数值分析上机实验

1、数值分析实验一数值求解正方形域上的Poisson方程边值问题算法一：Jacobi点迭代法迭代格式：u0,j=uN+1,j=ui,0=ui,N+1=0 班级：数值分析1班 学号：2012214082 姓名：郭璟 专业：安全技术及工程forj=1:Nfori=1:Nk)(k)(k)(k)2ui(,kj+1)=(ui(-1,j+ui+1,j+ui,j-1+ui,j+1+hfij)/4endendfunction v,k=xsjacobi(n)% xsjacobi:用点Jacobi迭代法求解线性方程组A*u=f% v: 方程组的解； k: 迭代次数； n: 非边界点数% e: 允许误差界； er:迭代

2、误差；f(2:n+1,2:n+1)=(n+1)(-2)*2; v=zeros(n+2,n+2); u=zeros(n+2,n+2); e=0.000000001;for k=1:1000 %迭代求解er=0; for j=2:n+1 for i=2:n+1 u(i,j)=(v(i-1,j)+v(i+1,j)+v(i,j-1)+v(i,j+1)+f(i,j)/4;er=er+abs(v(i,j)-u(i,j); %估计误差end endif er/n2<e,break;end %判断是否达到计算精度，如果达到则退出循环 v=u; end >> n=9; >> v,k

3、=xsjacobi(n),surf(v)v =0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 00 0.0256 0.0413 0.0508 0.0560 0.0577 0.0560 0.0508 0.0413 0.0256 00 0.0413 0.0686 0.0859 0.0955 0.0986 0.0955 0.0859 0.0686 0.0413 00 0.0508 0.0859 0.1088 0.1216 0.1258 0.1216 0.1088 0.0859 0.0508 00 0.0560 0.0955 0.1216 0.1364 0.1412 0.1364 0.1216 0.0955

4、0.0560 00 0.0577 0.0986 0.1258 0.1412 0.1462 0.1412 0.1258 0.0986 0.0577 00 0.0560 0.0955 0.1216 0.1364 0.1412 0.1364 0.1216 0.0955 0.0560 00 0.0508 0.0859 0.1088 0.1216 0.1258 0.1216 0.1088 0.0859 0.0508 00 0.0413 0.0686 0.0859 0.0955 0.0986 0.0955 0.0859 0.0686 0.0413 00 0.0256 0.0413 0.0508 0.056

5、0 0.0577 0.0560 0.0508 0.0413 0.0256 00 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0k =30415>> tic >> v,k=xsjacobi(n); >> ti=toc ti = 51.1720算法二：块Jacobi迭代迭代格式：v0=vN+1=0,forj=1:N)(k)Ajjv(jk+1)=v(jk+v-1j+1+bj(可用追赶法求解）functionv,k=xsbjacobi(n)% xsbjacobi:用块Jacobi迭代法求解线性方程组A*u=f% u: 方程组的解； k: 迭代次数； n: 非边界点数% a:

6、 方程组系数矩阵 的下对角线元素； b: 方程组系数矩阵 的主对角线元素；% c: 方程组系数矩阵 的上对角线元素；d: 追赶法所求方程的右端向量；% e: 允许误差界； er:迭代误差；f=2*1/(n+1)2*ones(n+2,n+2); a=-1*ones(1,n); b=4*ones(1,n);c=-1*ones(1,n); u=zeros(n+2,n+2);v=zeros(n+2,n+2);e=0.00001; for k=1:2000 er=0; for j=2:n+1 %Ub=u(:,j); d(1:n)=f(2:n+1,j)+v(2:n+1,j-1)+v(2:n+1,j+1)

7、;x=zg(a,b,c,d); % 用追赶法求解u(2:n+1,j)=x' er=er+norm(v(:,j)-u(:,j),1); endif er/n2<e ,break;end % 判断是否达到计算精度，如果达到则退出循环 v=u;end% 追赶法求解三对角方程组function x=zg(a,b,c,d) n=length(b);%LU分解。u(1)=b(1); for k=2:n if u(k-1)=0 ,D=0,return; end l(k)=a(k)/u(k-1); u(k)=b(k)-l(k)*c(k-1); end% 追赶法求解之追过程，求解Ly=d。y(1)

8、=d(1); for k=2:n y(k)=d(k)-l(k)*y(k-1); end% 追赶法求解之赶过程，求解Ux=yif u(n)=0 ,D=0,return; end x(n)=y(n)/u(n); for k=n-1:-1:1 x(k)=(y(k)-c(k)*x(k+1)/u(k); end >> n=9; >> v,k=xsbjacobi(n) endv =0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 00 0.0256 0.0412 0.0507 0.0559 0.0576 0.0559 0.0507 0.0412 0.0256 00 0.0412 0.0685

9、 0.0858 0.0954 0.0985 0.0954 0.0858 0.0685 0.0412 00 0.0507 0.0858 0.1087 0.1215 0.1256 0.1215 0.1087 0.0858 0.0507 00 0.0559 0.0954 0.1215 0.1362 0.1410 0.1362 0.1215 0.0954 0.0559 00 0.0576 0.0985 0.1256 0.1410 0.1460 0.1410 0.1256 0.0985 0.0576 00 0.0559 0.0954 0.1215 0.1362 0.1410 0.1362 0.1215

10、0.0954 0.0559 00 0.0507 0.0858 0.1087 0.1215 0.1256 0.1215 0.1087 0.0858 0.0507 00 0.0412 0.0685 0.0858 0.0954 0.0985 0.0954 0.0858 0.0685 0.0412 00 0.0256 0.0412 0.0507 0.0559 0.0576 0.0559 0.0507 0.0412 0.0256 00 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0k =69>> tic >> u,k=xsbjacobi(n);>> ti=toc ti = 17.2500四、实验结果分析实验用titoc来实现计算所花费时间的计算，通过比较可知Jacobi点迭代