单因素方差分析方法.

1、单因素方差分析方法首先在单因素试验结果的基础上，求出总方差V、组内方差Vw、组间方差VB。总方差v=2 幺-X组内方差组间方差VB=b2 ,厂X从公式可以看出，总方差衡量的是所有观测值Xj对总均值X的偏离程度，反映了抽样随机误差的大小，组内方差衡量的是所有观测值 Xij对组均值X的偏离程度，而组间方差则衡量的是组均值 Xi对总均值X的偏离程度，反映系统的误差。在此基础上，还可以得到组间均方差和组内均方差:组间均方差2八VbSB 组内均方差sW bVw2 ab-a在方差相等的假定下，要检验 n个总体的均值是否相等，须首先给定原假设和备择假设。原假设Ho :均值相等即打4 2 =备择假设H1 :均

2、值不完全不相等则可以应用F统计量进行方差检验:2AF= VB（a1） = SBVw/（ab-b） A 2该统计量服从分子自由度a-1，分母自由度为ab-a的F分布。给定显著性水平a,如果根据样本计算出的F统计量的值小于等于临界值 F/a -1,ab - a),则说明原假设 H。不成立，总体均值不完全相等，差异并非仅由随机因素引起。下面通过举例说明如何在 Excel中实现单因素方差分析。例1单因素方差分析某化肥生产商需要检验三种新产品的效果，在同一地区选取3块同样大小的农田进行试验，甲农田中使用甲化肥，在乙农田使用乙化肥，在丙地使用丙化肥，得到6次试验的结果如表2所示，试在0.05的显著性水平下

3、分析甲乙丙化肥的肥效是否存在差异。表2三块农田的产量甲504649524848乙495047474649丙515049465050要检验三种化肥的肥效是否存在显著差异，等同于检验三者产量的均值是否相等：给定原假设Ho ：三者产量均值相等；备择假设 H":三者的产量均不相等，对于影响产量的因素仅B3: D8单元格，输入表2的产量数值。B9单元格，在编辑栏输入“ =AVERAGE （ B3: B8） ”,D9单元格，求出乙和丙的组均值。在编辑栏输入“ =AVERAGE （ B9 : D9） ”。计算机结果如化肥种类一项，因此可以采用单因素方差分析进行多总体样本均值检验。 新建工作表“例1

4、” ,分别单击计算组均值，对应甲的均值，单击再次单击B9单元格，拖曳鼠标至计算总均值，单击 B10单元格，图1 所示ABCD1单因素方差分析2甲乙丙35049514465050549474965247467484650S4S49509组均值10总均值11图1计算'xij Xi '，并求各组的组内方差 Vw的值。求甲组Xij xJ的值，单击B14单元格，在编辑栏输入“=（B3-$B$9 ）人2”。再次单击B14单元格，拖曳鼠标至 B19单元格。C19单元格。求丙组（xij Xi的值，击D14单元格，拖曳鼠标至求乙组Xij Xi的值，单击 C14单元格，在编辑栏输入“ =（C3-$

5、C$9）人2 ”。再次单 击C14单元格，拖曳鼠标至D19单元格。单击 D14单元格，在编辑栏输入“ =（D3-$D$9）人2”。再次单计算Vw的值，单击C20单元格，在编辑栏输入“ =SUM （ B14 : D19”。计算结果如图 2所示。ABCDE 174S4650S4S49509组均值4S. S348.0049. 3310总均值48, 7243,6749, 331112求组间方差13甲乙丙141.36111112-777778158, 02777S40.444444160.02777S10,1111111710. 02778111.11111180.69444440.444444190.

6、69444410.44444420Vw48.1721图3根据组均值和总均值求 (Xi -X)的值,单击B24单元格，在编辑栏输入“ =(B9- $ B$ 10)人2 ”。再次单击B24单元格，拖曳鼠标至D24单元格，求出三个组的值。计算组间方差VB，单击C25单元格,在编辑栏输入“ =6*SUM(B24:D24) ”。计算结果如图3所示。计算 F统计量的值，单击C28单元格，在编辑栏输入“(C27*E27-C27 ) ”。=C25/(C27-1 ) / ( C20/计算Fa的值，单击C30单元格，在编辑栏输入“ =FINV ( C29,C27-1,C27*E27-C27 ) ”。根据临界值给出

7、的检验结果，单击C31单元格，在编辑栏输入“量均值不完全相等”,”三者产量均值相等”)”。最终结果如图4所示。=IF(C28>C30, ”三者产从图4中可以看出，运用单因素方差分析，接受了原假设H。，因此在0.05的显著性水平F可以认为三者的均值相等，即三者的肥效无显著差异。20212223242526272829303132求组间方差甲0. 01VbaaE48.17乙0. 525.443b0.S477510. 053 68232检验结果三者产量均值相等通过这张表格可以直观二、方差分析表在实际工作中，常常将上面的方差分析的过程归纳为一张表格， 地显示出方差分析过程中各个参数的值。方差分析

