可化为一元二次方程分式方程4

1、- 5 - / 9可化为一元二次方程的分式方程【学习目标】1 掌握可化为一元二次方程的分式方程的解法，会用去分母或换元法求方程的解，并会验根.2 会列出可化为一元二次方程的分式方程解应用题.【主体知识归纳】1 .找最简公分母，一般要把各分母分解因式，找出各分母的公因式和公倍式，确定最简公分母.2 用最简公分母乘方程两边时，不要漏乘任一项，特别是整数或整式项.3 解分式方程时，用各分式的最简公分母去乘方程的两边，约去分母，化为整式方程，这样得到的整 式方程的解有时与原方程的解相同，但也有时与原方程的解不同，或者说产生了不适合原分式方程的解， 因此，解分式方程时必须要进行检验.【基础知识讲解】1

2、解可化为一元二次方程的分式方程的基本思想是：把分式方程“转化”为整式方程.2 .解分式方程的方法：(1)去分母法；(2)换元法.3 用去分母法解分式方程的具体步骤是：(1) 把方程两边都乘以最简公分母，约去分母；(2) 解所得的整式方程；(3) 验根.4 用换元法解分式方程的具体步骤是：(1) 观察、分析方程的特点，探索换元的途径；(2) 设辅助未知数；(3) 用辅助未知数的代数式表示原方程中另外含有未知数的式子，把原方程化为只含有辅助未知数的方程； 解含有辅助未知数的方程，求出辅助未知数的值；(5) 把辅助未知数的值代入原设辅助未知数的方程，求出原未知数的值；(6) 验根，作答.5列可化为一

3、元二次方程的分式方程解应用题的步骤是：(1) 审清题意；(2) 设未知数；(3) 根据题意找相等关系，并列出分式方程；解方程；(5) 检验根是否是原分式方程的根；(6) 检验所得的根是否符合实际问题的题意；(7) 写出答案.【例题精讲】c2例1 :解方程13x -X=2 +厂1 -X1 -X2剖析：要先把方程的各个分式的分母能分解的都分解，以便找出最简公分母.2解：原方程就是-3X X = 2 .1 _x (1 +x)(1 _x)2方程两边都乘以(1 + x)(1 x)，约去分母，得 1 + x- (3x- x) = 2(1 + x)(1 x).整理后，得3x2 2x 1 = 0,解这个方程，

4、得 xi= 1, X2= 1 .3检验：把x= 1代入(1 + x)(1 x)，它等于0,所以x= 1是增根；把x= 1代入(1 + x)(1 x)，它3不等于0，所以x= 1是原方程的根.3原方程的根是x = 13说明：(1) 为确疋取简公分母，首先要将分式方程中冃匕分解因式的分母进仃分解因式.(2) 方程两边都乘以(1 + x)(1 X)时，整数2这一项一定不要漏乘，否则就错了.例2 :26x 2厂 2x 6x 4解万程 25 -x +3x +23x +1剖析：去分母法是解分式方程的通用方法，但有些方程用此法时，解题过程很繁，如本题会出现五次2方程，通过观察、分析知，原方程可变形为严 &#

5、176;5-纶 竺日方程左右两边的两个分式中x 3x 23x 13x 1 与x 3x 2互为倒数，根据这一特点，可以用换元法来解.x 3x 2 3x 1解：原方程可化为2(3x 1)2( x2 3x 2)25 -x 3x 23x 1设_1 =y,那么 3x_2 = ，于是原方程可变形为2y= 5 .x 3x 23x 1 yy2方程的两边都乘以 y，约去分母，得2y 5y + 2 = 0.解这个方程，得y1= 2, y2= 1.2当y = 2时,=2，去分母，整理，得x2 3x 222x + 3x+ 3 = 0.T = 3 4 X 2 X 3= 9 24v 0,此方程没有实数根.当y = 1时，

6、去分母，整理，得 x2 3x= 0,解得，X1= 0, X2= 3.2检验：把 刘=0, X2= 3分别代入原方程的分母，各分母都不等于0,所以它们都是原方程的根.原方程的根是 X1= 0, X2= 3.说明：将根代入原方程的分母，各分母都不等于0,说明是原方程的根，这里有一个前提条件是：在解方祥的过程半必须变形正确，计賞无仪 如果不是这样，即使不是原方稈旳根.也叮能祓分村不等丁 0.因 此，要认真解题，保证解得的根准确，这样验根才有意义.例3:电冰箱压缩机厂接受一批 4800台的无氟压缩机的订单，为了提前2天完成任务，必须把生产效率提高1 .问提高效率后，每天应生产多少台无氟压缩机？3解：设

