定义域的作用

1、函数定义域的重要作用函数作为高中数学的主线，贯穿于整个高中数学的始终 尽管对应法则是构 成函数的核心，但定义域也是构成函数的重要组成部分，是构成函数的三大要素之一，是函数赖以变化的基础，函数定义域的变化对函数图象和性质的改变等方 面有着不容忽视的制约作用下面就谈谈定义域对解题的作用与影响.一禾I用函数的定义域判断函数是否是同一函数例1判断函数f(x)=lgx2与g(x) = 2lgx是否同一函数？解：T f (x) =lgx2 定义域为(-X，0)U (0，+x)，而 g(x)=2lgx定义域为(0， +x)，. f(x)与g(x)的定义域不同，f (x)与g(x)不是同一函数.评析：由此题得

2、到一个重要结论：在化简函数表达式时要在原函数定义域上等价变化，也就是说定义域在函数解析式变形化简中有重要的作用.二.函数定义域是构成函数关系式的重要组成部分函数关系式包括定义域和对应法则，所以在求函数关系式时必须考虑所求函数的定义域，否则所求函数关系式就可能出错另外，根据函数定义可知函数定义域是非空的数的集合，若一个关系式中某一个变量取值范围的集合是空集，那 么这个关系式中的几个变量之间就不能构成一个函数关系式.例2 .把截面半径为25cm的圆形木头锯成矩形木料，求矩形面积 S与矩 形长x的函数关系式.解：设矩形的长为xcm，则宽为、502 -x2 cm，由题意得：S502 - x2，故所求的

3、函数关系式为：S = X、502 - x2 .如果解题到此为止，则本题的函数关系式还欠完整，缺少自变量 x的范围， 解题思路还不够严密.因为当自变量 x取负数或不小于50的数时，S的值是负 数或零，即矩形的面积为非正数，这与实际问题相矛盾，故还要补上自变量 x的范围：0：x：50，所以函数关系式为：S = x、.502 -x2 ( x 50 ).评析：从此例可以看出，用函数方法解决实际问题时，必须要注意到函数定义域的取值范围对实际问题的影响若考虑不到这一点，结果很有可能出错例3 .判断式子是否为函数关系式.Jx2-1解：要使上面的式子有意义，则1-x2> 0且x2-1>0，其解集为

4、空集，由函数 定义可知这个式子不表示函数关系式.评注：解题时若忽视了定义域的作用，贝幷艮可能得到一个错误结果.三函数定义域对函数值域的限制作用函数的值域是指全体函数值的集合，当定义域和对应法则确定后，函数值也 随之而定.因此在求函数值域时，应特别注意函数定义域.例4.求函数y = x，2._x-3的值域.错解：令 t 二 x -3,则x 二 t2 3 y =(t2 3)2t -t2 2t 3 = (t 1)2 2，故所求的函数值域是2：).剖析：换元后t _0，而函数y =t2 2t 3在0，+x)上是增函数，所以当t=0时，ymin=3 .故所求的函数值域应为3，+x).评析：由此例可看出变

5、量的允许值范围是何等的重要， 特别是变量隐含的取 值范围，对整个解题过程，以及对最后的结论都起到至关重要的作用. 若能发现 变量隐含的取值范围，精细地检查解题思维过程，检验已经得到的结果，就可以 避免以上错误结果的产生.四.函数定义域对函数奇偶性的作用由函数奇偶性定义可知：函数定义域关于原点对称是函数有奇偶性的必要条 件，若一个函数的定义域不关于原点对称，则此函数就一定不具有奇偶性.故判断函数奇偶性时，应优先考虑该函数的定义域区间是否关于坐标原点成中心对 称，再用奇偶性定义加以判断.例5.判断函数y=(1+x) . 1_x的奇偶性.1 +x1 x解：要使函数有意义必有 3_0，则-1<x

6、< 1,故函数定义域为(-1,1，1 + x显然定义域不关于原点对称，原函数既不是奇函数，也不是偶函数.评析：如果求解时不注意函数定义域，那么就会得到如下错误结论:f (x) = -1 - x2f (-X)二 f (x)，函数 y=(1+x) J： 是偶函数.故在解题过程中要求定义域并判断该定义域区间是否关于原点成中心对称，而直接用定义加以判断造成失误是造成结论错误的主要原因.五函数定义域对函数周期性的作用由函数周期定义可知：若正数 T是函数的周期，则x+T也在函数的定义域 内，再由数学归纳法可知nT（nN*）也是这个函数的周期，从而x+nT也在这个 定义域内，故周期函数的定义域至少有一

7、端到无穷.例6:判断函数y=sinx，x 0，6 n 的周期性.解：因为函数y二sinx，x 0，6n 的定义域为有限区间（这里不再做过多的 解释），故此函数不是周期函数.六. 函数定义域对函数单调区间的作用函数单调性是指函数在给定的定义域区间上函数自变量增加时， 函数值随着 增减的情况，而函数的单调区间是函数定义域的子集， 所以讨论函数单调性一定 要在函数的定义域内讨论函数的单调区间.例7.指出函数f（xlg（x2 3x）的单调区间.解：要使函数有意义必有x2 3x 0，二x 0或x ： -3函数定义域为（0：）.则u=x23x在x （：,-3）上时为减函数， 在X- （0：）上为增函数.又

8、t f（u）=lgu在（0,：）上是增函数，函数f（xlg（x23x）在（-：,-3）上是减函数，在（0：）上是增函数.二f（x）Tg（x2 3x）的单调递增区间是（0：），单调递减区间是（-二,-3）.评析：如果在做题时，没有在定义域的几个区间上分别考虑函数的单调性， 就会得到错误结论，这就说明学生对函数单调性的概念一知半解，在做练习或作业时，只是对题型套公式，而不是去领会解题方法的实质， 这也说明学生的思维 缺乏深刻性.七. 函数定义域对求反函数的影响有些函数本身不存在反函数，但在其单调区间内存在反函数，在求这类函数的反函数时，除注意其值域外，也要注意定义域，否则容易出差错.例8.求函数y

9、 = -x2 4x 2（0乞x乞2）的反函数.错解：函数 y = x2 - 4x - 2(0 _ x _ 2)的值域为 y ：二2,6,又 y = _(x - 2)26，即(x 2)2 = 6 -y , x -2 二、6 - y , 所求的反函数为y=2 ± 6-x (2<x < 6).评析：上述解法中忽视了原函数的定义域，没有对 x进行合理取舍，从而得出了一个错误的表达式.由于 0W x< 2,显然x-2< 0,所求的反函数为y=2- , 6-x (2< x< 6).八. 函数定义域对解不等式、方程或求值的作用我们在解不等式或方程时要时刻注意未知量的取值范围，因为我们所解的结 果要适合原不等式或方程.另外有时巧用函数的定义域，可以避免复杂的变形与 讨论，不但可以保证解答过程圆满正确，而且起到了化难为易，事半功倍的作用.例9.设x、y为实数，且y=x x 1，试求lg(x+y)之值.1+x1 -x2 KO解：x应满足x2-1Z0，即x = 1，将其代入已知等式，得y= 0，1 +x 式0故 lg(x+y)=lg1=0评析：本题关键在于把已知等式看作是x的函数，先求出x的取值范