8、表作为一种默认的方差分析形式，被许多软件作为方差分析的结果输出。后 面介绍的Excel单 因素分析工具的结果输出中，最终便是以方差分析的形式给出分析结果。对应方差分析的结构如表3所示，其中对于组间方差Vw的计算可直接根据公式Vw=v- Vb 给出。表3 方差分析表方差自由度均方差F统计值组间方差Vba-1S2=VBA 2SB =a1f=Sb2VB=bS 乂 X)A 2Sw组内方差vV wAb-aA = VwVw=v- Vb9ab-a总方差vAb-1V= S(X- - X fXij下面通过举例说明如何采用方差分析表给出单因素方差分析的结果。 例2 方案分析表某公司研制出了 A、B、C、D4种新型

9、生产设备，让6个熟练工人分别操作相同的时间，统计他们生产的零件的数量如表4所示，试在0.01的显著水平下检验这 4种设备单位时间生产的零件数是否存在显著差异。表44种机器生产的零件数量16A754650567348B475065724649C485052464965D684849635170需要检验4中设备单位时间内生产的零件数是否存在显著差异，对应原假设Ho: 4种设备生产的零件数均值相等；备择假设Hi : 4种设备生产零件数均值不相等，可采用单因素方差分析予以检验。新建一工作表“例计算组均值。对应 再次单击B9单元格,计算总均值。单击 所示。2”，分别单击 B3: E8单元格, A组的均值

10、， 拖曳鼠标至B10单元格，单击 B9单元格, D9单元格，求出 在编辑栏输入“输入表4中的零件数。在编辑栏输入“ =AVERAGE(B3:B8) ” ,B、C、D的组均值。=AVERAGE(B9 : D9) ”。计算结果如图 5ABcDE1 F1方差分析表2 'ABCD3754768446504S550654965672637734651S4S49709组均值58. 0052 S358,1710总均值57. 00111根据组均值和总均值计算组间方差Vb。求Qi -X 2的值，单击B14单元格，在编辑栏输入“ =(B9- $ B$ 10)人2”。再次单击B14单元格，拖曳鼠标至 E14

11、单元格，求出三个组的值。计算VB的值，单击C15单元格，在编辑栏输入“ =SUM ( B14 : E14) *6 ”。计算结果 如图6所示。9n11121314 n组均值总均值58. 0055. 67求组间方差A5. 44Vb54. 8351. 6758.170. 69C16. 00D6. 25170. 33根据总均值计算方差求 夂ij X)的值，单击B19单元格，在编辑栏输入“ =(B3- $ B$ 10)人2 ”。再次单 击B19单元格，拖曳鼠标至 E24单元格，求出所有的值。C33单元格在编辑栏方差分析表结构，根据总方差和组间方差计算组内方差，输入“ =C34-C32”分别给出自由度，单

12、击D32单元格，在编辑栏输入“计算v的值，单击 C25单元格，在编辑栏输入“ =SUM( B19: E24)”。计算结果如图 7 所示。19373. 7S75.115S. 78152.112093. 4432.1132.115& ?82132.11S7.1113. 4444. 44220.11266. TS93. 4453.23300. 4493. 444乞442L TS245& 7344. 4487.11205. 4425V2323, 3326CD单击求总方差_AB161718=C27-1 ”；单击D33单元格，在 编辑栏输入“ =C27*E27-C27 ”；单击D34单元格

13、，在编辑栏输入“=C27*E27 1”。E32单元格，在编辑栏输入“ =C32/D32”。E33单元格，在编辑栏输入“ =C33/D33”。单击F32单元格，在编辑栏输入“ =E32/E33”。结果如图9所示。计算方差分析表中的均方差。组间均方差，单击组内均方差，单击图根据F值计算P值，单击 G32单元格，在编辑栏输入“ =FDIST (F32, D32, D33)”。如果计算的P值小于给定的显计算F统计量的值，26271a1 14b62Sa0. 012930方差分析炭31方差自由度均方差E值P值32组间方差Vb170. 33356. 776G70.52741933组内方差215320107.

14、 6&34总方壘V2323. 332335369说明：1-P值反映了可以以多大的把握认为原假设成立。 著性水平0.05则应该接受原假设，否则应拒绝原假设。(11)给出检验结论，单击C36单元格，在编辑栏输入“ =IF (G32<C28, “四种设备生产的零件数均值相等”，“四种设备生产零件数均值不相等”)”。结果如图10所示3031方差自由度均方差F值P值32组间方差170. 333E&. 77773 0. 527429 0. 66S&2333组内务差215320107.65,34总方差V2321 33233536检验结论四种设备注产的零件数均值不相等37图10从图10可以看出，运用方差分析表，拒绝原假设H。，因此在0.01的显著性水平下认为三者均值不相等，即四种设备单位时间内生产的零件数的均值不相等。在Excel运用方差分析-单因素方差分析工具进行方差分析。例3 方差分析：单因素方差分析仍采用例2中的数据，某公司研制出了A B C D4种新型设备，让 6个熟练工人分别操作相同的时间，统计生产的零件数量如表4所示，试应用方差分析：单因素方差分析在0.01的显著性水平下检验这 4种设备单位时间生产的零件数是否存