7、按原定天数，每天生产x台，那么提高效率后，每天生产(1 + - )x台根据题意，得坐00 警0 )3x (1+x3方程两边同乘以 4x，得4800 X - 4800= 2X -x.333整理，得8x = 4800.解得x = 600.经检验，x= 600是所列方程的根并适合原题意.14(1 +) x = 600 X = 80033答：提高效率后，每天应生产800台无氟压缩机.例4:电冰箱压缩机厂接受一批4800台的无氟压缩机的订单，为了提前2天完成任务，需每天比原来多生产200台.原定每天生产多少台 ？解：设原定每天生产 x台.根据题意，得4800 一 4800 = 2.x x +200方程两

8、边同乘以 x (x + 200),得 4800 (x + 200) 4800x = 2x (x + 200), 整理，得 x2 + 200x 480000 = 0,解得 xi= 600, X2= 800经检验，x= 600和x= 800都是所列分式方程的根，但x= 800不合题意，舍去.答：原定每天生产 600台.说明：例3、例4为同一事情所编出的两道应用题，仅已知条件有一点差别若要提前完成订单任务，需每天比原来多生产才行例3已知比原来提高效率 1 ,例4已知比原来每天多生产 200台，在所列未知3数x表示的量完全相同的前提下，都由题意列得一个分式方程，但转化为整式方程后，例3得到一元一次方程

9、，例4却得到一元二次方程这一差别主要是因为例3的分式方程去分母时同乘以的公分母是一次式4x,且原方程各分子均不含x，例4的分式方程去分母时同乘以的公分母本身就是x (x+ 200) 因为所3列的都是分式方程，故首先检验是否有增根，再对分式方程的根检验是否符合应用题的题意，最后作答.例5: A、B两码头相距48千米，一轮船从 A码头顺水航行到 B码头后，立即逆水航行返回到A码头，共用了 5小时；已知水流速度为 4千米/时，求轮船在静水中的速度.剖析：(1)顺水速度：v顺=v船+ v水，逆水速度：v逆=v船一v水.(2) 等量关系：轮船顺流航行时间与轮船逆流航行时间之和等于5小时，根据题意，可以列

10、出方程.解：设轮船在静水中的速度为x千米/时，根据题意，得 空 48 = 5.x +4 x 4 方程的两边都乘以(x+ 4)( x 4)，约去分母，整理得 5x2 96x 80= 0. 解这个方程，得xi= 20, x2= 4 .5经检验，xi= 20, X2 = 4都是原方程的根，但速度为负数不合题意，所以只取x= 20.5答：轮船在静水中的速度为20千米/时.【同步达纲练习】1.选择题1 2(1) 方程二2 +1的解为()1+x 1-x2A. 0B. 1C. 2D. 1 或22x2 _6x(2) 方程 仝玄=x + 5的实数根的个数是()x 3A. 1B. 2C. 3D.以上均不对11(3

11、) 方程x + = 3 -的解为()x311A. 3 和B. 3C. 1 和 6D.33一 2 1 1 1(4) 用换兀法解方程 6( x + -2 ) + 5 (x + 1) 38= 0,设y= x+ ,则方程变为()XXxA. 6y2+ 5y 38 = 0B. 6y2 + 5y 40= 0C. 6y2+ 5y 26 = 0D. 6y2 +5y 50= 0(5) 若分式方程1 +上4有解，则k的取值范围是()x X1 XXA. k>0B. kv 0C. k工1 且 kz 2D. k工1且 kz 2(6) 甲、乙二人分别从相距s千米的两地同时出发，若同向而行，则t1小时后，快者追上慢者；

12、若相向而行，则t 2小时后，两人相遇.那么快者的速度是慢者速度的()B.倍t1C.倍t1 t2倍(7)甲、乙两队学生共同绿化校园,乙队先单独工作1天后，再由两队合作2天就完成了全部任务.已知甲队单独完成工作所需的天数是乙队单独完成所需天数的 数分别是()-.那么甲、乙两队单独完成这项工作所需天3A . 6, 9B . 4, 6(8) 一列火车已晚点6分，如果将速度每小时加快C. 2, 310千米，那么继续行驶这列火车原来行驶的速度是x千米/时，那么解决这个问题所列的方程是(D. 8, 1220千米便可正点运行.若设20x20x 10B.20x20x 1011020x 1020xD.20x 10

