+B）=P（A）+P（B）=；（2）X可能的取值为0，1，2，3，P（X=0）=，P（X=1）=，P（X=2）=，P（X=3）=，X的分布列为X0123PX的数学期望EX=【思路点拨】（1）设“从甲组内选出的2个同学均为男同学；从乙组内选出的2个同学中，1个是男同学，1个为女同学”为事件A，“从乙组内选出的2个同学均为男同学；从甲组内选出的2个同

21、学中1个是男同学，1个为女同学”为事件B，则所求概率为P（A+B），根据互斥事件的概率加法公式可求；（2）X可能的取值为0，1，2，3，利用古典概型的概率加法公式可求X取相应值时的概率，从而可得分布列，利用数学期望公式可求得期望值。【题文】19、（本小题满分12分） 如图，平面平面为等边三角形，过作平面交分别于点。（1）求证：； （2）设，求的值，使得平面与平面所成的锐角的大小。【知识点】与二面角有关的立体几何综合题G10 G11【答案】【解析】（1）见解析；（2） 解析：（1）证明：如图以点C为原点建立 空间直角坐标系Cxyz，不妨设CA=1，CB=t（t0），则C（0，0，0），A（1，0

22、，0），B（0，t，0），由，得，=（0，0，1）是平面ABC的一个法向量，且，故又因为MN平面ABC，即知MN平面ABC（6分）（2）解：，设平面CMN的法向量，则，可取，又=（0，0，1）是平面ABC的一个法向量由，以及=45°得，即22+44=0解得（将舍去），故（14分）【思路点拨】（1）以点C为原点建立空间直角坐标系Cxyz，利用向量法能证明MN平面ABC（2）分别求出平面CMN的法向量和平面ABC的法向量，由此利用向量法能求出【题文】20、（本小题满分12分） 如图，已知圆，点，是圆E上任意一点，线段PF的垂直平分线和半径PE相交于Q。（1）求动点Q的轨迹的方程； （2）

23、设直线与（1）中轨迹相交于A、B两点，直线OA，OB的斜率分别为（其中），的面积为，以OA、OB为直径的圆的面积分别为，若恰好构成等比数列，求的取值范围。【知识点】直线与圆锥曲线的综合问题；直线和圆的方程的应用H4 H8【答案】【解析】（1）（2）解析：（）连接QF，根据题意，|QP|=|QF|，则|QE|+|QF|=|QE|+|QP|=4，故动点Q的轨迹是以E，F为焦点，长轴长为4的椭圆设其方程为，可知a=2，则b=1，点Q的轨迹的方程为为（）设直线l的方程为y=kx+m，A（x1，y1），B（x2，y2）联立，化为（1+4k2）x2+8kmx+4m24=0，=16（1+4k2m2）0，x1

24、+x2=，x1x2=k1，k，k2构成等比数列，k2=k1k2=，化为：km（x1+x2）+m2=0，+m2=0，解得k2=k0，k=此时=16（2m2）0，解得又由A、O、B三点不共线得m0，从而故S=|x1x2|=|m|=，又，则S1+S2=+=为定值=×，当且仅当m=±1时等号成立综上：【思路点拨】（）连接QF，根据题意，|QP|=|QF|，可|QE|+|QF|=|QE|+|QP|=4，故动点Q的轨迹是以E，F为焦点，长轴长为4的椭圆解出即可（）设直线l的方程为y=kx+m，A（x1，y1），B（x2，y2）与椭圆的方程联立可得（1+4k2）x2+8kmx+4m24=

25、0，利用根与系数的关系及其k1，k，k2构成等比数列，可得km（x1+x2）+m2=0，解得k2=，k=利用0，解得，且m0利用S=|x1x2|=，又，可得S1+S2=为定值代入利用基本不等式的性质即可得出的取值范围【题文】21、（本小题满分12分） 已知函数的图象在点为自然对数的底数）处的切线的斜率为3.（1）求实数a的值； （2）若对任意成立，求实数的取值范围； （3）当时，证明：。【知识点】利用导数研究曲线上某点切线方程B11【答案】【解析】（1）1；（2）k1；（3）见解析解析：（1）f（x）=ax+xlnx，f'（x）=a+lnx+1，又f（x）的图象在点x=e处的切线的斜率

26、为3，f'（e）=3，即a+lne+1=3，a=1； （2）由（1）知，f（x）=x+xlnx，f（x）kx2对任意x0成立对任意x0成立，令，则问题转化为求g（x）的最大值，令g'（x）=0，解得x=1，当0x1时，g'（x）0，g（x）在（0，1）上是增函数；当x1时，g'（x）0，g（x）在（1，+）上是减函数 故g（x）在x=1处取得最大值g（1）=1，k1即为所求； （3）令，则，由（2）知，x1+lnx（x0），h'（x）0，h（x）是（1，+）上的增函数，nm1，h（n）h（m），即，mnlnnnlnnmnlnmmlnm，即mnlnn+ml

27、nmmnlnm+nlnn，lnnmn+lnmmlnmmn+lnnn，ln（mnn）mln（nmm）n，（mnn）m（nmm）n，【思路点拨】（1）求出f（x）的导数，由切线的斜率为3，解方程，即可得到a；（2）f（x）kx2对任意x0成立对任意x0成立，令，则问题转化为求g（x）的最大值，运用导数，求得单调区间，得到最大值，令k不小于最大值即可；（3）令，求出导数，判断单调性，即得h（x）是（1，+）上的增函数，由nm1，则h（n）h（m），化简整理，即可得证【题文】请考生在第（22）、（23）（24）三体中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分，作答时用2B铅笔在答题卡上把所选题目的题号涂黑，把答案填在答题卡上【题文】22、（本小题满分10分） 如图，AB是圆O的一条切线，切点为B，直线ADE，CFD，CGE都是圆O的割线，已知AC=AB（1）求证：FG/AC； （2）若CG=1，CD=4，求的值。【知识点】与圆有关的比例线段N1【答案】【解析】（1）见解析；（2）4解析：（1）AB与O的相切于点B，ADE是O的割线，AB2=ADAE，AB=AC，AC2=ADAE，可得，又EAC=DAC，ADCACE，可得ADC=ACE，四边形DEGF内接于O，ADC=EGF，因此EGF=ACE，可得GFAC（2）四边形DEGF内接于O，CGF=CDE，CFG=CED因此