13、20 =丄x 10(9) 一小船顺流24千米到达目的地，然后逆流返回出发点，航行共用时的速度为x千米/时，水流速度为3千米/时.则所列方程是()3小时30分钟，小船在静水中八2424门cc2424c 1A .+=3 . 2B.=3-Cx 3x -3x+3x -321212D.1212=31x 3 x -322.填空题24x 324x -3- 7 - / 9(1)方程-2a = 2有一个根为 贝U a的值为x +a x a(2)北京至石家庄的铁路长392千米，为适应经济发展，自2001年10月21日起，某客运列车的行车速度每小时比原来增加 40千米，使得石家庄至北京的行车时间缩短了1小时.如果设

14、该列车提速前的速度为每小时x千米，那么为求 x列出的方程为 .3 .解下列方程(1)1X -1=1;(2)x3x 24x5x 2960(3)60x 4(4)6x2 -1x2 -16(5) (x + I)2 9 (x+ - )+ 5= 0;x 2 x(6)+ x2 2 = 0.x2 +54 .解关于x的方程11(1)x+=_；xx(2)m_x = 6 5(n +x)n xm - xx2 -1(3)x+ 丄=mx -1m T1 111(4)- 1(a +0)；xaxbab（5）务汽二為（0）.5 .解下列方程2 2x 1、27 / X 1、(1) ()+() 4 = 0;x6 x3x2 -3一 x

15、212 = 0;2 2 1(3) 2x + + x + 2 6 = 0;xx2x + 2x + 2 =6(x 1)2(5) 3 ( x2+ 丄)+ 5 (x+ 1)- 2= 0;xx(6) 4 ( x2 + )- 5 (x- -)- 14= 0.xx6 .列方程解应用题(1)人数相等的甲、乙两组工人，在一天中甲组工人全部出勤加工零件100个，乙组缺勤2人，加工零件64个，在另一天中，甲组工人缺勤2人，乙组工人全部出勤，则甲、乙两组工人加工零件数量相等，求每组有多少工人？(2) 一小船由A港顺流需行6小时到B港，由B港到A港逆流需行8小时.一天，小船从早晨6点由A港出发顺流行到 B港时，发现一救

16、生圈在途中掉在水中，立即返回，一小时后找到救生圈问从丢掉救生 圈到找到救生圈共用了多少时间？(3)为适应西部大开发的需要，经科学论证，铁道部决定自2000年10月1起兰新全线再次提速.兰新线全长约为1800千米，若将此段的货车运行时间缩短6小时，车速平均每小时提高10千米，求提速前后货车运行的速度各是多少 ？（4）华联商厦进货员在苏州发现一种应季衬衫，预料能畅销市场，就用80000元购进所有衬衫，还急需以上2倍数量这种衬衫，经人介绍又在上海用 176000元购进所需衬衫，只是单价比苏州贵 4元，商厦按每 件58元销售，销路很好，最后剩下的 150件按八折销售，很快售完问商厦这笔生意盈利多少？（

17、5）某顾客第一次在商店买若干件小商品花去5元，第二次再去买该小商品时，发现每一打（12件）降价0 8元，他比第一次多买了10件，这样，第二次花去2元，且第二次买的小商品恰好成打问他第一次买的小商品是多少件 ？（6）某工程，若甲、乙两队单独完成，甲队比乙队多用5天；若甲、乙两队合作，6天可以完成求两队单独完成这项工程各需多少天？若这项工程由甲、乙两队合作6天完成后，付给他们50000元报酬,两队商定按各自完成的工作量分配这笔钱，问甲、乙两队各得多少元？【思路拓展题】你知道买哪种合算吗？某种冰淇淋是用球型塑料壳包装的，有 60克装和150克装两种规格.假设冰淇淋售价= （冰淇淋成本 +包装成本）X

18、 （1 +利润率），并且，包装成本与球型外壳表面积成正比已知60克装冰淇淋售价1. 5元,其中冰淇淋成本为每克 1分，利润率为25% .问在利润率不变的情况下，150克装冰淇淋应售价多少 ？两种规格中，买哪种比较合算 ?（参考数据3 20 -271）- 11 - / 9参考答案- 13 - / 9.(1)3竺一竺x x +40(4) X1 = 2, X2 =- 2, X313 , X4=-13 ;【同步达纲练习】1. (1)C (2)A (3)A (4)D (5)C (6)D (7)B (8)B (9)C23. (1) x= 2; (2) X1 = 0, X2 =- - ; (3) X1= 20, X2 =- 24;7(5) X1= 1, X2= 2, X3 = 1 ； (6) X1 = 1, X2 =- 12(2)去分母原方程化为4. (1) X1= m X2m2 2(m-x) = 6 (n + x) ( m-x)- 5 (n+ x),整理，得(m-5n-6x) (m- n 2x)= 0m 5 nm nX1=